习题七

1.设a，b是整数，a≥1，b=qa+r，0≤r＜a.证明：

q=［b/a］，r=a｛b/a｝.

2.设a，b是整数，a≥1，b=q₁a+r₁，-a/2≤r₁＜a/2.证明：

3.证明：对任意正实数x，y有［xy］≥［x］［y］.试讨论｛xy｝和｛x｝｛y｝之间会有怎样的关系.

4.证明：对任意实数x有

［x］+［x+1/2］=［2x］.

5.证明：对任意整数n≥2及实数x有

［x］+［x+1/n］+…+［x+（n-1）/n］=［nx］.

6.设m，n是整数，n≥1.证明：

7.若［x+y］=［x］+［y］，［-x-y］=［-x］+［-y］同时成立，则x，y必有一个是整数.

8.证明：对任意实数x，y有

［x-y］≤［x］-［y］≤［x-y］+1.

9.证明：（i）对任意实数α，β有［2α］+［2β］≥［α］+［β］+［α+β］.但不一定有［3α］+［3β］≥［α］+［β］+［2α+2β］成立；

（ii）设m，n是正整数.对任意实数α，β有

［（m+n）α］+［（m+n）β］≥［mα］+［mβ］+［nα+nβ］

成立的充分必要条件是m=n.

10.试决定对怎样的实数x有下面的等式成立：

（i）［x+3］=3+x；（ii）［x］+［x］=［2x］；

（iii）［11x］=11；（iv）［11x］=10；

（v）［x+1/2］+［x-1/2］=［2x］.

11.证明：对任意实数x，y有｛x+y｝≤｛x｝+｛y｝.

12.设‖x‖表示实数x离最近整数的距离.证明：

（i）‖x‖=min（｛x｝，1-｛x｝）；

（ii）对任意整数n有‖x+n‖=‖x‖；

（iii）‖x‖=‖-x‖；

（iv）‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖；

（v）‖x-y‖≥‖x‖-‖y‖；

（vi）画出y=‖x‖的图形.

13.设m是正整数.证明：

15.设m，n是正整数，（m，n）=1.证明：

（i）在以坐标为｛0，0｝，｛0，m｝，｛n，0｝，｛n，m｝为顶点的矩形内部有（m-1）（n-1）个整点；

17.设实数C＞0.M是区域：x＞0，y＞0，xy≤C上的整点的个数.证明：

分别利用（i），（ii）给出计算M的近似公式.

18.设实数R＞0，M是区域x²+y²≤R²上的整点数.证明：

19.求2，3，6，12及70整除623！的最高方幂.

20.求120！的十进制表达式中结尾有多少个零.

21.7的式（7）当p是合数时成立吗？举例说明.

22.求32！的素因数分解式.

23.设p是素数，n是正整数.

（i）求p^e‖（2n）！！中的e的计算公式，这里

（2n）！！=（2n）（2n-2）…2；

（ii）求p^f‖（2n+1）！！中的f的计算公式，这里

（2n-1）！！=（2n-1）（2n-3）…1.

24.用例4的方法证明n！（n-1）！|（2n-2）！.

25.设a，b是正整数，（a，b）=1；再设ρ是一实数.证明：若aρ，bρ是整数，则ρ也是整数.

26.设a，b是正整数，（a，b）=1.证明：a！b！|（a+b-1）！.

27.设α（p，n）由7定理2给出，证明：α（p，n）＜n/（p-1）.

28.证明：（2n）！/（n！）²是偶数.

29.设m，n是正整数.证明：n！（m！）ⁿ|（mn）！.

30.设a，b是正整数.证明：a！b！（a+b）！|（2a）！（2b）！.

32.设p是一个给定的素数.证明：一定存在正整数a，使对任意的正整数n，不可能有p^a‖n！.试提出一个决定所有这种a的方法.

33.设正整数n的p进位表示是

n=a₀+a₁p+…+a_kp^k，

0≤a_j＜p，0≤j≤k-1，1≤a_k＜p.

证明：

（i）a_j=［n/p^j］-p［n/p^j+1］，0≤j≤k；

（ii）若p是素数，α（p，n）由7定理2给出，则

34.设n，a，b是正整数.证明：

n！|b^n-1a（a+b）…（a+（n-1）b）.

35.设α是正实数.再设

a_n=［n（1+α）］，n=1，2，…；b_n=［n（1+α^-1）］，n=1，2，….

证明：这些数两两不相等，且恰好给出了全体正整数的充分必要条件是α为正无理数.

36.设α，β是正实数.再设a_n=［nα］，n=1，2，…；b_n=［nβ］，n=1，2，….证明：这些数两两不相等，且恰好给出了全体正整数的充分必要条件是α，β为正无理数且满足

可以做IMO的题（见附录四）：［9.3］，［14.3］，［18.6］，［20.3］，［21.6］，［34.5］.