习题一
1.分别求出a=359，1378对模m=4，8，13，43的最小非负剩余、最小正剩余、及绝对最小剩余.
2.对哪些模m以下各同余式成立？
（i）32≡11（mod m）；（ii）1000≡-1（mod m）；
（iii）28≡1（mod m）.
3.对哪些模m，同余式32≡11（mod m）及1000≡-1（mod m）同时成立？一般地，使同余式a≡b（mod m）及c≡d（mod m）同时成立的模m要满足什么条件？
4.（i）素数p＞2对模m=4的最小非负剩余、最小正剩余及绝对最小剩余可能取哪些值？
（ii）（i）中改为p＞3，m=6.
（iii）（i）中改为p＞5，m=30.
具体举出素数p分别取到（i），（ii），（iii）中所说的剩余.
5.证明：（i）a≡b（mod m）等价于a-b≡0（mod m）；
（ii）若a≡b（mod m），c≡d（mod m），则a-c≡b-d（mod m）.从同余式的运算角度来解释这两个结果的意义.
6.利用同余式符号及其性质来证明或求解第一章3习题三第一部分的第5，6，7，8，9，16，29，30，31题.
7.判断以下结论是否成立，对的给以证明，错的举出反例：
（i）若a2≡b2（mod m）成立，则a≡b（mod m）；
（ii）若a2≡b2（mod m），则a≡b（mod m）或a≡-b（mod m）至少有一个成立；
（iii）若a≡b（mod m），则a2≡b2（mod m2）；
（iv）若a≡b（mod2），则a2≡b2（mod22）；
（v）设p是奇素数，p｜/a，那么a2≡b2（mod p）成立的充分必要条件是a≡b（mod p）或a≡-b（mod p）有且仅有一式成立；
（vi）设（a，m）=1，k≥1，那么从ak≡bk（mod m），ak+1≡bk+1（mod m）同时成立可推出a≡b（mod m）.
8.当正整数m满足什么条件时，
1+2+…+（m-1）+m≡0（mod m）
一定成立（不要计算左边的和式）？
9.当正整数m满足什么条件时，
13+23+…+（m-1）3+m3≡0（mod m）
一定成立（不要计算左边的和式）？
10.对任意正整数n≥1，1+2+…+n表为十进制数时，它的最后一位数可能取哪些值？
11.设素数p｜/a，k≥1.证明：n2≡an（mod pk）成立的充分必要条件是n≡0（mod pk）或n≡a（mod pk）.
12.设n＞4.证明：n是合数的充分必要条件是
（n-2）！≡0（mod n）.
13.证明：70！≡61！（mod71）.
14.（i）求2400对模10的最小非负剩余；
（ii）求21000的十进位表示中的最后两位数字；
（iii）求999及9999的十进位表示中的最后两位数字；
（iv）求（1348156-77）28被111除后所得的最小非负余数；
（v）求2s对模10的最小非负剩余，s=2k，k≥2.
15.（i）求3对模7的逆；（ii）求13对模10的逆.
16.设a-1是a对模m的逆.证明：
（i）an≡c（mod m）成立的充分必要条件是n≡a-1c（mod m）.
（ii）a-1b-1是ab对模m的逆，即（ab）-1≡a-1b-1（mod m）.特别地，对任意正整数k，（ak）-1≡（a-1）k（mod m）.
17.求整数n满足（i）3n≡5（mod7）；（ii）13n≡7（mod10）.
18.求整数n同时满足n≡1（mod4），n≡2（mod3）.
19.证明：对任意整数n，下面五个同余式中至少有一个成立：
n≡0（mod2），n≡0（mod3），n≡1（mod4），n≡5（mod6），n≡7（mod12）.
20.证明：对任意整数n，下面六个同余式中至少有一个成立：
n≡0（mod2），n≡0（mod3），n≡1（mod4），n≡3（mod8），n≡7（mod12），n≡23（mod24）.
21.证明以下不定方程无解：
（i）x2-2y2=77；（ii）x2-3y2+5z2=0.
22.求出所有的正整数三元组｛a，b，c｝，满足条件：
a≡b（mod c），b≡c（mod a），c≡a（mod b）.
23.求出所有的非零整数三元组｛a，b，c｝，满足条件：
a≡b（mod|c|），b≡c（mod|a|），c≡a（mod|b|）.
24.设p是素数，f（x）是整系数多项式：
f（x）=q（x）（xp-x）+r（x），
q（x）及r（x）是整系数多项式，r（x）的次数＜p.证明：对所有整数x，
f（x）≡r（x）（mod p），
即这是一个模p的恒等同余式.
25.设p是素数，f（x）是整系数多项式；再设a1，…，ak两两对模p不同余，满足f（aj）≡0（mod p），1≤j≤k.证明：存在整系数多项式q（x），使得
可以做IMO的题（见附录四）：［17.4］，［20.1］，［25.2］，［34.6］，［37.4］.