第一版序

初等数论是研究整数最基本的性质，是一门十分重要的数学基础课。它不仅应该是中、高等师范院校数学专业，大学数学各专业的必修课，而且也是计算机科学等许多相关专业所需的课程。中学生（甚至小学生）课外数学兴趣小组的许多内容也是属于初等数论的。

整除理论是初等数论的基础，它是在带余数除法（见第一章3定理1）的基础上建立起来的。整除理论的中心内容是算术基本定理和最大公约数理论。这一理论可以通过不同的途径来建立，而这些正反映了近代数学中的十分重要的思想、概念与方法。本书的第一章就是讨论整除理论，较全面地介绍了建立这一理论的各种途径及它们之间的相互关系。同余理论是初等数论的核心，它是数论所特有的思想、概念与方法。这一理论是由伟大的数学家C.F.Gauss在其1801年发表的著作《算术研究（Disquisitiones Arithmeticae）》中首先提出并系统研究的。Gauss的这一名著公认为是数论作为数学的一个独立分支的标志（注：关于数论的发展历史可参看：数学百科辞典（科学出版社，1984），中国大百科全书·数学（中国大百科全书出版社，1988），不列颠百科全书（详编）·数学（科学出版社，1992）^*等三本数学百科全书中的有关条目；W.Scharlau和H.Opolka：From Fermat to Minkowski，Springer-Verlag，1985.

*该书因故未出版。可参看数学百科全书（共五卷，科学出版社，2000）。——再版注）。本书的第三、四、五章就是较深入地讨论同余理论的基本知识，包括同余、同余类、完全剩余系和既约剩余系等基本概念及其性质；一次、二次同余方程和模为素数的同余方程的基本理论；既约剩余系的结构。从历史来看，求解不定方程是推进数论发展的最主要的课题，我们在第二、六章讨论了可以用以上建立的整除理论和同余理论来解的几类最基本的不定方程。一般来说，以上这些就是初等数论的基本内容，是必需掌握的。为了满足读者不同的需要，除了在这六章中有若干加“*”号的内容外，我们还在第七章讨论了连分数与Pell方程，第八章讨论了素数分布的初等结果，第九章讨论了数论函数，供读者选用（这三章中有些部分要用到一点初等微积分知识，较难的加“*”号表示）。这些也都是初等数论的重要内容。本书的取材是严格遵循少而精的原则以及作为基本上适用于前述各类学生的通用教材来安排的。此外，对某些重点内容在正文、例题和习题中从不同角度作适当反复讨论，根据我们的经验，这对全面深入理解和教与学都是有益的。特别要指出的是，这样的安排十分有利于自学。这些内容主要是：最大公约数理论，算术基本定理，剩余类及剩余系的构造，Euler函数，某些不定方程。在具体讲授时可根据需要和学时多少，适当选择其中一部分或全部以及选择一部分让学生自学。

数论是研究整数性质的一个数学分支，当然对“整数”本身必须有一个清楚、正确的认识，但要做到这一点并不容易，在附录一中介绍了自然数的Peano公理，对此作一初步讨论。在整数中算术基本定理——每个大于1的整数一定可以唯一地（在不计次序的意义下）表示为素数的乘积——的正确性好像是理所当然的，但实则不然。为了较有说服力地向刚接触数论的读者说明，当研究对象稍为扩大一点，即研究所谓代数整数环时，算术基本定理就不一定成立，我们在附录二中讨论了二次整环Z［］。初等数论本身有许多有趣应用，在附录三中介绍了四个简单的应用，特别是电话电缆的铺设几乎用到了初等数论的全部基本知识（注：关于数论的应用可参看［11］；M.R.Schroeder：Number Theory in Science and Communication，Springer-Verlag，1984；N.Koblitz：A Course in Number Theory and Cryptography，Springer-Verlag，1987.）。大家知道，初等数论在国际数学奥林匹克竞赛中占有愈来愈重要的地位，这些竞赛题的绝大多数都是很好的，对提高大、中学生的数学素质是很有帮助的。因此，我们在附录四中列出了至今32届竞赛中可用初等数论方法——即第一章的整除理论——来解的51道题（占总数194道题的26.3%）。

初等数论初看起来似乎很简单，但真正教好、学好它并不容易，尤其是习题很不好做。这一方面可能是觉得初等数论的理论没有什么内容，从代数观点来看只是一些简单的例子，仅把它作为学习代数的预备知识，不了解整数本身所包含的丰富而重要的内涵而不加重视；另一方面是忽视初等数论的理论，只把它看做一些互不相关的有趣的智力竞赛题，因而不认真学习它的理论并用以指导解题。事实上，或许可以说，初等数论是数学中“理论与实践”相结合得最完美的基础课程，近代数学中许多重要思想、概念、方法与技巧都是从对整数性质的深入研究而不断丰富和发展起来的。数论在计算机科学等许多学科以及离散数学中所起的日益明显的重要作用也绝不是偶然的。这些正是学习初等数论的重要性之所在。

为了比较好地满足教与学的需要，数学基础课教材应当配有适量的、互相联系的、理论与计算并重的例题和习题，通过这些例题和习题能更好地理解、掌握以及自然地导出所讲述的概念、理论、方法与技巧。我们尽量地按照这一要求去做。为了学好数学基础课必需独立去做较多的习题。本书的习题依每节来安排，正文中共768道题。为了便于教师选用，在书末给出了提示与解答，但希望学生不要轻易就看解答，应该力争由自己独立完成。各附录共有76道题，都没有给出提示与解答。

我们深知要写好一本初等数论的教材绝非易事，虽然我们从事数论工作数十年，从1978年起就在山东大学与北京大学开设初等数论课，但一直未敢动笔。现在为了适应教学需要，把我们多年所积累的讲稿进行挑选、补充和进一步加工整理，编写成这一本不够成熟，我们也仍不满意的教材，其中疏忽不当以至错误之处在所难免，切望同行和读者多多指正。

本书的出版得到了我们的母校北京大学教材建设委员会和北京大学出版社数理编辑室的大力支持；责任编辑刘勇同志改正了书稿中的许多笔误和疏漏，做了大量有益的工作，对此表示最衷心的感谢！

潘承洞

潘承彪

1991年11月于北京