4.1 数制

用户在计算机指令代码和数据的书写中经常会使用到数制，数制也称计数制，是用一组固定的符号和统一的规则来表示数值的方法。任何一个数制都包含两个基本要素，基数和位权。虽然计算机能极快地进行运算，但其内部并不像人类在实际生活中使用的十进制，而是使用只包含0和1两个数值的二进制。学习编程，就必须了解二进制、八进制和十六进制。

4.1.1 二进制

二进制是计算机系统中采用的进位计数制。在二进制中，数用0和1两个符号来描述。计数规则是逢二进一，借一当二。当前的计算机系统基本上使用的是二进制系统，数据在计算机中主要是以补码的形式存储的。计算机中的二进制是一个非常微小的开关，用1来表示“开”，0来表示“关”。

1. 二进制的优点

数字装置简单可靠，所用元件少；只有两个数码0和1，因此它的每一位数都可用任何具有两个不同稳定状态的元件来表示；基本运算规则简单，运算操作方便。

2. 二进制的缺点

用二进制表示一个数时，位数多。因此实际使用中多采用送入数字系统前用十进制，送入机器后再转换成二进制数，让数字系统进行运算，运算结束后再将二进制转换为十进制供用户阅读。

3. 认识二进制

在数据世界里面，十进制是最常用的。那如何用一个十进制数来表示二进制呢？首先计算一个二进制数1111转变成十进制数的过程。

1*20+1*21+1*22+1*23=1*1+1*2+1*4+1*8=15，如图4-1所示。

由于1111才4位，所以可直接记住它每一位的权值，并且是从高位往低位记8、4、2、1。即，最高位的权值为23=8，然后依次是22=4，21=2，20=1。所以记住8、4、2、1，对于任意一个4位的二进制数，都可以很快算出它对应的十进制值，如图4-2所示。

二进制和十进制的互相转换是比较重要的。不过这二者的转换却不用计算，每个C++程序员都能做到看见二进制数，直接就能转换为十进制数，反之亦然。

二进制转十进制：按权展开求和。

例：(1011.01)2 =(1×23+0×22+1×21+1×20+0×2(-1)+1×2(-2))10

=(8+0+2+1+0+0.25)10

=(11.25)10

注意：(1011.01)2，这个下标表示1011.01是二进制数。同理，11.25是十进制。

规律：个位上的数字的次数是0，十位上的数字的次数是1，……，0依次递增，而十分位的数字的次数是-1，百分位上数字的次数是-2，……，依次递减。

4.1.2 八进制

八进制是一种以8为基数的计数法，采用0，1，2，3，4，5，6，7八个数字，逢八进一。一些编程语言中常常以数字0开头表明该数字是八进制。八进制的数和二进制的数可以按位对应（八进制一位对应二进制三位），因此八进制（基数为8）表示法常应用在计算机语言中，我们经常看到人们使用八进制表示法。但由于十六进制一位可以对应4位二进制数字，用十六进制来表示二进制较为方便。因此，八进制的应用性不如十六进制。

八进制与二进制之间的相互转换见表4-1。

八进制转换为二进制，直接替换就可以实现。例如17.36转换成二进制，按照顺序，每1位八进制数改写成等值的3位二进制数，次序不变。

(17.36)8=(001 111 .011 110)2=(1111.01111)2

而将一个二进制数换算为八进制，只需将二进制串划分成每三个位一组（如果需要的话，在前面补零），然后查表4-1，将三位一组的位串替换为相应的八进制数字即可。

4.1.3 十六进制

十六进制是计算机中数据的一种表示方法。同日常生活中的十进制表示法不一样。它由0—9，A—F组成，字母不区分大小写。N进制的数可以用0(N-1)的数表示，超过9的用字母A—F，计数规则是逢十六进一。

编程中，开发者常用的还是十进制，毕竟C/C++是高级语言。不过，由于数据在计算机中的表示，最终以二进制的形式存在，所以有时候使用二进制，可以更直观地解决问题。但二进制数太长了，比如int类型占用4字节，32位。面对这么长的数进行思考或操作，没有人会喜欢。因此，C++没有提供在代码中直接写二进制数的方法。用十六进制或八进制可以解决这个问题。因为，进制越大，数的表达长度也就越短。

不过，为什么偏偏是十六进制或八进制，而不是其他的，诸如九进制或二十进制呢？2、8、16，分别是2的1次方、3次方、4次方。这一点使得三种进制之间可以非常直接地互相转换。八进制或十六进制缩短了二进制数，但保持了二进制数的表达特点。在下面的关于十六进制与二进制的转换表中，可以发现这一点。

十六进制与二进制之间的相互转换见表4-2。

十六进制转换成二进制相当直接，规则也相仿八进制转换为二进制，按照顺序，每1位十六进制数改写成等值的4位二进制数，次序不变。

例：(FCAD)16=(1111 1100 1010 1101)2

而将一个二进制数换算为十六进制，只需将二进制串划分成每四个位一组（如果需要的话，在前面补零），然后查表4-2，将四位一组的位串替换为相应的十六进制数字即可。

十六进制和二进制、八进制一样，都以2的幂来进位的。

4.1.4 十进制

十进制数用0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这十个符号来描述。计数规则是逢十进一。十进制计数法是相对二进制计数法而言的，是日常使用最多的计数方法，它的定义是：“每相邻的两个计数单位之间的进率都为十”的计数法则，就叫作“十进制计数法”。

十进制基于位进制和十进位两条原则，即所有的数字都用10个基本的符号表示，同时同一个符号在不同位置上所表示的数值不同，符号的位置非常重要。基本符号是0到9十个数字。要表示这十个数的10倍，就将这些数字左移一位，用0补上空位，即10，20，30，…，90；要表示这十个数的10倍，就继续左移数字的位置，即100，200，300，…。要表示一个数的1/10，就右移这个数的位置，需要时就0补上空位：1/10位0.1，1/100为0.01，1/1000为0.001。

十进制与二进制之间的相互转换见表4-3。

1. 二进制数转换成十进制数

由二进制数转换成十进制数的基本做法是，把二进制数首先写成加权系数展开式，然后按十进制加法规则求和。这种做法称为“按权相加”法。

2. 十进制数转换为二进制数

十进制数转换为二进制数时，由于整数和小数的转换方法不同，所以先将十进制数的整数部分和小数部分分别转换后，再加以合并。

（1）十进制整数转换为二进制整数。十进制整数转换为二进制整数采用“除2取余，逆序排列”法。具体做法是：用2去除十进制整数，可以得到一个商和余数；再用2去除商，又会得到一个商和余数，如此进行，直到商为零时为止，然后把先得到的余数作为二进制数的低位有效位，后得到的余数作为二进制数的高位有效位，依次排列起来。

例：(89)10=(1011001)2

89/2=44……1

44/2=22……0

22/2=11……0

11/2=5……1

5/2=2……1

2/2=1……0

1

（2）十进制小数转换成二进制小数采用“乘2取整，顺序排列”法。具体做法是：用2乘十进制小数，可以得到积，将积的整数部分取出，再用2乘余下的小数部分，又得到一个积，再将积的整数部分取出，如此进行，直到积中的小数部分为零，或者达到所要求的精度为止。然后把取出的整数部分按顺序排列起来，先取的整数作为二进制小数的高位有效位，后取的整数作为低位有效位。

例：(0.625)10=(0.101)2

0.625*2=1.25……1

0.25*2=0.50……0

0.50*2=1.00……1

二进制与十进制的区别在于数码的个数和进位规律，二进制的计数规律为逢二进一，是以2为基数的计数体制。10这个数在二进制和十进制中所表示的意义完全不同，在十进制中就是我们通常所说的十，在二进制中，其中的一个意义可能是表示一个大小等价于十进制数2的数值。