第五回 深究贴现利率

技术性的东西说到现在，大家会不会觉得有些枯燥？也许有人想问，有必要说得那么复杂吗？不懂那么多，其实也可以交易呀，反正我们不走技术派路线，判断利率涨跌，走经验派路线一样可以在市场里赚钱。对于这些疑问，我举一个例子吧。在纸牌类竞技项目里，我最喜欢玩的是二十一点（blackjack）。有些人坐在台上，纯粹赌运气，有输的也有赢的。有些人觉得凭着自己叱咤赌场多年，光实战经验就可以说一筐，而且收效不错，甚至赢面大于输面。但是真正的高手，会知道每一次要牌、不要牌的赢面概率有多大，很理智地做出适当的判断，务求制胜。IRS市场其实蛮像一个赌场，什么类型的赌客都有。大家过来赌赌运气，纯粹娱乐，市场永远常开，来者都是客。但IRS是零和游戏，有人赌赢，就有人输，如果想独领风骚，在市场上割割韭菜，多了解一下IRS背后的技术逻辑总不会吃亏的。祝各位《利率互换通关秘籍》的读者，交易场上乘风破浪！

现在让我们回到故事场景中吧！

小布上回跟琦姐姐上了一节数学课。他学会了贴现利率（零息利率）就是西门总“到期支付本息”的贷款利率，然后配合预期的重置利率，准确计算出IRS合约的固定利率。但是如果西门总的贷款利率根本就不是“到期支付本息”，而是“每3个月支付一次利息”，那又该怎样？

小布拿起咖啡杯，喝了一口卡布奇诺，舌尖上尽是奶泡浸润的味道，可是小布无暇关注卡布奇诺带给味蕾的快感，他正沉思着琦姐姐的问题。他把西门总的贷款利率和预期的重置利率都写在纸上（见表5-1）。

琦姐姐看到小布愁眉苦脸的样子，在犹豫到底应不应该让小布自己探索答案。过了良久，小布依然一声不发，琦姐姐于心不忍，决定继续指导小布。

琦姐姐说：“小布，你能告诉我，3个月的贴现利率是多少吗？”小布说：“这个简单，就是8%，因为西门总要求3个月付息，那3个月的贷款也就符合了‘本息到期支付’的贴现利率要求。”琦姐姐继续说：“没错，那3个月解决了，我们尝试算一下6个月的贴现利率吧。”

小布问：“可是6个月的西门总贷款利率已经不是‘本息到期支付’了，那可怎么办？”琦姐姐说：“我们直接把所有的现金流在纸上画出来吧（见图5-1）。”

琦姐姐指着图解释道：“这是6个月贷款合约的现金流，刚开始的时候假设贷款本金是1，那么3个月后贷款方需要支付8.5×（1/4），而6个月后需要支付本金1和利息8.5×（1/4）。”小布点点头，表示明白了。

琦姐姐继续说：“已知道的是3个月的贴现利率是8%，那么第3个月的利息现金流，我们就可以用8%来算现值了。那么6个月现金流呢？用哪个贴现利率？”琦姐姐把刚画的图补充了一下，然后把算式列了出来（见图5-2）。

琦姐姐见小布看得似懂非懂，耐心地跟小布一一解释。她说：“3个月的现金流现价[PV(3M)]我们已经算出来了，是0.0208，这个应该不用多解释了，直接看公式。现在看6个月的吧。假设X%是6个月的贴现利率，那么6个月的现金流现值就是[PV(6M)]，用上面第二条公式里的算法。根据‘不占优、不吃亏’的原则，得出来PV(3M)+PV(6M)=1。解方程应该是你的强项吧，得出来的结果6个月的贴现利率（X%）等于8.5958%。”

现在已经掌握了计算6个月贴现利率的办法，琦姐姐觉得小布应该有办法举一反三地把9个月的贴现利率也算出来。小布拿起笔，在纸上开始画图，并把方程式一一列举。经过繁杂的计算，小布算出来了，9个月的贴现利率为9.2198%。琦姐姐一笑，说道：“小布聪明，这个计算过程其实有个学名，叫作‘解靴带’（bootstrapping）。你看，这样算了6M贴现率，再据此算9M贴现率，像不像一层一层解开交织的马丁靴鞋带呢？”具体如图5-3所示。

小布点点头，这个叫法确实很形象，那就一鼓作气把12个月的贴现利率也算出来吧。绘图越来越复杂，公式也越来越长，小布小心翼翼地计算，最后得出来的结果是12个月贴现利率等于10.4362%（见图5-4）。

小布终于松了一口气，不容易呀，仿佛回到了高中时代在课堂上解方程的日子。离开学校都那么久了，时代发展到人工智能都快代替人脑了，传说金融家们都要失业了，难道还有人如此低效地手动解方程？小布忍不住问琦姐姐：“你肯定有好的办法计算贴现利率，对吗？”

琦姐姐说：“小布，我叫你按照最传统的方式计算，是要让你知道最基本的理论和算法到底是怎么回事，基本功要扎实。现在，我告诉你实际点的做法。来，把电脑再次打开，进入万能的Excel。”

琦姐姐很快地就把不同期限的贷款利率和预期重置利率填到Excel表格里。之后，她在下面把现金流折现的公式[PV(3M)、PV(6M)、PV(9M)、PV(12M)]都弄到表格里面去，然后都加起来，再乘以10000（单元格H10:H12）（见表5-2）。

小布发现有点奇怪，他问：“为什么要乘以10000？”琦姐姐说：“这个问题，我之后再解答，暂时先用这个乘以10000的算法吧。好，下一步，你还记得之前学到的‘单变量求解’功能吗？把它弄出来，目标单元格为H10，目标值是10000，可变单元格是B10。按‘确认’后，B10单元格马上变成8.5958%，你看这是不是6个月的贴现利率？跟小布算的一样吧（见图5-5）。”

“继续重复‘单变量求解’功能，直到B10到B12单元格都计算出来。看，已经弄好了（见表5-3）。”

果然，Excel好像变魔术一样，把几个期限的贴现利率都算出来了（单元格B10:B12）。这真的是一个神奇的功能呢。

琦姐姐提示小布：“你是否之前有个疑问？”小布想起来了，他说：“对，为什么要乘以10000？直接把‘单变量求解’的目标值设为1就可以啦。”琦姐姐说：“要不你自己试试？”小布把公式都改了一下，然后进行一样的步骤。小布感叹，“原来是这样子的呀！”（到底小布看到些什么？大家不妨自己试试，琢磨一下为什么这样做没有琦姐姐的做法好。）

琦姐姐说：“在实际的计算过程中，每一次计算现值都要把贴现利率的公式弄出来，确实是非常麻烦。其实，还有一个比较常用的方法。这个方法学名叫做‘贴现因子’（discount factor）。”

小布问：“贴现因子是什么？有什么用途的呀？”琦姐姐叫小布不要心急，随后就告诉他了这个神奇的贴现因子的功用。她说：“我们在计算现值的时候，经常要用到这种方程式（见公式5-1）：

括号里面一大串的东西，看起来复杂，算起来容易弄错。所以，有了‘贴现因子’这个东西，直接取代括号里的方程式。来看我怎么换装啦。”（见公式5-2）

“是不是看起来舒服很多？PV=FV×DF。（DF就是discount factor贴现因子）这样多省心。继续用Excel计算不同期限的DF吧（见表5-4）。”

“如果需要计算现值的话，可以直接用DF乘以现金流就可以了，非常方便。”

琦姐姐补充说：“DF的计算，对未来当你学IRS的估值的时候有非常重要的作用。”小布一怔，愣愣地问道：“IRS怎么还要估值？”

琦姐姐说：“对呀，别忘记现在计算现金流用的预期重置利率全是你拍出来的。如果这些预期落空了，或者是预期改变了，IRS的固定利率也会随着改变。已经签订的合同不能随时改动，因此也会造成估值上的盈利或损失。”

小布觉得很有道理，暗自下定决心，一定要通关到底，继续学习。他恳求琦姐姐继续教他，关于估值的来龙去脉。

计算某个期限的贴现利率，如公式5-3所示：

这一回结束前琦姐姐告诉小布的贴现因子（discount factor），是固定收益产品中估值时重要的工具，如公式5-4所示：

请各位读者注意，我们的算法跟教科书里的算法不一样。一般的教科书里，是每一年的付息周期，因此，当使用“解靴带”的时候，用的是复利计算方式。我们这一回的例子是一年内的利率，用的是单利计算方式。复利和单利的差别，使得公式也有所差异。有兴趣的读者们可以参考复利的贴现利率计算方式。如果小布的贷款超过一年，西门总的贷款利率依然是每季度付息，那么我们计算贴现利率的时候（年化利率）必须结合复利和单利的计算方式。