2.4 矩阵基础
矩阵的基本操作主要包括构造矩阵、改变矩阵维度与矩阵大小、矩阵索引、获取矩阵属性信息等。MATLAB提供了相应的命令或相应的库函数与各操作对应。
2.4.1 有关概念
有关矩阵的概念，可以参考有关的数学书籍，这里不再赘述。但向量其本质上是一维的矩阵，在使用MATLAB进行科学计算时，基本不区分矩阵与向量，因此需要注意。
数组是在程序设计中，把具有相同类型的若干变量按有序的形式组织起来的一种形式，这些按序排列的同类数据元素的集合称为数组。
矩阵和数组在MATLAB中的区别主要表现在两方面：
● 矩阵是数学上的概念，而数组是计算机程序设计领域的概念。
● 矩阵作为一种变换或者映射运算符的体现，其运算有着明确而严格的数学规则；而数组运算是MATLAB软件定义的规则。
两者的联系主要体现在，矩阵是以数组的形式存在的，一维数组相当于向量，二维数组相当于矩阵，可将矩阵视为数组的子集。
2.4.2 创建矩阵
矩阵可以通过两种方式创建：
● 对变量直接进行赋值；
● 使用MATLAB提供的特殊矩阵创建函数，如表2.17所示。
表2.17 特殊矩阵的创建函数
注：k=0为主对角线；k< 0为下第k对角线；k> 0为上第k对角线。
下面介绍简单矩阵和特殊矩阵的创建方法。
1．创建简单矩阵
采用矩阵构造符号——方括号“[]”，将矩阵元素置于方括号内，同行元素之间用空格或逗号来隔开；行与行之间用分号“; ”隔开。
例2-34，创建简单矩阵示例。
在命令行窗口输入命令：
A = [1,2,3;4,6,8] % 逗号和分号的使用构造矩阵
B = [2 3 4;3 2 1] % 空格和分号的使用构造矩阵
V1 = [6,9,12,3] % 构造行向量
V2 = [1;8] % 构造列向量
程序运行过程中的输出为：
A = 1 2 3
4 6 8
B = 2 3 4
3 2 1
V1 = 6 9 12 3
V2 = 1
8
2．创建特殊矩阵
使用表中命令可以创建特殊矩阵。
例2-35，创建特殊矩阵示例。
在命令行窗口输入：
OnesMat= ones(2)
ZerosMat= zeros(2)
IdenMat = eye(2)
IdenMat23 = eye(2, 3)
IdenMat32 = eye(3, 2)
输出结果如下：
OnesMat = 1 1
1 1
ZerosMat = 0 0
0 0
IdenMat = 1 0
0 1
IdenMat23 = 1 0 0
0 1 0
IdenMat32 = 1 0
0 1
0 0
3．创建空矩阵
可以使用[]代表空矩阵，通过直接赋值的方法来创建空矩阵。
2.4.3 改变矩阵结构
矩阵大小和结构可以改变，实现的方式主要有旋转矩阵、改变矩阵维度、删除矩阵元素等。MATLAB提供的此类函数如表2.18所示。
表2.18 矩阵结构改变函数
例2-36，矩阵的旋转与维度的改变。
在命令行窗口输入：
A = [1,2,3;4,6,8]
B= reshape(A, 2, 3)
C= fliplr(A )
D= rot90(A)
E= repmat(A, [1 2])
输出结果如下：
A = 1 2 3
4 6 8
B = 1 2 3
4 6 8
C = 3 2 1
8 6 4
D = 3 8
2 6
1 4
E = 1 2 3 1 2 3
4 6 8 4 6 8
2.4.4 矩阵下标
矩阵元素索引可分为双下标索引和单下标索引。
● 双下标索引通过两个下标对来对应元素在矩阵中的行列位置，例如A(2,3)表示矩阵A中第2行第3列的元素。
● 单下标索引通过一个下标对来对应元素在矩阵中的行列位置，其采用列元素优先的原则，对m行n列的矩阵按列排序进行重组，成为一位数组，再取新的一维数组中的元素位置作为元素在矩阵中的单下标。例如对于3×4的矩阵，A(7)表示矩阵A中第1行第3列的元素，而A(9)表示矩阵A中第3行第3列的元素。
下面介绍访问矩阵元素的具体方法。
1．矩阵下标引用
常用的矩阵索引表达式如表2.19所示。
表2.19 矩阵的索引表达式
例2-37，矩阵下标的引用示例。
在命令行窗口输入：
M= magic(5) , SubM = M( 2:3, 3:4 ), AM = M ( [7:8 16:18] )
输出结果如下：
M = 17 24 1 8 15
23 5 7 14 16
4 6 13 20 22
10 12 19 21 3
11 18 25 2 9
SubM = 7 14
13 20
AM =5 6 8 14 20
2．引用转换
矩阵中某一元素的单下标索引值和双下标索引值之间，可以通过sub2ind函数进行转换。
例2-38，单双下标索引值转换示例。
在命令行窗口输入：
ind = sub2ind([3 4], 1,3), [I J]= ind2sub([3 4], 7)
输出结果如下：
ind = 7
I = 1
J = 3
3．访问多个矩阵元素
例2-39，访问多个矩阵元素示例。
在命令行窗口输入：
A=magic(3)
A1= A(1:2:9)
A2= A(1:3,1:2)
输出结果如下：
A = 8 1 6
3 5 7
4 9 2
A1 =8 4 5 6 2
A2 =8 1
3 5
4 9
2.4.5 矩阵信息
矩阵的信息主要包括矩阵结构、矩阵大小、矩阵维度、矩阵的数据类型及内存占用等。
1．矩阵结构
矩阵的结构是指矩阵子元素的排列方式。MATLAB提供了如表2.20所示结构判断函数，这类函数的返回值是逻辑类型的数据：返回值为“1”表示该矩阵是特定类型的矩阵；返回值为“0”表示该矩阵不是该特定类型的矩阵。
表2.20 矩阵结构判断函数
例2-40，矩阵结构判断函数的使用方法示例。
在命令行窗口输入：
A=magic(3);
p1=isempty(A) % 判断矩阵A是否为空矩阵
p2=isscalar(A) % 判断矩阵A是否为标量
p3=isvector(A) % 判断矩阵A是否为向量
p4=issparse(A) % 判断矩阵A是否为稀疏矩阵
输出结果如下：
p1 = 0
p2 = 0
p3 = 0
p4 = 0
2．矩阵大小
矩阵的形状信息通常包括：
● 矩阵的维数；
● 矩阵各维长度；
● 矩阵元素个数。
MATLAB提供了4个函数，分别用于获取矩阵形状以上三方面的相关信息，如表2.21所示。
表2.21 矩阵形状信息查询函数
例2-41，矩阵形状信息查询函数的使用示例。
在命令行窗口输入：
X=[magic(3) [1 1 1]']
nd=ndims(X)
[r, c]=size(X)
l=length(X)
n=numel(X)
输出结果如下：
X = 8 1 6 1
3 5 7 1
4 9 2 1
nd =2
r = 3
c = 4
l = 4
n = 12
3．矩阵维度
MATLAB将空矩阵、标量矩阵、一维矩阵和二维矩阵都作为普通二维数组对待，并提供ndims函数计算矩阵维度。
例2-42，矩阵维度示例。
在命令行窗口输入：
A = []; B = 5; C = 1:3; D = zeros(2); E(:, :,2) = [1 2; 3 4];
Nd= [ndims(A) ndims(B) ndims(C) ndims(D) ndims(E)]
输出结果如下：
Nd = 2 2 2 2 3
4．矩阵数据类型
矩阵的元素可以使用各种各样的数据类型，对应不同数据类型的元素，可以是数值、字符串、单元数组、结构等。
MATLAB中提供了一系列关于数据类型的判断函数，如表2.22所示。这类函数的返回值是逻辑类型数据：返回值为“1”表示是某一特定的数据类型；返回值为“0”表示不是该特定的数据类型。
表2.22 矩阵数据类型的测试函数
例2-43，矩阵元素的数据类型的判断示例。
在命令行窗口输入：
A =[magic(3) [1 1 1]'];
p1=isnumeric(A)
p2=isfloat(A)
p3=islogical(A)
得到的结果为：
p1 = 1
p2 = 1
p3 = 0
5．矩阵占用的内存
可以通过whos命令查看当前工作区中的指定变量的所有信息，包括变量名、矩阵大小、内存占用和数据类型等。
例2-44，查看矩阵占用的内存示例。
在命令行窗口输入：
Matrix = rand(3);
whos Matrix
输出结果如下：
Matrix =
0.2551 0.6991
0.5060 0.8909
在命令行窗口输入：
whos Matrix
输出结果如下：
Name Size Bytes Class Attributes
Matrix 3x3 72 double