6.4 矩阵运算
本节将介绍MATLAB中与矩阵运算相关的内容，包括矩阵分析、矩阵分解、特征值和特征向量求解等。
6.4.1 矩阵分析
MATLAB提供的矩阵分析函数（常见函数）如表6.2所示。
表6.2 矩阵分析函数
有关的数学知识可参考相关的线性代数书籍，这里不再赘述。下面简单介绍这些函数的使用方法。
1．向量和矩阵的范数运算
MATLAB提供norm函数来求向量和矩阵的范数。该函数求解向量的范数的调用格式如下：
N=norm(x, p)：对任意大于等于1的p值，返回向量x的p阶范数；
N=norm(x, inf)：返回向量的正无限阶范数，相当于N=max(abs(x))；
N=norm(x, -inf)：返回向量的负无限阶阶范数，相当于N=min(abs(x))。
求矩阵范数调用格式如下：
N=norm(A)：计算矩阵的2 阶范数，也就是最大奇异值；
N=norm(A, p)：根据参数p的值不同，求不同阶的范数值——
● 当p=1时，计算矩阵A的1阶范数，相当于max(sum(abs(A)))；
● 当p=2时，计算矩阵A的2阶范数，相当于norm(A)；
● 当p=inf时，计算矩阵A的正无限阶范数，相当于max(sum(abs(A')))。
● 当p= 'fro’时，计算矩阵A的F范数（Frobenius范数）。
另外，函数normest可以估计矩阵的二阶范数，该函数的调用格式如下：
normest(S)：估计矩阵S的2阶范数值，默认允许的相对误差为1e-6；
normest(S, tol)：使用tol作为允许的相对误差，估计矩阵S的2阶范数值。
例6-33，求向量范数示例。
在命令行窗口输入：
N2=norm(1:6,2)
Np=norm(1:6, inf)
Nn=norm(1:6, -inf)
输出结果如下：
N2 = 9.5394
Np = 6
Nn = 1
例6-34，求矩阵的范式示例。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
N1=norm(A,1) %矩阵的1阶范式
N2=norm(A) %矩阵的2阶范式
Np=norm(A, inf) %矩阵的无穷范式
Nf=norm(A, 'fro') %矩阵的F范式
Ne2=normest(A) %矩阵的2阶范式的估计值
输出结果如下：
N1 = 17
N2 = 16.0216
Np = 24
Nf = 16.0624
Ne2 = 16.0216
2．矩阵的秩
矩阵中线性无关的列向量个数称为列秩，线性无关的行向量个数称为行秩。MATLAB提供函数rank来计算矩阵的秩，该函数调用格式如下：
rank(A)：用默认允许误差计算矩阵的秩；
rank(A, tol)：在给定允许误差内计算矩阵的秩。
例6-35，求矩阵的秩示例。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
B=eye(3);
r1=rank(A) %矩阵的秩
r2=rank(B) %矩阵的秩
输出结果如下：
r1 = 2
r2 = 3
提示
结果说明，矩阵B为满秩矩阵，矩阵A不是满秩矩阵。
3．矩阵的行列式
MATLAB提供函数det来计算矩阵的行列式。该函数的调用格式为d = det(X)。
例6-36，求矩阵的行列式示例。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
B=eye(3);
r1=det(A) %矩阵的行列式
r2=det(B) %矩阵的行列式
输出结果如下：
r1 = 0
r2 = 1
4．矩阵的迹
MATLAB提供函数trace来计算矩阵的迹。该函数的调用格式为b = trace(A)。
例6-37，求矩阵的迹示例。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
B=eye(3);
t1=trace(A) %矩阵的迹
t2=trace(B) %矩阵的迹
输出结果如下：
t1 = 14
t2 = 3
5．矩阵的化零矩阵
MATLAB提供函数null来计算矩阵的化零矩阵。该函数的调用格式为：
Z = null(A)：返回矩阵A的一个化零矩阵，如果化零矩阵不存在则返回空矩阵；
Z = null(A, 'r')：返回矩阵A的有理数形式的化零矩阵。
例6-38，求矩阵的化零矩阵。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
Z=null(A) %求矩阵A的有理数形式的零矩阵
AZ=A*Z %验证化零矩阵
ZR=null(A, 'r') %求矩阵A的有理数形式的化零矩阵
P=A*ZR %验证化零矩阵
输出结果如下：
Z = 0.4082
-0.8165
0.4082
AZ = -0.2220*1.0e-15
0
0
ZR = 1
-2
1
P = 0
0
0
6．矩阵的正交空间
MATLAB提供函数null来求解矩阵的正交空间。该函数的调用格式为B = orth(A)。
例6-39，求矩阵的正交空间示例。
在命令行窗口输入：
A=[1 2 3;3 4 5;7 8 9];
Q=orth(A)
输出结果如下：
Q = -0.2262 -0.8143
-0.4404 -0.4040
-0.8688 0.4168
7．矩阵空间夹角
MATLAB提供函数subspace来求解矩阵的正交空间。该函数的调用格式为theta=subspace(A, B)，返回矩阵A和矩阵B之间的夹角。
例6-40，求矩阵A和B之间的夹角示例。
在命令行窗口输入：
A=[0 0 3;3 4 5;7 8 9];
B=magic(3);
theta=subspace(A, B)
输出结果如下：
theta = 9.3770e-16
6.4.2 矩阵分解
矩阵分解是把一个复杂矩阵分解成几个结构简明的矩阵的乘积。本小节将介绍几种矩阵分解的方法，相关函数如表6.3所示。
表6.3 矩阵分解函数
除表中列出的分解方式外，还有更多不常用的分解方式，本书不作介绍，请读者参考有关书籍和帮助文件。
1．对称正定矩阵的Cholesky分解
Cholesky分解在MATLAB中用函数chol来实现，其常用的调用方式如下：
R = chol(A)
L = chol(A, 'lower')
[R, p] = chol(A)
[L, p] = chol(A, 'lower')
[R, p, s] = chol(A)
[R, p, s] = chol(A, 'vector')
[L, p, s] = chol(A, 'lower', 'vector')
其中，A为对称正定矩阵，若为非正定矩阵则函数返回出错信息；R是上三角矩阵，满足R'*R=A; L是下三角矩阵，满足L*L'=A; p为上三角矩阵的阶数，满足A(1:p-1,1:p-1)=R'*R。
例6-41, Cholesky矩阵分解示例。
在命令行窗口输入：
A=pascal(5) %产生5阶帕斯卡矩阵
B=A-1
C=chol(A) %获取上三角分解矩阵
J1=isequal(C'*C, A) %验证
L = chol(A, 'lower') %获取上三角分解矩阵
J2=isequal(L*L', A) %验证
CB=chol(B) %分解非正定矩阵
输出结果如下：
A = 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5
1 3 6 10 15
1 4 10 20 35
1 5 15 35 70
B = 0 0 0 0 0
0 1 2 3 4
0 2 5 9 14
0 3 9 19 34
0 4 14 34 69
C = 1 1 1 1 1
0 1 2 3 4
0 0 1 3 6
0 0 0 1 4
0 0 0 0 1
J1 = 1
L = 1 0 0 0 0
1 1 0 0 0
1 2 1 0 0
1 3 3 1 0
1 4 6 4 1
J2 = 1
Error using chol
Matrix must be positive definite.
2.LU分解
LU分解可以将任意一个方阵A分解为一个下三角矩阵L和一个上三角矩阵U的乘积，即A=LU。LU分解在MATLAB中用函数lu来实现，其调用格式如下：
Y = lu(A)
[L, U] = lu(A)
[L, U, P] = lu(A)
其中，A为方阵，L为下三角矩阵，U为上三角矩阵，满足关系X=L*U, P为置换矩阵，满足关系P*A = L*U, Y把上三角矩阵和下三角矩阵合并在矩阵中给出，满足Y=L+U-I。
提示
可以利用LU分解来计算矩阵的行列式的值和矩阵的逆，其命令形式如下：
det(A)=det(L)*det(U)
inv(A)=inv(U)*inv(L)
例6-42, LU分解示例。
在命令行窗口输入：
A = [ 3 2 4; 9 5 6; 1 8 0 ];
[L1, U1]=lu(A) %矩阵的LU分解
J1=isequal(L1*U1, A) %验证
[L2, U2, P]=lu(A)
J2=isequal(L2*U2, P*A) %验证
Y=lu(A)
J3=isequal(Y, L2+U2-eye(size(A))) %验证
输出结果如下：
L1 = 0.3333 0.0448 1.0000
1.0000 0 0
0.1111 1.0000 0
U1 = 9.0000 5.0000 6.0000
0 7.4444 -0.6667
0 0 2.0299
J1 = 1
L2 =1.0000 0 0
0.1111 1.0000 0
0.3333 0.0448 1.0000
U2 = 9.0000 5.0000 6.0000
0 7.4444 -0.6667
0 0 2.0299
P = 0 1 0
0 0 1
1 0 0
J2 = 1
Y = 9.0000 5.0000 6.0000
0.1111 7.4444 -0.6667
0.3333 0.0448 2.0299
J3 = 1
3．正交分解
正交分解又称QR分解。QR分解把一个m×n的矩阵A分解为一个正交矩阵Q和一个上三角矩阵R的乘积，即A=Q*R。在MATLAB中QR分解由函数qr来实现，其调用格式如下：
R = qr(A)
R = qr(A,0)
[Q, R] = qr(A)
[Q, R] = qr(A,0)
[Q, R, E] = qr(A)
[Q, R, e] = qr(A,0)
[C, R] = qr(A, B)
[C, R, E] = qr(A, B)
其中，A为待分解矩阵；Q为正交矩阵；R为上三角矩阵；参数0代表则只计算矩阵Q的前n列元素，得到的R为n×n的矩阵；E为置换矩阵，满足A*E=Q*R；矩阵B与矩阵A具有相同的行数。
例6-43, QR分解示例。
在命令行窗口输入：
A = [ 3 2 4; 9 5 6; 1 8 0 ];
R1 = qr(A)
[Q2, R2]=qr(A)
B=[1 3 5 6;8 2 7 3;1 3 5 9];
[Q3, R3, E3] = qr(B)
输出结果如下：
R1 = -9.5394 -6.1849 -6.9187
0.7177 7.3991 -0.6475
0.0797 -0.8880 -1.9268
Q2 = -0.3145 0.0074 -0.9492
-0.9435 -0.1129 0.3117
-0.1048 0.9936 0.0425
R2 = -9.5394 -6.1849 -6.9187
0 7.3991 -0.6475
0 0 -1.9268
Q3 =-0.5345 0.1167 -0.8371
-0.2673 -0.9629 0.0364
-0.8018 0.2432 0.5459
R3 = -11.2250 -3.4744 -8.5524 -4.5434
0 -7.3436 -4.9411 -0.8462
0 0 -1.2010 -0.8007
E3 = 0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
1 0 0 0
6.4.3 特征值与特征向量
MATLAB中矩阵特征值与特征向量相关函数的调用格式及其功能如下：
（1）d = eig(A)
包含矩阵A的特征值向量d；
（2）[V, D] = eig(A)
求矩阵A的特征值在对角线上的对角矩阵D和矩阵V，满足AV=VD。
（3）d = eigs(A)
求由矩阵A的部分特征值组成的向量，最多计算6个特征值。
（4）[V, D] = eig(A, B)
求矩阵A的特征值向量V，和特征向量D（满足A*V = B*V*D）。
例6-44，矩阵特征值与特征向量计算示例。
在命令行窗口输入：
A = magic(3);
[V, D] = eig(A)
R= V*D-A*V
输出结果如下：
V = -0.5774 -0.8131 -0.3416
-0.5774 0.4714 -0.4714
-0.5774 0.3416 0.8131
D =15.0000 0 0
0 4.8990 0
0 0 -4.8990
R =1.0e-14 *
-0.1776 -0.4885 -0.0888
-0.3553 -0.0444 -0.0444
0.1776 -0.1332 -0.1776
6.4.4 矩阵函数运算
MATLAB提供的部分矩阵运算函数及其功能如表6.4所示。
表6.4 矩阵运算函数
下面介绍这几个函数的用法。
1．矩阵指数运算
MATLAB提供函数expm用于矩阵指数的运算。其调用格式如下：
Y = expm(X)
该函数返回矩阵X的指数。满足：
[V, D] = EIG(X) 且expm (X) = V*diag(exp(diag(D)))/V。
例6-45, expm与exp函数对矩阵运算的比较示例。
在命令行窗口输入：
A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0-1]
expmA=expm(A)
expA=exp(A)
输出结果如下：
A = 1 1 0
0 0 2
0 0 -1
expmA =2.7183 1.7183 1.0862
0 1.0000 1.2642
0 0 0.3679
expA =2.7183 2.7183 1.0000
1.0000 1.0000 7.3891
1.0000 1.0000 0.3679
2．矩阵对数运算
矩阵对数运算是矩阵指数运算的逆运算。MATLAB提供函数logm来实现矩阵对数运算，其调用格式如下：
L = logm(A)
[L, exitflag] = logm(A)
其中，L为矩阵A的对数，exitflag为运算标识；当exitflag为0时，函数成功运行；当exitflag为1时，表明运算过程中某些泰勒级数不收敛，但运算结果仍可能精确。
例6-46，矩阵对数运算示例
在命令行窗口输入：
A = [1 1 0; 0 0 2; 0 0-1];
expmA=expm(A);
A1=logm(expmA)
输出结果如下：
A1 =1.0000 1.0000 0.0000
0 0 2.0000
0 0 -1.0000
3．矩阵开方运算
MATLAB提供两种计算矩阵平方根的方法，分别为A^0.5形式运算和sqrtm(A)命令，但函数sqrtm比A^0.5的运算精度更高。
函数sqrtm的调用格式如下：
X = sqrtm(A)
函数返回矩阵A的平方根X，如果矩阵A是奇异的，将返回警告信息。
例6-47，矩阵开方运算示例。
在命令行窗口输入：
A = [7 10; 15 22]
A=A*A
B1=sqrtm(A)
B2=A^0.5
输出结果如下：
A = 7 10
15 22
A =199 290
435 634
B1 =7.0000 10.0000
15.0000 22.0000
B2 =7.0000 10.0000
15.0000 22.0000
4．非线性矩阵函数运算
MATLAB提供了计算一般非线性矩阵函数运算的函数funm，其调用格式如下：
F = funm(A, fun)
该函数为方阵A进行fun函数的运算，返回方阵F。其中，fun为函数句柄，可以进行的调用格式如表6.5所示。
表6.5 非线性矩阵运算函数
例6-48，非线性矩阵函数运算示例。
在命令行窗口输入：
X=magic(3);
E = expm(i*X);
C1 = funm(X, @cos)
C2 = real(E)
S1 = funm(X, @sin)
S2 = imag(E)
输出结果如下：
C1 =-0.1296 -0.3151 -0.3151
-0.3151 -0.1296 -0.3151
-0.3151 -0.3151 -0.1296
C2 =-0.1296 -0.3151 -0.3151
-0.3151 -0.1296 -0.3151
-0.3151 -0.3151 -0.1296
S1 =-0.3850 1.0191 0.0162
0.6179 0.2168 -0.1844
0.4173 -0.5856 0.8185
S2 =-0.3850 1.0191 0.0162
0.6179 0.2168 -0.1844
0.4173 -0.5856 0.8185