三、计算题

1某消费者的效用函数为，其中、分别是她在时期1与时期2的消费量。她在每个时期都可以赚得100单位的消费品，并可以按10%的利率进行借贷。

（1）写出该消费者的预算方程。

（2）若该消费者不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是多少？

（3）若该消费者进行最佳数量的借款或者储蓄，则她在时期2的消费对时期1的消费的比率是多少？

解：（1）跨期消费的预算方程为：。代入数据：

整理可得：。

（2）因该消费者不进行借贷，故每个时期的消费正好等于收入，即，。

此时，边际替代率为：。因此若她不进行借贷，则她对现在与未来消费品的边际替代率是1/2。

（3）构造拉格朗日函数为：

效用最大化的一阶条件为：

两式相除可得：。因此她在时期2的消费是时期1消费的4.84倍。

2消费者的效用函数为，在第1期和第2期的收入分别为元和元，利率为，求：

（1）第1期和第2期的最优消费分别是多少？

（2）分别取什么值时，该消费者在第1期将借入、借出，或者既不借入也不借出？

（3）当利率变化时，会对第1期和第2期的消费产生什么影响？

解：（1）求解效用最大化问题即：

构造拉格朗日函数：

效用最大化的一阶条件为：

解得，。

故第1期和第2期的最优消费分别是，。

（2）当，即时，可得，此时消费者借出；

当，即时，可得，此时消费者既不借出也不借入；

当，即时，可得，此时消费者借入。

（3）因为，，所以当利率上升时，第1期消费下降，第2期消费上升；当利率下降时，第1期消费上升，第2期消费下降。