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第5章　成本函数

1．一个厂商有两个车间。一个车间按照成本函数来生产；另一个车间按照成本函数来生产。要素价格固定，所以从讨论中省略掉。该厂商的成本函数是什么？

A firm has two plants. One plant produces according to a cost function .The other plant produces according to a cost function .The factor prices are fixed and so are omitted from the discussion. What is the cost function for the firm?

解：企业的成本最小化问题是：

解得：，代入目标函数，得到：

2．一个厂商有两个车间，成本函数分别是和。该厂商的成本函数是什么？

A firm has two plants with cost functions and .What is the cost function for the firm?

解：厂商想使生产既定产出水平的成本最小化，则有：

一阶条件是：。厂商最优化选择必使，则有。联立，得：

，。由于成本函数为凸函数，因此最优解为一内点解。

则成本函数为：

3．一个厂商的生产函数由给出。该技术的成本函数是什么？作为要素价格和产出的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？

A firm has a production function given by . What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor prices and output?

答：首先，在生产函数中，两种技术是互补的。考虑第一种技术，有。因为生产函数是线性的，因此两种要素是相互替代的，厂商将选择便宜的要素来生产。因此，这种技术的成本函数为：

同理，第二种技术的成本函数为：

因为两种技术是互补的，所以成本函数为：

要素1和2的条件要素需求函数分别是：

4．一个厂商的生产函数由给出。该技术的成本函数是什么？作为要素价格

和产出的函数的要素1和2的条件要素需求函数是什么？

A firm has a production function given by .What is the cost function for this technology? What is the conditional demand function for factors 1 and 2 as a function of factor pricesand output?

解：令和，分别画出这两条曲线如图5-1所示。等产量线就是斜率为-2的曲线上位于这两条曲线交点以左的部分和斜率为-1/2的曲线上位于交点以右部分所组成的折线。

图5-1 折弯的等产量线

当时，最佳生产点位于：，此时成本为；

当时，最佳生产点位于：，此时成本为。

厂商会选择最小的成本来进行生产，因此，成本函数为：

要素1的条件要素需求函数是：

要素2的条件要素需求函数是：

5．一个厂商的生产函数形式为。这个厂商有凸的还是非凸的投入要求集？要素1的条件要素需求函数是什么？成本函数是什么？

A firm has a production function of the form .Does this firm have a convex or a nonconvex input requirement set? What is the factor demand function for factor 1? What is its cost function?

解：厂商的投入要求集如图5-2中的阴影部分，易见它是非凸的。

图5-2 厂商的投入要求集

下面求成本函数：

显然厂商的最优选择是只使用一种生产要素，这是因为厂商的产量只和使用数量多的那种要素有关，从而增加使用数量少的要素不会增加产量，只会提高成本。由于厂商只用一种要素生产，而且两种要素可以按照1∶1的比例完全替代，所以厂商只会使用价格便宜的那种要素，这样厂商的成本函数为：

条件要素需求函数为：

6．考虑一个有如下条件要素需求函数形式的厂商

为方便起见，设产出等于1。参数、、的取值是什么？为什么？

Consider a firm with conditional factor demand functions of the form

Output has been set equal to 1 for convenience. What are the values of the parameters , , and and why？

解：根据条件要素需求函数的性质：函数是关于价格的零次齐次性函数，则有：

又根据“交叉价格效应的对称性”：，得到：。

7．一个厂商的生产函数为。时，生产的最小成本等于4，等于什么？

A firm has a production function . If the minimum cost of production at is equal to 4, what is equal to?

解：成本最小化模型为：

将约束条件代入目标函数以得到无约束极小化问题：

一阶条件为：

得：

同理可得：

代入目标函数得到：

解得：

8．一个厂商的成本函数为

令为产出价格，要素价格固定，如果，该厂商会生产多少？如果，该厂商会生产多少？该厂商的利润函数是什么？

A firm　has a cost function

Let p be the price of output, and let the factor prices be fixed. If how much will the firm produce? If how much will the firm produce? What is the profit function of this firm?

答：如果，根据可知：，解得。此时，收益为，成本为，公司将获得零利润。

如果，由可知：，解得。但是由，此时利润为负，因此厂商选择停产，。

根据，可得，解得，利润为。因此，利润函数为：。

9．一个典型的硅谷厂商使用成本函数来生产块集成电路产出，该成本函数显示出递增的边际成本。它生产的集成电路块里，有的概率是次品，不能卖出。能工作的电路块可以价格卖出，且集成电路块市场是高度竞争的。

（a）计算利润对的导数和该导数的符号。

（b）计算产出对的导数和该导数的符号。

（c）假设有个相同的集成电路生产商，令为需求函数，为竞争均衡价格。计算和它的符号。

A typical Silicon Valley firm produces output of chips using a cost function , which exhibits increasing marginal costs. Of the chips it produces, a fraction are defective and cannot be sold. Working chips can be sold at a price and the chip market is highly competitive.

（a）Calculate the derivative of profits with respect to and its sign.

（b）Calculate the derivative of output with respect to and its sign.

（c）Suppose that there are identical chip producers, let be the demand function, and be the competitive equilibrium price. Calculate and its sign.

答：（a）厂商的利润最大化问题为（其中和是外生的）：

根据包络定理可知：

（b）厂商利润最大化的一阶条件为：

上式两边关于求导得到：

整理得到（最后的不等号成立是因为边际成本递增）：

（c）对于均衡价格，市场的总供给为，由于该行业中有个相同的厂商，所以每个厂商的供给为

，再由厂商利润最大化的一阶条件得到：

上式两边关于α求导得到：

从而得到：

上式中，最后一个不等号成立是因为厂商边际成本递增和小于零的缘故。

10．假设一厂商在其产出市场和要素市场上是竞争性行为。假定每个投入的价格均上升，且令为要素价格的增加。在什么条件下，会使利润最大化的产出减少？

Suppose that a firm behaves competitively in its output market and its factor market.Suppose the price of all inputs increase, and let be the increase in factor prices . Under what conditions will the profit maximizing output decrease?

答：劣质要素是指产出的增加引起投入减少的要素，即。设供给函数为：。对上式进行全微分得到：

第一个等式由定义可得，第二个等式使用了替代距阵的对称性，第三个使用了连锁法则和无条件要素需求函数和条件要素需求函数满足的结论。右边最后一个等式表明，如果没有劣质要素时，厂商的产出将下降。

11．一个厂商使用4种投入来生产1种产出。生产函数是：

（a）当要素价格是时，生产1单位产出的条件要素需求向量是什么？

（b）成本函数是什么？

（c）这项技术显示出什么样的规模报酬？

（d）另一个厂商的生产函数为。当价格时，生产1单位产出条件要素需求向量是什么？

（e）这个厂商的成本函数是什么？

（f）这项技术代表什么样的规模报酬？

A firm uses 4 inputs to produce 1 output. The production function is

（a）What is the vector of conditional factor demands to produce 1 unit of output when the factor price vector is

（b）What is the cost function?

（c）What kind of returns to scale does this technology exhibit?

（d）Another firm has a production function.What is the vector of conditional factor demands to produce 1 unit of output when prices are ?

（e）What is the cost function for this firm?

（f）What kind of returns to scale does this technology represent?

答：（a）由厂商的生产函数可以看出，第一和第二种要素在生产中采用里昂惕夫技术，是互补的，同样，第三和第四种要素也是如此。但是两者彼此又是互相替代的，因此，如果要素价格是，厂商会采用相对便宜的要素，因此选择第一和第二种要素，而不选择第三和第四种要素。所以，生产1单位产出的条件要素需求向量是：

（b）因为使用第一和第二种要素的技术与使用第三和第四种要素的技术是互相替代的，另外，使用第一和第二种要素的技术中，由于第一和第二种要素是互补的，所以成本函数为：；同样的，使用第三和第四种要素的技术的成本为：。因此，成本函数是：

（c），因此，该项技术为规模报酬不变的；

（d）厂商采用的是里昂惕夫技术，其中第一和第二种要素是相互替代的，第三和第四种要素也是相互替代的，因此当价格为时，条件要素需求向量为：

（e）理由与问题（b）相同，可以得出：

（f），因此，该项技术也为规模报酬不变的。

12．如果随着产出增加，对种要素的条件需求下降，即，那么生产要素就被叫做劣质的。

（a）画图说明劣质要素是可能的。

（b）说明如果技术是规模报酬不变的，那么不存在劣质要素。

（c）说明如果随着某个要素价格增加，边际成本下降，那么该要素一定是劣质的。

A factor of production is called an inferior if the conditional demand for that factor decreases as output increases; that is, .

（a）Draw a diagram indicating that inferior factors are possible.

（b）Show that if the technology is constant returns to scale,then no factors can be inferior.

（c）Show that if marginal cost decreases as the price of some factor increases, then that factor must be inferior.

答：（a）如图5-3所示。

图5-3　要素2为劣质生产要素

（b）如果技术是规模报酬不变的，则条件要素需求可写成，这里是生产1单位产出的条件要素需求。因此，将条件要素需求函数对产出求导得，则不存在劣质要素。

（c）如果随着某个要素价格增加，边际成本下降，该假定可以写成：

又因为：

所以得到：

所以该要素为劣质要素。

13．考虑一个利润最大化厂商，生产一种在竞争性市场出售的产品。据观察，当产出物品价格上升时，该厂商要雇佣更多的熟练工人和更少非熟练工人。现在非熟练工人团结起来成功地迫使老板增加了工资。同时假定所有其他价格仍然不变。

（a）该厂商对非熟练工人的需求会发生什么变化？

（b）厂商的产出供给会发生什么变化？

Consider a profit-maximizing firm that produces a good which is sold in a competitive market. It is observed that when the price of the output good rises, the firm hires more skilled workers but fewer unskilled workers. Now the unskilled workers unionize and succeed in getting their wage increased. Assume that all other prices remain constant.

（a）What will happen to the firm’s demand for unskilled workers?

（b）What will happen to the firm’s supply of output?

答：令代表非熟练工人的数量，代表熟练工人的数量，那么厂商的生产函数可以写作。

（a）由利润函数的凸性和微分性质可知：

这说明要素需求曲线向下倾斜，所以当工资上升时，厂商对非熟练工人的需求将下降。

（b）已知，又有

因此有，即非熟练工人工资上升时，厂商的产出供给将上升。

14．你对产出变动，成本变动，要素价格变动，以及要素需求水平， =1，…，有一时间序列观察数据。你如何构造每期的边际成本的估计？

You have a time series of observations on changes in output, , changes in cost, , changes in factor prices, , and the levels of factor demands, for =1,…，. How would you construct an estimate of marginal cost,, in each period?

答：对成本函数进行全微分得：

又因为，所以上式可以进一步写作：

从而得到：

将产出变动、成本变动、要素价格变动代入项，即构造出每期的边际成本的估计。

15．计算技术的成本函数。

Compute the cost function for the technology

解：可以发现要素与要素和是相互替代的。

根据函数的线性性，可以运用或和的一个组合来生产。根据里昂惕夫函数的性质，当用和来生产时，必须用3单位的和来生产1单位的。因而，如果使用1单位的的成本小于和都使用1单位时的成本，则只使用。反过来说也是这个道理。条件要素需求可以写成：

如果，那么具有及（或）的任一组合都使成本最小化。

成本方程为。

16．对下边每个成本函数，判断它是否是一次齐次的、单调的、凹的和／或连续的。如果是，求出相关联的生产函数。

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

For each cost function determine if it is homogeneous of degree one,monotonic, concave, and/or continuous. If it is, derive the associated production function.

（a）

（b）

（c）

（d）

（e）

答：（a）验证一次齐次性：