第二部分 资产组合理论与实践
第5章 风险与收益入门及历史回顾
5.1 复习笔记
1．利率水平的决定因素
（1）预测利率的基本因素
利率水平及其未来价值的预测是投资决策中最为重要的部分。
预测利率首先基于以下一些基本因素：
①存款人特别是居民的资金供给。
②企业由于购置厂房设备及存货而进行项目融资所引发的资金需求。
③政府通过联邦储备银行运作产生的资金净供给或净需求。
（2）实际利率与名义利率
名义利率是货币增长率，实际利率是购买力增长率，设名义利率为R，实际利率为r，通胀率为i，则有下式近似成立r≈R-i，换句话说，实际利率等于名义利率减去通胀率。
严格上讲，名义利率和实际利率之间有下式成立：
购买力增长值（1＋r）等于货币增长值（1＋R）除以新的价格水平（1+i），由上式推导得到：
显然可以看出由r≈R-i得出的近似值高估了实际利率1＋i倍。
（3）实际利率与名义利率均衡
①实际利率均衡
实际利率均衡由四个基本因素决定：供给、需求、政府行为和通货膨胀率。图5-1描绘了一条向下倾斜的需求图5-1实际利率均衡决定因素曲线和一条向上倾斜的供给曲线，横轴代表资金的数量，纵轴代表实际利率。
图5-1 实际利率均衡决定因素
供给曲线向上倾斜是因为实际利率越高，居民储蓄的需求也就越大。这个假设基于这样的原理：实际利率高，居民会推迟现时消费转为未来消费并进行现时投资。需求曲线向下倾斜是因为实际利率偏低，厂商会加大其资本投资的力度。供给曲线与需求曲线的交点形成图5-1中的均衡点E。政府和中央银行（联储）可以通过财政政策或者货币政策向左或向右移动供给曲线和需求曲线。例如，假定政府预算赤字增加，政府需要增加借款，推动需求曲线向右平移，均衡点从E点移至E′点。
②名义利率均衡
资产的实际收益率等于名义利率减去通胀率，因此，当通胀率增加时，投资者会对其投资提出更高的名义利率要求，从而保证投资项目所提供的实际利率不变。
欧文·费雪认为名义利率应当伴随着预期通胀率的增加而增加。假设目前的预期通胀率将持续到下一时期，记为E（i），那么费雪等式为：R=r＋E（i），这表明如果实际利率是稳定的，名义利率的上涨意味着更高的通胀率。
实证研究很难证实费雪关于名义利率的上涨意味着有一更高的通胀率的假设，这是因为往往实际利率也在发生着无法预测的变化。名义利率可以被视为是名义上无风险资产的必要收益率加上通胀的预测值。
（4）税收与实际利率
假设税率为t，名义利率为R，则税后名义利率为R（1-t）。税后实际利率近似等于税后名义利率减去通货膨胀率，即：
R（1-t）-i=（r+i）（1-t）-i=r（1-t）-it
因此，税后实际利率随着通货膨胀率的上升而下降，投资者承受了相当于税率乘以通货膨胀率的损失。
2．比较不同持有期的收益率
（1）年化收益率
在比较不同持有期的投资收益时，可以将每一个总收益换算成某一常用期限的收益率。我们通常把所有的投资收益表达为有效年利率（EAR），即一年期投资价值增长百分比。
对于一年期的投资来说，有效年利率等于总收益率rf（1），总收入（1+EAR）是每一美元投资的最终价值。对于期限少于一年的投资，我们把每一阶段的收益按复利计算到一年。对于投资期长于一年的投资来说，通常把有效年利率作为年收益率。
总的来说，我们可以把有效年利率与总收益率rf（T）联系在一起，运用下面的公式计算持有期为T时的回报。即：
1+EAR=[1+rf（T）]1/T
（2）年化百分比利率
短期投资（通常情况下，T＜1）的收益率是通过简单利率而不是复利来计算的。这被称为年化百分比利率（APR）。通常说来．如果把一年分成n个相等的期间，并且每一期间的利率是rf（T），那么，APR=n×rf（T）。反之，也通过年化百分比利率得到每个期间的实际利率rf（T）=T×APR。
对一个期限为T的短期投资来说，每年有n=1/T个复利计算期。因此，复利计算期、有效年利率和年化百分比利率的关系可以用下面的公式来表示：
1+EAR=[1+rf（T）]n=[1+rf（T）]1/T=[1+T×APR]1/T
（3）连续复利
当T趋近于零，我们得到连续复利，并且可以用下面的指数函数得到有效年利率与年化百分比利率（在连续复利时，用k表示）的关系：
化简得：
ln（1+EAR）=rcc
3．国库券与通货膨胀
历史经验告诉我们，即使再温和的通货膨胀都会使低风险投资的实际回报偏离其名义值。
4．风险和风险溢价
（1）持有期收益率
持有期收益率的定义假设股利在持有期期末支付。如果股利支付提前，那么持有期收益率便忽略了股利支付点到期末这段时间的再投资收益。来自股利的收益百分比被称为股息收益率，所以股息收益率加上资本利得收益率等于持有期收益率。
（2）期望收益率和标准差
①期望收益率
期望收益率是在不同情境下收益率以发生概率为权重的加权平均值。假设p（s）是各种情境的概率，r（s）是各种情境的持有期收益率，情境由s来标记，期望收益率可以写作：
②标准差
收益的标准差σ可以用来测度风险，通常它被定义为方差的平方根，而方差是期望收益偏差的期望值。结果的波动程度越强，这些方差的均值也就越大。因此，方差和标准差提供了测量结果不确定性的一种方法，也就是：
（3）超额收益和风险溢价
回报分为两种：一种是投资于指数基金的期望总收益，一种是投资于譬如国库券、货币市场工具或银行存款上的无风险利率。两者之差称为普通股风险溢价。任何特定时期风险资产同无风险资产收益之差称为超额收益。所以，风险溢价也是期望的超额收益。
投资者投资股票的意愿取决于其风险厌恶水平。金融分析师通常假设投资者是风险厌恶的，当风险溢价为零时，人们不愿意对股票市场做任何投资。理论上说，必须有正的风险溢价来促使风险厌恶的投资者继续持有现有的股票而不是将他们的钱转移到其他无风险的资产中去。
5．历史收益率的时间序列分析
（1）时间序列与情境分析
设定一组相关的情境和相应的投资回报，并对每个情境设定其发生的概率，最后计算该投资的风险溢价和标准差。
（2）期望收益和算术平均值
使用历史数据时，我们认为每一个观测值等概率发生。所以如果有n个观测值，则每个观测值发生的概率为1/n。期望收益可表示为：
（3）几何（时间加权）平均收益
样本期间内的收益表现可以用某一年化持有期收益率来衡量，由时间序列中复利终值反推得到。定义该收益率为g，则有：
变形得：
g=终值1/n-1
1+g是时间序列的总收益1+r的几何平均数，g是年化持有期收益率。投资者称g为时间加权（区别于货币加权）的平均收益，它强调了在平均过程中每个历史收益为等权重的。
两种平均方法的差别十分重要，因为投资经理作为投资者常常要经历基金数目显著变化的情况，可能需要购买或者赎回其投资份额，而规模大时比规模小时获得更多的投资回报（或损失），不能单纯看收益率。
收益率波动越大，两种平均方法的差异越大。如果收益服从正态分布，预期差异为分布方差的1/2，即
E[几何平均值]=E[算术平均值]-1/2σ2
当收益率服从正态分布时，上式的拟合效果较好。
（4）方差和标准差
当人们考虑风险时，关注的是偏离期望收益的可能性。实际中，无法直接预期，所以通过偏离期望收益估计值的平方和来计算方差。按每个观测值等概率出现，样本平均值作为E（r），方差=离差平方的期望值，则
使用历史数据，估计方差为：
（5）收益波动性（夏普）比率
收益（风险溢价）和风险（通过标准差来衡量）之间的权衡意味着人们需要利用投资的风险溢价与标准差的比率来度量投资组合的吸引力。
夏普比率=风险溢价/超额收益率的标准差
这一比率广泛用于评估投资经理的业绩。
6．正态分布
如果投资者对收益的期望是理性预期，那么实际收益率应该是服从以此期望为均值的正态分布。一个正态分布的形态完全由其均值和标准差这两个参数来决定。
如果收益率的分布可以用正态分布来近似拟合的话，投资管理将变得更加有理有据。
（1）正态分布是左右对称的，也就是说，均值左右程度一样的偏离其发生的概率也一样。没有对称性的话，用收益的标准差来衡量风险显然是不合适的。
（2）正态分布具有稳定性，意味着对于具有正态性的不同资产，其构成的组合的收益同样服从正态分布。
（3）当资产或资产组合收益分布只有两个变量时，对其未来的情境分析因为需要考虑的变量很少而会变得简单许多。
7．偏离正态分布和风险度量
超额收益的正态分布大大简化了组合选择的过程。然而，很多投资者通过观察相信资产收益对正态分布的偏离已经很显著，不可忽视。正态偏离可以通过计算收益分布的高阶矩来看到。超额收益R的n阶中心矩为
，一阶矩为0，二阶矩为方差的估计值
。
一个关于不对称性的度量，称为偏度，计算公式如下：
偏差的立方有正有负。因此，如果分布是右偏，偏度为正。如果分布是左偏则偏度为负。当偏度为正时，标准差高估风险；当偏度为负时，标准差低估风险。
另一个正态偏离的度量考虑分布两端极端值出现的可能性，这种度量称为峰度，计算公式如下：
之所以减去3是因为正态分布的峰度为3，所以减去3后峰度为正则说明存在肥尾现象。
（1）在险价值
在险价值（VaR）是度量一定概率下发生极端负收益所造成的损失。
当投资组合的收益率为正态分布时，VaR可以从分布的均值和标准差中直接推导出来。标准正态分布（均值为0，标准差为1）的5%分位数为-1.65，因此相应的VaR为：
VaR（0.05,正态分布）=均值+（-1.65）×标准差
（2）预期尾部损失
当我们通过观测最坏的5%的情况来评估尾部风险时，VaR是所有这些情况中收益率最高（损失最小）的。一个对损失敞口头寸更加现实的观点是：关注最坏情况条件下的预期损失。这样的一个值有两个名称：预期损失（ES）或条件尾部期望（CTE），后者强调了其与左尾分布之间的密切关系。
（3）下偏标准差与索提诺比率
正态分布情况下用标准差作为风险的度量存在以下几个问题：
①分布的非对称性要求我们独立地考察收益率为负的结果；
②因为无风险投资工具是风险投资组合的替代投资，因而我们应该考察收益对无风险投资收益的偏离而不是对平均投资收益的偏离；
③正态分布没有考虑实际分布中的尖峰厚尾特征。
下偏标准差（LPSD）可以解决前两个问题。其计算方法和普通标准差的计算相似，但它只使用相对于无风险收益率负偏（而非相对于样本均值负偏）的那些收益率。因此下偏标准差实际代表的是给定损失发生情况下的均方偏离。
从业人员用下偏标准差来替代标准差，同样也用超额收益率对下偏标准差的比率来替代夏普比率（平均超额收益率对标准差的比率）。夏普比率的这一变形被称为索提诺比率。
8．风险组合的历史收益：股票与长期政府债券
（1）全球大公司股票组合
该投资组合是所有国家指数的组合。每个国家指数由该国的所有大公司股票的市价以其总资本（其所有股票的市值）的大小为权重加权计算得到。每个国家指数按照各个国家市场资本总额加权得到全球大公司股票组合。
（2）美国大公司股票组合
这个投资组合由美国标准普尔500指数中的公司股票按照各个股票的总市值加权得到。
（3）美国小公司股票组合
这个指数度量以总资本额排序后1/5的公司的股票收益。
（4）美国长期政府债券
长期国库券收益率由美国所有期限超过10年的政府债券构成的巴克莱资本（前雷曼兄弟）价值加权指数来衡量。
（5）多元投资组合
多元投资组合由全球大公司股票、美国小公司股票、美国长期债券三种分别按50%、20%、30%的比例组合而成。不管这个多元组合是不是最优投资组合，它都可以检验资产品种层面上的分散化投资是否更有利于风险收益决策。
9．长期投资
（1）长期投资的风险和对数正态分布
当一项资产每一期的复利都服从同一正态分布时，其有效收益率，即实际的持有期收益率，将服从对数正态分布。当期限较长时，就必须考虑到连续复利服从正态分布，而持有期收益率服从对数正态分布。
假定连续的年度复利r是服从几何均值为g，标准差为σ的正态分布。如果它是服从正态分布的，那么算术平均值所示的预期年收益，将等于几何平均值与0.5倍的方差之和。
因此，连续复利的期望收益为：
m=g+1/2σ2
因此可以得到预期的实际年收益公式
一项预期年收益率为E（r）的投资在T年后的终值将等于［1+E（r）］T。于是可以得到连续复利年均值为m，标准差为σ情况下的终值：
注意到连续复利的均值（mT）和方差σ2T都与投资期限同比例增长。标准差与
同比例增长。随着时间的延长，投资风险将下降。这是因为随着投资期限的增长，期望收益的增速大于标准差的增速。
（2）夏普比率回顾
夏普比率（收益风险比）是平均超额收益和标准差的比值。夏普比率是有时间维度的，一个投资组合的夏普比率随持有期系统性地发生变化。
当持有期增加时，平均连续复利收益将等比例地上升，而标准差却随时间的平方根等比例增长。因此夏普比率也会随着持有期以时间的平方根的速度增长。比较月收益和年收益的夏普比率时，必须先将月度的比率乘以
。
（3）长期未来收益的模拟
一个从过去了解未来长期收益分布的方法是从有效样本中模拟出未来的收益。实现这一任务的一个流行的方法叫做拔靴法。
拔靴法是一个可以避免各类收益分布假设的实验过程，直接简单假设历史样本中的收益结果发生的可能性相等。做这一模拟实验中的主要决策就是应该尽可能多地用全部可靠历史样本来包括低概率极值点。
（4）长期预测
Jacquier、Kane和Marcus证明长期总收益的无偏预测要求计算所用的复利采用算术和几何平均收益率的加权值。几何平均的权重系数等于预测期的长度和样本长度的比值。例如，用80年的历史样本预测25年期的投资累积收益，其无偏估计应采用的复利利率是：
