第7章　最优风险资产组合

7.1　复习笔记

1．分散化与资产组合风险

（1）系统性风险与非系统性风险

分散化能够降低风险，但是当共同的风险来源影响所有的公司时，分散化就不能消除风险了。资产组合的标准差随着证券种类的增加而下降，但是，它不能降至零。在最充分的分散条件下还存在着市场风险，它来源于与市场有关的因素，这种风险亦被称为“系统风险”或“不可分散风险”。而那些可被分散化消除的风险被称为“独特风险”、“特有公司风险”、“非系统风险”或“可分散风险”。

（2）两种风险资产的资产组合

①资产组合的风险与收益

资产组合的期望收益是资产组合中各种证券的期望收益的加权平均值，即：

E（r_P）=w_DE（r_D）+w_EE（r_E）

两种资产的资产组合的方差是：

②表格法计算组合方差

表7-1显示可以通过电子表格计算资产组合的方差。其中a表示两个共同基金收益的相邻协方差矩阵，相邻矩阵是沿着首排首列相邻每一基金在资产组合中权重的协方差矩阵。可以通过如下方法得到资产组合的方差：斜方差矩阵中的每个因子与行、列中的权重相乘，把四个结果相加，就可以得出给出的资产组合方差。

表7-1  通过协方差矩阵计算资产组合方差

③相关系数与资产组合方差

具有完全正相关（相关系数为1）的资产组合的标准差恰好是资产组合中各证券标准差的加权平均值。

相关系数小于1时，资产组合的标准差小于资产组合中各证券标准差的加权平均值。

通过调整资产比例，具有完全负相关（相关系数为-1）的资产组合的标准差可以趋向0。

④资产组合比例与资产组合方差

当两种资产负相关时，调整资产组合比例可以得到小于两种资产方差的最小组合方差。若某个资产比例为负值，表示借入（或卖空）该资产。

⑤机会集

机会集是指多种资产进行组合所能构成的所有风险收益的集合。

2．资产配置

（1）最优风险资产组合

最优风险资产组合是使资本配置线的斜率（报酬-波动比率）最大的风险资产组合，这样表示边际风险报酬最大。最优风险资产组合为资产配置线与机会集曲线的切点。

（2）最优完整资产组合

最优完整资产组合为投资者无差异曲线与资本配置线的切点处组合，最优完整组合包含风险资产组合（债券和股票）以及无风险资产（国库券）。

（3）完成一个完整的资产组合的步骤

①确定所有各类证券的收益特征（例如：期望收益、方差、协方差等）。

②建造风险资产组合：

a．计算最优风险资产组合P；

b．运用步骤a中确定的权重计算资产组合P的资产。

③把基金配置在风险资产组合和无风险资产上：

a．计算资产组合P（风险资产组合）和国库券（无风险资产）的权重；

b．计算出完整的资产组合中投资于每一种资产和国库券上的投资份额。

3．马科维茨的资产组合选择模型

组合构造问题可以归纳为多个风险资产和一个无风险资产的情况。首先，确认可行集的风险收益权衡；然后，通过计算使资本配置线斜率最大的各资产权重确认最优风险组合；最后，确认最合适的投资组合，由无风险资产和最优风险组合构成。

（1）构造组合的步骤

①决定投资者面临的风险-收益机会

投资者面临的风险-收益机会，由风险资产的最小方差边界给出。这条边界线是在给定组合期望收益下方差最低的组合点描成的曲线。所有单个资产都在该边界的右方，至少当存在卖空机制时是这样的。这说明由单个资产构成的风险组合不是最有效的。分散化投资可以提升期望收益降低风险。

落在全局最小方差以上的边界被称为风险资产的有效边界。因为对于所有低于最小方差边界的资产组合，都可以在它正上方找到一个相同的标准差，但收益更大的资产组合。因此在全局最小方差边界以下部分的资产组合是无效的。

②确认最优风险资产组合

图7-1  风险资产有效边界和最优资本配置线

这条资本配置线优于其他资本配置线，与有效边界相切，切点是最优风险组合P。

③在最优风险资产P和短期国库券之间选择合适的比例构成最终组合

最优完整资产组合为投资者无差异曲线与资本配置线的切点处组合，最优完整组合包含风险资产组合（债券和股票）以及无风险资产（国库券）。

（2）可能的限制

在进行最优的风险组合决策时，可能会遇到各种限制，例如卖空限制和最低收益率限制，或者是从政治上或道德上排除在某一特定产业或特定国家的投资。这些限制能够影响有效边界和最优风险组合。

4．分散化的威力

组合的方差为：

当证券之间的平均协方差为零时，组合方差在n变大时趋近于零，即分散化降低组合风险的威力是无穷的。

然而，经济层面的风险因素使股票收益有正相关性。在这种情况下，当组合高度分散化后，组合方差为正。因此分散化组合不可消除的风险取决于不同证券间收益率的协方差，这反过来就是经济中系统性因素的显现。

相关系数为正时，组合风险随着证券数量上升而下降的速度相对慢很多，因为证券间的相关性限制了分散化的空间。

5．资本配置与分离定理

（1）分离定理

分离定理是指资产组合管理人将给所有客户提供相同的风险资产组合P，而不顾他们的风险厌恶程度。不同的风险厌恶程度可通过在资本配置线上选择不同的点来实现，不同客户的选择体现在风险厌恶者在无风险资产中多投资，少投资于最优风险资产组合。但是，所有客户都使用资产组合P作为最优风险投资工具。

于是资产组合选择问题可分为两个相互独立的工作。第一项工作是决定最优风险资产组合，这是完全技术性的。第二项工作是根据个人的偏好，决定资本在国库券和风险资产组合中的分配，这时客户是决策者。

（2）资产配置与证券选择

证券选择的理论与资产配置的理论都是要构造一个有效边界，沿这一边界选择一个特有的资产组合，但是两者存在一定的差别。

①对储蓄有更大的需要与能力促进了更复杂的投资管理的激烈增长。

②金融市场的扩大和金融工具的增加已经使复杂的投资超出的业余投资者的能力。

③大规模投资管理的收益丰厚。

这些投资更多的是研究资产配置，最终的结果是一个有竞争力的投资公司将与行业一起成长，组织的效率是一个重要因素。

（3）最优组合和非正态收益

此前使用的组合最优化技术是建立在收益正态分布的假设下的。然而，收益率可能的非正态性要求我们关注诸如在险价值、预期损失这类强调最坏情况损失的风险度量方法。

目前，估计在险价值和预期损失一个实用的方法是自举法（拔靴法）。此时我们可以比较最优风险组合和其他组合的在险价值与预期损失，如果某个组合的值比最优组合低的话，我们可能会倾向于这一组合。

6．具有无风险资产限制的最优资产组合

（1）不存在无风险资产

如果不存在无风险资产，就没有一个相切的资产组合适合所有的投资者。在这种情况下，投资者将在风险资产的有效边界上选择资产组合。每一个投资者都要通过自己在有效边界上的无差异曲线集合来找到最优风险资产组合。

（2）当无风险资产存在，但投资者不能借入

此时资本配置线存在，但只限于在图7-2中的线段FP上。任何由无差异曲线代表其偏好的投资者，这些无差异曲线与资本配置线上的FP线相切的资产组合，譬如资产组合A，将不受借入限制的影响。这些投资者以r_f的利率作为净贷款人。冒险型投资者在无借入限制条件下，将选择资产组合B，但现在受到借入限制的影响，这些投资者只能选择在有效边界的资产组合，譬如资产组合Q，投资者将不投资于无风险资产。

图7-2  具有无风险借出但无借入情况下的资产组合选择

（3）借贷无风险资产的利率不同

现实中，个人如果要借款投资于风险资产组合，必须付出比国库券利率高的利率。当投资者面临借款利率高于贷款利率时，他们的资本配置线分为三部分。如图7-3所示，CAL₁，相对于线段FP₁，代表风险厌恶型投资者的有效资产组合。风险厌恶型投资者把部分基金以r_f的利率水平投资于国库券，其选择的最优风险资产组合为P₁，完整的资产组合为A点处的资产组合。

图7-3  借贷利率不同时的机会集

图7-4  借贷利率不同时风险厌恶者的最优资产组合

CAL₂在资产组合P₂的右边代表冒险型投资者的有效资产组合。这条线从借款利率出发，但是在

P₂段是不可行的，因为借出利率为风险利率r_f而非。如图7-5所示，冒险型投资者的无差异曲线在CAL₂上，投资者选择资产组合P₂作为最优风险资产组合并借款进行投资，完整的资产组合为B点处的资产组合。

图7-5  借贷利率不同时冒险型投资者的最优资产组合

风险中性投资者，他们从有效边界上选取P₁P₂段进行资产组合的选择，如图7-6所示。投资者的无差异曲线与有效边界的资产组合相切，得到资产组合C。

图7-6  借贷利率不同时风险中性投资者的最优资产组合

7．风险集合、风险共享与长期投资风险

（1）风险集合和保险原理

风险集合是指将互不相关的风险项目聚合在一起来降低风险。应用到保险行业，风险集合主要为销售风险不相关的保单，即众所周知的保险原理。传统理念认定风险集合降低风险，并成为保险行业风险管理的背后推动力。

（2）风险集合

假设一个投资者持有组合P，其中投资风险组合A的比例为y，剩余1-y投资于无风险资产。A的风险溢价是R，标准差是σ。

P的风险溢价R_P=yR，标准差σ_P=yσ，夏普比率S_P=R/σ。

现有另一个风险资产B和A有相同的风险溢价和标准差，且与A的相关系数为0。于是重新构造资产组合Z：A资产比例y，B资产比例y，无风险资产比例1-2y。注意到这一策略是纯粹的风险集合。

R_Z=yR+yR+（1-2y）0=2yR  （R_P的2倍）

=y²σ²+y²σ²+0=2y²σ² （组合P方差的2倍）

σ_Z==yσ  （=1.41乘以组合P的标准差）

S_Z=R_Z/σ_Z=2yR/yσ=R/σ （=1.41乘以组合P的夏普比率）

夏普比率提升为倍，但风险资产的规模扩大后标准差也变为倍。这一分析说明单纯的风险集合带来了机会，但同时也有局限，因为风险集合增加了风险投资的规模。风险集合并不降低总体风险。

（3）风险共享

风险共享是指卖掉一部分风险资产来限制风险的同时保持夏普比率的策略。假设每次一个新的风险资产加到原组合中，投资者都先卖出他风险头寸的一部分，保证风险投资比例不变，即A和B的比例均为y/2，无风险资产比例仍为1-y，记这一投资组合为V。

V和Z的夏普比率相同，但是V的波动性低。风险共享和风险集合构成了保险行业的关键核心。投资于多种风险资产，但是风险资产比例保持不变，这才是真正的分散化。

（4）长期投资

考虑投资一个风险组合，期限为两年，看作是“长期投资”。在同一期限即2年内考虑风险组合，也就是说，短期投资一年后继续转为无风险投资1年。假设第一年的风险收益和第二年无关，“长期”策略和组合Z是一回事。长期投资累积了投资风险。将一项分析投资期限拓展提升了夏普比率，同时也提升了风险。因此“时间分散化”并不是真正的分散化。

投资者可以通过长期投资来提升夏普比率，同时通过降低风险投资的比例来控制风险。因此，投资较小比例于风险资产组合并持有较长时间要优于将较大比例资金投资于短期风险资产，而后剩余期限将资金投资于无风险资产。