第8章　指数模型

8.1　复习笔记

1．单因素证券市场

（1）马科维茨模型的缺陷

马科维茨模型在实际操作中存在两个问题，一是需要估计大量的数据；二是该模型应用中相关系数确定或者估计中的误差会导致结果无效。

单因素模型大大降低了马科维茨资产组合选择程序的数据数量，它把精力放在了对证券的专门分析中。

（2）单因素模型

假设引起所有公司的证券收益变化的因素是一些影响所有公司的宏观经济变量m，那么可以将不确定性分解为经济整体的不确定性（用m表示）和特定公司的不确定性（用e_i表示）。因为不同企业对宏观经济事件有不同的敏感度，所以用β_i来表示证券i对宏观经济事件的敏感度，则单因素模型为：

r_i=E（r_i）+β_im+e_i

2．单指数模型

（1）单指数模型的回归方程

使单因素模型具备可操作性的一个方法是将标准普尔500这类股票指数的收益率视为共同宏观经济因素的有效代理指标。这一方法推导出和单因素模型相似的等式，称为单指数模型。

回归方程是：

R_i（t）=α_i+β_iR_M（t）+e_i（t）　 （8-1）

回归直线的截距是α_i，它代表了平均的公司特有收益。在任一时期里，回归直线的特定观测偏差记为e_i，称为残值。每一个残值都是实际股票收益与由描述股票同市场之间的一般关系的回归方程所预测出的股票收益之间的差异。这些量可以用标准回归技术来估计。

（2）期望收益与β的关系

对式（8-1）取期望值，由于E（e_i）=0，于是：

E（R_i）=α_i+β_iE（R_M）  （8-2）

式（8-2）中的第二项说明证券的风险溢价来自于指数风险溢价，市场风险溢价成了证券的敏感系数。风险溢价的剩余部分是α，为非市场溢价。

（3）单指数模型的风险和协方差

马科维茨模型的一个问题是需要估计庞大数量的参数，但是单指数模型大大减少了需要估计的参数。

总风险=系统性风险+公司特定风险

（4）单因素模型的估计值

单因素模型的结果如表8-1所示。

表8-1

指数模型的优势体现在：①只需要马科维茨模型估计值的一小部分；②指数模型的简化对证券分析专业化非常重要。

指数模型的缺陷体现在：①指数模型的成本来自于其对资产不确定性结构上的限制。将风险简单地二分为宏观和微观两部分，过于简化了真实世界的不确定性并忽略了股票收益依赖性的重要来源；②当残差项相关的股票有较大的α值，而且占整个投资组合较大的比例时，单指数模型推导出的最优组合可能会明显次优于马科维茨模型。如果很多股票残差项都有相关性，那么额外包含了捕捉证券间风险因素的多指数模型可能更适用于组合的分析和构造。

（5）指数模型与分散化

资产组合的方差为：

资产组合方差的系统性风险部分为，取决于单个证券的敏感系数。这部分风险依赖于资产组合的β和，不管资产组合分散化程度如何都不会改变。

相对地，资产组合方差的非系统成分是σ²（e_P），它来源于公司特有成分e_i。因为这些e_i是独立的，都具有零期望值，所以可以得出这样的结论：随着越来越多的股票加入到资产组合中，公司特有风险倾向于被消除掉，非市场风险越来越小。

当各资产为等权重，且e_i不相关时，有

式中，为公司特有方差的均值。当n变大时，σ²（e_P）就变得小得可以忽略了。

总之，随着分散化程度增加，投资组合的总方差就会接近系统风险，定义为市场因素的方差乘以投资组合敏感性系数的平方，图8-1说明了这一现象。

图8-1显示当组合中包含越来越多的证券时，组合方差因为公司风险的分散化而下降。然而，分散化的效果是有限的，即使n很大，由于共同或市场因素引起的风险仍然存在，无法被分散化。

图8-1  单因素经济中β系数为β_P等权重组合方差

3．组合构造与单指数模型

（1）单指数模型框架

期望收益的估计取决于对宏观和公司的预测。单指数模型的分析框架分离这两种收益波动的来源，减少不同分析师分析的差异。单指数模型框架输入数据的准备步骤是：

①宏观经济分析，用于估计市场指数的风险和溢价。

②统计分析，用于估计β系数和残差的方差σ²（e_i）。

③投资经理用市场指数风险溢价和证券β系数的估计值来建立证券的期望收益，这不需要相关的证券分析。市场驱动的期望收益以证券都受影响的信息为条件，而不基于证券分析获取单个公司的信息。市场驱动的期望收益可以作为一个基准。

④准确的证券特有收益的预测从各种证券估值模型得到，因此，α值反映了证券分析中发现的私人信息带来的增量风险溢价。

（2）指数组合作为投资资产

应对分散化不足的简单方法是直接把标准普尔500指数作为一个投资资产。如果我们把标准普尔500指数看作市场指数，那么它的β值为1，没有公司特有风险，α值为零，即其期望收益中不包括非市场风险溢价部分。如果投资经理愿意进行证券研究，那么他可能会构造包含该指数的积极组合，得到更好的收益风险权衡。

（3）单指数模型的输入数据

如果投资经理打算构造一个组合，包括n家积极研究的公司和一个消极的指数组合，则输入数据为：

①标准普尔500的风险溢价。

②标准普尔500的标准差估计值。

③n套如下估计值：β系数估计值；个股残差的方差；证券的α值（个股的α值估计值，连同标准普尔500的风险溢价，以及个股的β决定了个股的期望收益）。

（4）最优风险组合

①最优风险组合由两个组合构成：

a．积极组合，称之为A，由几个分析过的证券组成（之所以称为积极组合，是因为通过积极的证券分析后构建的组合）；

b．市场指数组合，这是第n+1种资产，目的是为了分散化，称之为消极组合并标记为组合M。

②最优风险组合的构造过程

a．计算积极组合中每个证券的原始头寸：

b．调整这些原始权重，使组合权重和为1，即

c．计算积极组合的α值：

d．计算积极组合的残差：

e．计算积极组合的原始头寸：

f．计算积极组合的β值：

g．调整积极组合的原始头寸：

h．最优化组合的夏普比率会超过指数组合。它们之间的精确关系为：

上式表明积极组合（当持有最优权重时）对整个风险投资组合夏普比率的贡献取决于它的α值和残差标准差的比率。这个比率称为信息比率（information ratio）。该比率度量当积极组合权重过高或过低时，通过证券分析可以获得的额外收益与公司特有风险的比值。

i．此时最优风险组合的权重：

j．计算最优风险组合的风险溢价。根据指数组合的风险溢价和积极组合的α值，得出最优风险组合的风险溢价：

注意：由于指数投资组合的β值为1，则风险组合的β值为：

k．运用指数组合的方差和积极组合的残差计算最优风险组合的方差：

4．指数模型在组合管理中的实际应用

（1）指数模型与全协方差模型的比较

预测因变量的值依赖两个因素，系数估计的精确性和自变量预测的精度。当我们增加变量时，这两个精确性都会受损。

增加一个指数需要预测该指数组合的风险溢价和各证券对新指数的β值。运用全协方差矩阵需要估计数以千计的风险值，即使在原理上马科维茨模型更好，但是太多的估计误差累计对投资组合的影响可能导致其实际上劣于单指数模型推导出来的投资组合。

相比全协方差模型潜在的优越性，单指数模型框架的实际好处非常明显。它的另一个决定性优点是分解了宏观分析和证券分析。

（2）行业指数模型

①决定系数R²

决定系数R²表示r_i与r_M之间相关性的平方。R²是总方差上的系统方差，表明一个行业小量波动的原因是市场的运动。公司特有方差σ²（e）是不能由市场指数来解释的资产的方差。因此决定系数可表示为：

式中e是从回归残值的估计中得出的，所以称之为标准方差N残值。

②调整β值

调整β值的动机是：在整个期间，平均而言股票的β值似乎有向1变动的趋势。我们知道所有证券的平均β值等于1，因此在估计一个证券的β值之前，最好的预测就是其β值等于1。然而，给定β值向1的变化趋势，未来β系数的预测应当顺势调整。调整β估值的方法是取样本β估计值和1进行加权：

调整β=2/3样本β+1/3（1）

（3）预测β

β值的预测模型如下：

当前的β=a+b（历史的β）

预测的β=a+b（当前的β）

以下变量有助于贝塔值的预测：收益的方差、现金流的方差、每股收益的增长、市场资本化、红利收益率和资产负债比率。罗森伯格和盖伊也发现通过控制一个公司的财务特征值、行业类型有助于预测β。

（4）指数模型与证券组合追踪

追踪基金是一种避险工具，用来规避不希望出现的风险。对冲基金管理人使用指数回归方法，以及更为复杂的变量来创建追踪组合，这是套头策略的核心内容。对冲基金大都使用“长-短策略”，对冲基金管理人锁定某一价格被低估了的证券，然后设法获得一个“单一经营企业”，抵消所有外生风险，将投资下在察觉到的“阿尔法”上。