4.2　名校考研真题详解

1．设证明：不存在一个函数以f（x）为其导函数．[中国科学院研]

证明： 用反证法，设g'（x）=f（x），则

　　　　　　　　　　　　　①

则当x＞0时，当x＜0时，

由于g（x）连续，即

这与①式矛盾．

2．求，其中n=1，2，…，f（0）=0，[浙江大学研]

解：用数学归纳法证明：

　　　　　　　　　　　　①

即当n=1时，①式成立．

假设当n=k时，①式成立．由于，易证

　　　　　　　　　　 ②

其中是的某个多项式．则当n=k+1时

从而①式对一切自然数n都成立．

3．设，令

（1）讨论f（x）在x=0处的连续性；

（2）求f＇（x），并讨论在x=0处的连续性。[南京大学研]

解：（1）由于

故f（x）在x=0处连续。

（2）当x≠0时，

当x=0时，

由于

因此f＇（x）在x=0处连续。

4．设f（x）在点可导，g（x）在点不可导，则在点是否可导？试分别举例说明。又如果呢？[天津工业大学研]

解：都有可能。不可导的例子是在处。

可导的例子是在处。

若，则在点必不可导。反证法。假设F（x）在点可导，由于

故有。因为f（x）在点可导，所以f（x）在点连续，又因为，从而由连续的局部保号性知在点的某个邻域内恒有。于是

这与g（x）在点不可导矛盾，得证。

5．设定义在[0，1]上的函数f（x）满足。求

[北京师范大学研]

解：由于，所以对任意的ε＞0，存在δ＞0，当0＜x＜δ时有，即。取，则当n＞N₁时，有

由于，所以存在使得当有。取，则当n＞N时有

故．

6．设f（x）在[0，1]上可微，且f（x）的每一个零点都是简单零点，即若，则。证明：f（x）在[0，1]上只有有限个零点。[苏州大学研]

证明：反证法。假设f（x）在[0，1]上有无限个零点。由实数的致密性定理知存在，使得。由f（x）的连续性知从而

所以不是简单零点，矛盾，得证。

7．研究定义在实数轴R的函数的不连续点类型，其中Q为有理数集，并回答f（x）在哪些点可导。[北京航空航天大学研]

证明：由f（x）的定义知

所以f（x）的连续点为x=kπ（k=0，±1，…），其他点都是第一类间断点。

在x=kπ（k=0，±1，…）处，有下式成立

故有f＇（kπ）=0，即f（x）在x=kπ（k=0，±1，…）处可导。

8．求函数y=arctanx的麦克劳林（Maclaurin）展开式。[天津大学、浙江大学研]

解：因为，则，对该式两边求n阶导数，利用Leibniz公式有

令x=0，得，则

所以y=arctanx的Maclaurin展开式为

9．设f（x）连续，，证明：y（x）满足方程

[华南理工大学2006研]

证明：做变量替换s=x-t，则，于是

从而易知