第19章　隐函数存在定理和隐函数求导法

1．设f为可微函数，和方程（①）试对以下两种情况，分别求在点处的值．

（1）由方程①确定了隐函数z＝z（x，y）；

（2）由方程①确定了隐函数y＝y（x，z）．[华中师范大学研]

解：（1）由题知，记

在方程两端对x求导有

解得　 　　　　

于是，故

（2）对方程①两端对x求导有：

解得  　　　 

则  　　

2．设方程求隐函数的偏导数[北京科技大学研]

解：由于两边对x求导得

  　 　　 　　　　　　　  ②

解得

　　　　　　　  ③

类似，等式两边对y求导可解得

　  　　　　　　　　 ④

3．依据隐函数存在定理，给出y＝f（x）反函数存在定理的表达．[西安交通大学研]

解：令F（x，y）＝y－f（x），若y＝f（x）的反函数g（y）存在，则有

（1）对，有F（x，y）连续；

（2）、存在；

（3）；

（4）F（x，y）＝0．

故F（x，y）＝0惟一确定了一个定义在R上的隐函数x＝g（y），即y＝f（x）的反函数．

4．设z＝z（x，y）由方程所确定，证明：．[华南理工大学研、清华大学2006研]

证明：对题目中的方程关于x求偏导可得，解得

两边关于y求导可得，解得

代入，可得

．

5．设z＝f（u），方程定义了隐函数u＝u（x，y），其中f（u）、φ（u）可微，P（t）、连续，且，求．[华东师范大学2006研]

解：对求偏导数有

所以，从而根据链式求导法则知

故

6．求由方程

所确定的隐函数z＝z（x，y）的极值．[青岛科技大学2006研]

解：求一阶偏导数有

令解得稳定点为x＝0、y＝1，从而有z＝1或z＝3．再求二阶偏导数有

在x＝0、y＝1、z＝1处，，解得

，，，

此时，，所以z＝z（x，y）在x＝0、y＝1、z＝1处取极小值1；

在x＝0、y＝1、z＝3处，，解得

，，，

此时，．所以z＝z（x，y）在x＝0、y＝1、z＝3处取极大值3．

7．设u＝u（x，y）、v＝v（x，y）满足方程求．[大连理工大学2006研]

解：对方程组分别关于x、y求导得

解得　  ．

8.y＝y（x）由方程确定，求y＝y（x）的图形在点（0,1）处的切线方程．[上海大学2006研]

解：将对x求导有

从而，所以．故y＝y（x）的图形在点（0，1）处的切线方程为

．

9．求两柱面的交线在点处的切线方程．[天津大学研]

解：令，则由公式可得

所以切线方程为．

10．请利用Lagrange乘数法求目标函数在约束条件为x＋y＋z＝1限制下的最大值（其中，x、y、z、m、n、p均是大于零的实数）．[复旦大学研]

解：应用Lagrange乘数法，令

，

对L求一阶偏导数，并令它们都等于0，则有

当x、y、z都不为0时，求得该方程组的解为

所以最大值为．

11．求，（n为正整数）在条件x≥0、y≥0，常数a＞0下的极值．[重庆大学研]

解：令，则

解得，所以f（x，y）的极值为．