第7章　定积分

1设f（x）和g（x）在[a，b]上连续，证明：其中

[哈尔滨工业大学研]

证明：不妨令.当M=0时，f（x）≡0，结论显然成立，所以不妨设M＞0.

∵g（x）在[a，b]上连续，从而一致连续，所以，当时，

由ε的任意性，可知

2设f（x）及g（x）在[a，b]上连续，f（x）≤g（x），且证明：在[a，b]上，

f（x）≡g（x）．[湖南大学研]

证明：设F（x）=f（x）-g（x），从而在[a，b]上，F（x）≤0，且下证F（x）≡0，

反证法：若不然，，则存在，使在[x₁，x₂]上F（x）＜0.从而其中，得出矛盾．

故在[a，b]上，F（x）=0，即f（x）≡g（x）.

3计算．[上海交通大学研]

解：作变换，则，当时，，当时，，所以

4设f（x）连续，且有，求x≥0时f（x）的值．[北京航空航天大学研]

解：由得，方程两边对x求导，得

而x＞0时，f（x）＞0，所以，从而

（c为常数）.

又因为，且f（x）连续，故

5给出有界函数f（x）在闭区间[a，b]上Riemann可积的定义．试举出一个在[a，b]上有界但不可积的例子，并给出证明．[上海大学研]

证明：Riemann可积的定义：设f（x）是定义在[a，b]上的一个函数，J是一个确定的实数．若对任意给定的正数ε，总存在某一正数δ，使得对[a，b]的任何分割T，以及在其上任意选取的点集，只要，就有

则称函数f（x）存区间[a，b]上Riemann可积．

在[a，b]上有界但不可积的例子：

在区间[a，b]的任何部分区间上均有，所以，它不趋于0．因此f(x)在[a，b]上不可积．

6求定积分．[上海大学2006研]

解：由于是奇函数，故，从而

7求．[南京理工大学2006研]

解：做变量替换，则

8设f（x）为[a，b]上的有界单调函数，证明：（1）函数至多只有可数个间断点；（2）讨论函数在[a，b]上的可积性．[江苏大学2006研]

证明：（1）设D是f（x）的第一类间断点集，令，，则

，故只需证明A、B为可数集即可．以A为例，对任意的，选取有理数，使得．再选取有理数和，，使当时，；而当时，（此由f（x）在X有单侧极限可知）．因此，对应法则是从A到的一个映射，而且是单射，这是因为若有，，使，，，则．注意到，不妨设，于是可取，那么由前面的不等式，就得出的矛盾．这说明A与的一个子集对等，由可数，则A可数．

（2）设f（x）为增函数，且f（a）＜f（b）（若f（a）=f（b），则f（x）为常量函数，显然可积）．对[a，b]的任一分割T，f（x）为增函数，f（x）在T所属的每个小区间上的振幅为

于是有

由此可见，任给ε＞0，只要，就有

所以f（x）在[a，b]上可积．

9设f（x）在[0，＋∞）上连续有界，证明：

[华东师范大学2006研]

证明：记．显然有，又，故对任意的

ε＞0，存在，使得

由上确界的定义知，对上述的ε＞0，存在，．因为f（x）在处连续，由连续函数的局部保号性知存在δ＞0，使得，．于是

由于，所以存在，使得

取，则有

即．

10设函数f（x）在[a，b]上非负、连续、严格递增，g（x）在[a，b]上处处大于零、连续且．由积分中值定理，对任意自然数n，存在，使得

求极限．[北京师范大学研]

解：因为g（x）在[a，b]上处处大于零、连续，所以存在c＞0使得当时，有g(x)≥c．从而对任意的ε＞0，有

由于，又f（x）在[a，b]严格递增，故由极限的保号性知，存在N＞0，使得当

n＞N时，有，于是．又由f（x）在[a，b]上严格递增知，当n＞N时，有成立，故．

11设函数f（x）是[－1，1]上的连续函数，且有，，证明：至少存在两个不同元素，使得．[北京师范大学2006研]

证明：反证法．假设f（x）在（－1，1）内至多只有一个零点．若f（x）在（－1，1）内没有零点，不妨设f（x）在（－1，1）内恒正．由于f（x）在处连续，故由连续函数的局部保号性知，存在充分小的δ＞0使得当时．有．于是

矛盾．

若f（x）在（－1，1）内只有一个零点c，则f（x）在内恒不为零．若f(x)在内恒正或恒负，可以类似前面的证明推出矛盾．若f（x）在（－1，c）内恒正，在（c，1）内恒负（f（x）在（－1，c）内恒负，在（c，1）内恒正的情况完全类似）．由于，，所以．令

，则，且g（x）在内恒正，往后类似前面的证明即可推出矛盾．

12设f（x）在[0，1]上Riemann可积，且，求．[浙江大学研]

解：因为f（x）在[0，1]上Riemann可积，所以存在M，使得，则

．则．

13利用可积函数条件证明：在[0,1]上可积．[南京师范大学2006研]

证明：对[0，1]做任意分割T，注意到f（x）在[0，1]上有界，其不连续点为且f（x）在[0，1]的任意区间上的振幅w≤1．对任意的ε＞0，由于f（x）在上只有有限个间断点，故可积．因此，存在η＞0，对的任意分法，只要，就有．显然，，则对于[α，β]的任意分法，只要，就有．

令，设是在[0，1]上满足的任意分法．设，由上述证明，有，显然又有，所以．于是，则f（x）在[0,1]上可积．

14设a＞0，求星形线，的全长．[汕头大学研]

解：由，，可得

于是全长

15求由抛物线与直线所围图形的面积．[浙江师范大学研]

解：因为的交点为（1，－1）与（9，3），所以由这两条曲线所围图形的面积为，其中，所以．

16求由圆柱体与所围立体的体积．[重庆大学研]

解：垂直于x轴上任意一点（x，0）的任意截面面积，则由对称性可得

17设摆线，有均匀密度，求它的重心．[中国科技大学研]

解：设重心坐标为，则．