第6章　简单的超静定问题

一、填空题

如图6-1（a）和（b）所示梁的静不定度分别为______度和______度。[北京航空航天大学2006研]

图6-1

【答案】2；1

【解析】图（a）中整体分析的未知量有：固定端竖直方向上的力和弯矩，两个支反力；分别解除两个支反力，相当于解除了两个内约束，可求得剩下未知量；图（b）中局部分析的未知量：铰接点上的竖直方向上的力，两个支反力。解除两个支反力中的任何一个，相当于解除一个内约束后，即可求得剩下未知量。

二、计算题

1．如图6-2所示，结构由两悬壁梁AB和CD通过拉杆BC在B，C处铰接而成，B处受垂直向下的集中力F作用。两悬壁梁的抗弯刚度均为EI（EI为常数），拉杆的抗拉刚度为，尺寸如图。试用力法正则方程求拉杆BC的内力。[南京航空航天大学2012研]

图6-2

答：由题意是一次超静定结构

相容方程：

将、、代入相容方程得：

2．如图6-3所示桁架，在装配时发现杆3的长度较设计长度短了△。设各杆的抗拉刚度均为EA，现强迫杆端A与C装配在一起，求装配后各杆的轴力。[厦门大学2011研]

图6-3

解：（1）根据静力平衡条件可得各杆轴力：

（2）根据杆的受力情况分析，杆1、2受拉，杆4、5受压，则点A下移，点B上移。如图6-4所示。

图6-4

根据几何变形关系得协调方程：

其中，根据胡克定律可得：，，

即整理可得补充方程：

因此，

（3）装配后各杆的轴力如下：

3．图6-5所示梁AB，梁的抗弯刚度为EI，因强度和刚度不足，现用同一材料和同样截面的短梁AC加固。试求：

（1）两梁接触处的压力F_RC。（2）加固后，梁AB的最大弯矩。[北京航空航天大学2005研]

图6-5

解：（1）解除C处铰链，代之以约束反力，如图6-6所示

取AB梁进行受力分析，知AB梁为一次静不定结构。

作F单独作用下弯矩图如图6-7所示。、

图6-6

作C点单位力作用下弯矩图如图6-8所示

图6-7

F作用时位移为：

单位力作用时位移为：

代入正则方程

解得 

即两梁接触处的压力为。

（2）梁AB的弯矩图如图6-8所示

图6-8

知，最大弯矩在C点，其值为。

4．如图6-9所示，梁AB受均布载荷q作用，长度为的铅垂杆CD与杆DG、DH铰接于D，并在C、G、H处分别与梁AB及梁GK铰接，二梁的弯曲刚度均为EI，三杆的拉压刚度为EA，且梁的惯性矩I与杆的横截面面积A之比为，不计梁中的轴力和剪力的影响，试求：（1）杆CD的轴力；（2）梁GK在其中点H的挠度。[北京理工大学2006研]

图6-9

解：（1）由D点平衡关系可得：

由叠加法可知：

C点在均布力和集中力作用下的绕度为

C点在轴力作用下的位移为

DG杆在垂直方向的位移满足几何关系

D点在轴力的作用下垂直位移满足几何关系

根据几何关系，可以得出在C点的绕度和轴力作用下的垂直位移相等，即

（2）对杆GK用叠加原理

4．如图6-10所示钢杆，弹性模量Ｅ＝200GPa,截面面积为2500,受力之前，B端与刚性墙间的间隙为，现于C点作用一水平向右的集中力F=200KN,试求A、B端的约束力。[河海大学2007研]

图6-10

解：假设杆不与墙接触，则：

所以上述假设不成立。

取图６-11所示基本体系：

图6-11

　 

又