第10章　机械振动和电磁振荡

10.1　复习笔记

一、谐振动

简谐运动是指物体运动时，离开平衡位置的位移（或角位移）按余弦函数（或正弦函数）的规律随时间变化的运动，简称谐振动．

1．谐振动的特征及其表达式

（1）对于弹簧振子，谐振动时物体受到的力的大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反．这种性质的力称为线性回复力．

（2）弹簧振子的谐振动

振子在弹簧提供的指向平衡位置的线性回复力作用下在平衡位置附近作周期往复的运动，其中k是弹簧的劲度系数，负号表示力和位移的方向相反.

物体的加速度为

即作谐振动物体的加速度大小总是与物体对其平衡位置的位移成正比而方向相反.

谐振动的运动方程（特征式）为

位移表达式（运动学方程）为

即弹簧振子运动时，物体相对平衡位置的位移按余弦（或正弦）函数关系随时间变化.用复指数形式表示

上式可直观反映出此谐振子相对平衡位置的位移随时间的变化．式中x为谐振子离开平衡位置的位移，A和为积分常数.

（3）谐振动的位移、速度、加速度与时间的关系

①位移

②速度　

③加速度　 

式中，υ_m＝ωA和a_m＝ω²A称为速度幅值和加速度幅值．物体作谐振动时，其速度和加速度也随时间作周期性变化.

图10-1-1  谐振动中的位移、速度、加速度与时间的关系

④若在振动的起始时刻，即在t＝0时，物体的初位移为x₀、初速度为υ₀，则可求得

振动物体在t＝0时的位移x₀和速度υ₀称为振动的初始条件．

2．描述谐振动的特征量

（1）振幅

振幅是指作谐振动的物体离开平衡位置的最大位移的绝对值A.

（2）周期

周期是指完成一次完整振动所经历的时间，用T来表示.

（3）振动频率

振动频率是指单位时间内物体所作的完全振动的次数，用v或f表示，单位为赫[兹]，符号是Hz.

（4）角频率

角频率是指物体在2π秒时间内所作的完全振动次数，也称圆频率，用ω表示，单位是rad/s.

对于弹簧振子，，所以弹簧振子的周期和频率为

（5）相位

相位：

初相位：t＝0时的相位.

相位差：两个同频率谐振动和的相位差为

其中，时，称两个振动同相；时，称两个振动反相.

3．谐振动的旋转矢量图示法

图10-1-2  谐振动的矢量图示法

矢量A的末端在Ox轴上的投影点P的位移

x＝Acos（ωt＋）

其中，矢量的长度即振动的振幅A，矢量旋转的角速度ω为振动的角频率，矢量与Ox轴的夹角φ为振动的相位，而t＝0时矢量与x轴的夹角φ₀为初相位.

图10-1-3  用旋转矢量表示两个谐振动的相位差

4．几种常见的谐振动

（1）单摆

图10-1-4  单摆

①定义：单摆是指一根不会伸缩的细线，上端固定（或一根刚性轻杆，上端与无摩擦的绞链相连），下端悬挂一个很小的重物，把重物略加移动后可在竖直平面内来回摆动的装置.

②设摆线长为l，则有

式中，.

角谐振动表达式

θ＝θ_mcos（ωt＋φ₀）

式中，θ_m是最大角位移，即角振幅，φ₀为初相位，它们均由初始条件决定.

（2）复摆

图10-1-5  复摆

①复摆是指一个可绕固定轴O摆动的刚体，又称物理摆.

②设复摆绕O轴的转动惯量为J，摆角很小时，根据转动定律得

周期为

5．谐振动的能量

（1）谐振动的动能和势能

说明：物体作谐振动时，其动能和势能均随时间t作周期性变化，位移最大时，势能达最大值，动能为零；物体通过平衡位置时，势能为零，动能达最大值，且总能量守恒.

（2）总机械能

说明：谐振系统在振动过程中的动能和势能虽然分别随时间而变化，但总的机械能在振动过程中却是常量.谐振动系统的总能量和振幅的平方成正比.

6．用能量法解谐振动问题

利用机械能守恒定律来建立振动的运动表式进行求解．

二、阻尼振动

1．概念

无阻尼自由振动：一个振动物体不受任何阻力的影响，只在回复力作用下所作的振动.

阻尼振动：在回复力和阻力作用下的振动.

过阻尼：物体以非周期运动的方式慢慢回到平衡位置的阻尼振动（δ＞ω₀）.

临界阻尼：振动物体刚好能平滑地回到平衡位置的阻尼振动（δ＝ω₀）.

2．表达式

令，运动方程

在δ＜ω₀的条件下，即阻尼较小的情况，微分方程的解为

式中，ω₀为无阻尼时振子的固有角频率，δ称为阻尼系数.

图10-1-6

三、受迫振动  共振

1．受迫振动

为了克服阻尼而给振动物体施加周期性外力（驱动力），使得振动持续进行，称为受迫振动.

2．共振

阻尼很小时，共振的条件：受迫振动的频率等于物体的固有频率.

（1）位移共振：驱动力幅值恒定时，受迫振动稳态时振幅随驱动力角频率而改变，当此角频率取某值时位移振幅达到最大.

（2）速度共振：当驱动力角频率取某值时，稳态振动速度幅度达到最大.

四、电磁振荡

电路中电压和电流的周期性变化称为电磁振荡，产生电磁振荡的电路称为振荡电路.最简单的振荡电路是由一个电容器和一个电感线圈串联成的电路，即LC电路.

1.LC电路的振荡

（1）电荷电流变化规律

①时刻t电容器极板上的电荷量

②令，电荷方程

q＝Q₀cos（ωt＋φ₀）

式中，Q₀为极板上电荷量的最大值，称为电荷量振幅，φ₀是振荡的初相位，Q₀和φ₀的数值由初始条件决定．ω是振荡的角频率.

③电流方程

电荷和电流均作谐振动，是等幅振荡，电荷和电流的振荡频率相同，电流的相位比电荷的相位超前.

（2）LC振荡电路中的能量

电场能量

电磁能量

总能量

说明：电能和磁能随时间变化，总电磁能量保持不变.

2．受迫振荡  电共振

（1）受迫振荡

受迫振荡的微分方程

式中，是电源的电动势.

电流的幅值和相角

说明：当外加电动势的频率和自由振荡的频率相等时，电流的振幅为最大.

（2）电共振

电共振是指在周期性电动势作用下电流振幅达到最大值的现象.

3．力电类比

表10-1  机械振动和电磁振荡对应的物理量

五、一维谐振动的合成

1．同一直线上两个同频率的谐振动的合成

一条直线上两个独立的同频率谐振动，它们的振幅和初相位不同，会形成一定的合运动.因位移为矢量，合位移可由代数和算出

式中，、、、分别为原来两个谐振动的振幅和相位.合成后，振动的频率不变，矢量v和a可直接由代数和求出，而振幅和初相位变化为

说明：合振动仍是谐振动，其振动方向和频率都与原来的两个振动相同．

常用到的两种合成是同相振动的合成以及反相振动的合成，分别对应合振动振幅的最大值和最小值.

同相合振动

反相合振动

2．同一直线上两个不同频率的谐振动的合成  拍

（1）有两个谐振动（设它们的角频率很接近，分别为ω₁和ω₂，且ω₂＞ω₁，而初相相同）的振动方程为

根据运动叠加原理，两者的合振动

为方便计算，设两者的振幅相等，即令A₁＝A₂＝A，则上式可写成

说明：振幅的缓慢变化是周期性的，所以振动出现时强时弱的拍现象.

（2）拍：合振动的振幅随时间发生周期性变化的现象．拍现象常用于汽车速度监视器、地面卫星跟踪、各种电子学测量仪器等．

六、二维谐振动的合成

1．两个相互垂直的、同频率的谐振动的合成

设两个谐振动分别在Ox轴和Oy轴上进行，振动表式分别为

x＝A₁cos（ωt＋φ₁₀）

y＝A₂cos（ωt＋φ₂₀）

式中，ω为两个振动的角频率，A₁、A₂和φ₁₀、φ₂₀分别为两振动的振幅和初相位．

将参量t消去，得到轨道的直角坐标方程

2．几种特殊情形的合运动

（1）φ₂₀－φ₁₀＝0，即两振动同相，质点的轨道是一条直线

直角坐标方程　 　 

振幅   

（2）φ₂₀－φ₁₀＝π，即两振动反相，质点的轨道是一条直线

直角坐标方程　 　 

振幅　  

（3），质点运动的轨道是以坐标轴为主轴的椭圆．

直角坐标方程　 　

（4）,质点运动的轨道是以坐标轴为主轴的椭圆，运动方向与（3）相反.

图10-1-7  两个相互垂直、同频率谐振动的合成

（5）李萨如图形：两振动的频率为其他比值的曲线.

七、振动的分解  频谱

1．振动的分解

傅里叶指出：任一周期性函数都可以下列形式的谐函数表示

式中，A₀、A_n称为傅里叶系数.

利用傅里叶级数，任一周期振动可以分解成几个甚至无穷多个谐振动，它们的频率为原周期性振动频率的整数倍.

2．振动的频谱

若用横坐标表示各个谐频振动的频率，纵坐标表示对应的振幅，可得谐频振动的振幅分布图，称为振动的频谱.

八、非线性振动与混沌

1．非线性振动

振动物体在非线性回复力作用下所作的振动为非线性振动.

2．混沌

又称混沌运动，是在一个非线性方程所描述的确定性系统中出现貌似不规则的运动，其特征表现为对初态的敏感性和对未来的不可预见性.