第11章　机械波和电磁波

11.1　复习笔记

一、机械波的产生和传播

1．机械波产生的条件

波源和弹性介质．

2．横波和纵波

横波：质点振动方向与波传播方向垂直，如水波，绳索的振动传播．

纵波：质点振动方向与波传播方向平行，如声波．

简谐波：作谐振动的波，任一机械波都可以看成是简谐波的合成．

3．波阵面和波射线

（1）波阵面（波面）

波面：某一时刻振动相位相同的点连成的面，波面是同相面.

波前：传播方向最前面的波面．

平面波：波阵面是平面的波动．

球面波：波阵面是球面的波动．

（2）波射线（波线）

波射线是指波的传播方向．

4．波长、频率和波速间的关系

（1）波长：同一波线上相邻的振动状态相同的质点间距离；

（2）周期T：波传过一个波长的时间，或一个完整的波通过波线上某点所需的时间．周期的倒数称为频率；

（3）波速u：单位时间内振动状态传播的距离．波速也是相速；

（4）振幅A：每个质点振动的振幅；

（5）几个参数间的关系

二、平面简谐波的波函数

1．波函数

波函数表示介质中各质点的振动状态随时间变化的关系．

2．平面简谐波的波函数

（1）波函数的表达式

对于传播的波面为平面的平面简谐波，波线上任一点（距原点为x）处的质点任一瞬时的位移，称为沿Ox轴方向前进的平面简谐波的波函数，表达式为

其中为角频率，为初相位．

（2）波函数的物理意义

波函数反映了波的时间、空间双重周期性：

在给定x时，波函数给出x处质点的周期谐振动；

在给定t时，波函数给出t时刻的简谐振动波形；

在x和t都变化时，波函数表示波线上各个不同质点在不同时刻的位移．

（3）波函数的其他表示形式

波函数是行波，其他表示形式有

 

式中，称为角波数，表示单位长度上波相位变化．

三、波动方程  波速

1．波动方程

将平面简谐波波函数分别对t和x求二阶偏导数，得到

比较两式，即得波动方程

2．波速

（1）柔软绳索和弦线中横波的波速

式中，F为弦内张力，ρ₁为弦的线密度（单位长度的质量）．

（2）固体内纵波的波速

式中，E为固体的弹性模量（杨氏模量），ρ为固体的密度．

（3）固体内横波的波速

式中，G为固体的切变模量，ρ为固体的密度．

（4）流体中纵波的波速

式中，K为流体的体积模量，ρ为流体的密度．

（5）理想气体中的声速

声波在气体中传播时可以视为绝热过程．式中，M是气体的摩尔质量，γ是气体的热容比，p是气体的压强，T是气体的温度，R是摩尔气体常量．

由上可知，机械波的波速仅决定于介质的弹性和惯性．

四、波的能量  波的强度

1．波的能量

在介质中任取体积为ΔV、质量为Δm（Δm＝ρΔV，ρ为介质的体密度）的质元．当波动传播到这个质元时，该质元将具有动能ΔE_k和弹性势能ΔE_p．

质元的总机械能ΔE

能量密度

平均能量密度（波能量密度在一个周期内的平均值）

式中，ρ是介质的密度．

2．波的强度

能流：单位时间通过介质某面积的能量．

平均能流密度（波的强度）：通过与波动传播方向垂直的单位面积的平均能流．

其中，Z＝ρu为介质的特性阻抗，是表征特性的一个常量．

3．波的吸收

平面行波在均匀介质中传播时，介质总是要吸收波的一部分能量，波的强度和振幅

都将逐渐减小．所吸收的波动能量将转换成其他形式的能量（例如介质的内能）．这种现象称为波的吸收．

五、声波  超声波  次声波

1．声压

声压：介质中有声波传播时的压强与无声波时的静压强之间的差额．

声压振幅：p_m＝ρuωA．

2．声强  声强级

（1）声强

①声强是指声波的平均能流密度，即单位时间内通过垂直于声波传播方向的单位面积的声波能量．

②声强I为

（2）声强级

①常用对数标度作为声强级（以I_L表示）的量度．

②声强级为

单位为贝尔（bel），常采用分贝（dB），声强级的公式为

噪声：大于90dB对人的工作和健康有影响的声音．

3．超声波

超声波是指频率在20000Hz以上的机械波．利用超声波的特性可以探测鱼群、潜艇等，还可以探测工件内部的缺陷作无损探伤，探测人体内部的病变，进行焊接、切削、钻孔等超声加工，清洗、粉碎、乳化等．

4．次声波

次声波是指频率范围大致为10^－4～20Hz的机械波．次声波会引起人体的危害，如恶心、头晕或精神沮丧等，应用次声波可预测自然灾害的产生．

六、电磁波

1．电磁波的辐射和传播

电磁波是横波，由交替变化的电场和磁场产生，是电场强度E和磁场强度H在空间的传播．

2．电磁波的性质

（1）电磁波是横波

E、H和传播方向构成右手螺旋关系．

（2）电磁波具有偏振性

偏振是指E和H分别在各自平面内振动．

（3）E和H同相位

（4）E和H的量值成比例

（5）传播速度

在真空中为光速，即．

3．电磁波的能量

辐射能：电磁波所携带的电磁能量．

（1）能量密度

电场和磁场的能量体密度分别为

电磁波所携带的总电磁能（即辐射能）密度为

式中，ε和μ分别为介质的介电常量和磁导率．

（2）能流密度矢量

又称为坡印廷矢量，表示在单位时间内通过垂直于传播方向的单位面积的辐射能

4．电磁波谱

电磁波谱：按照频率或波长的顺序把电磁波排列而成的图表．

七、惠更斯原理  波的衍射、反射和折射

1．惠更斯原理

在波的传播过程中，波阵面（波前）上每一点都可看作是发射子波的波源，在其后的任一时刻，这些子波的包迹成为新的波阵面．

（1）优点：惠更斯原理给出了波的传播规律，可以解释波的直线传播、反射、折射、双折射、衍射等现象．

（2）缺点：不能说明各个子波在传播中对某一点振动的相位和振幅的贡献度．

2．波的衍射

波的衍射：波在传播过程中遇到障碍物时，在传播方向绕过障碍物发生偏折．

衍射现象可由惠更斯原理解释：平面波在障碍物处子波的包迹在边缘处不是平面，使得传播方向偏离原方向向外延展．

3．波的反射和折射

（1）反射和折射的产生

波动从一种介质传到另一种介质时，在两种介质的分界面上，传播方向要发生变化，产生反射和折射现象．

（2）波动的反射定律

①入射角等于反射角；

②入射线、反射线和分界面的法线均在同一平面内．

（3）波动的折射定律

①不论入射角大小如何，入射角的正弦与折射角的正弦之比都等于波动在第一介质中的波速与第二介质中的波速之比；

②入射线、折射线和分界面的法线在同一平面内．

八、波的叠加原理  波的干涉  驻波

1．波的叠加原理

波的叠加原理：在几个波相遇的区域内，任一时刻某处质点的振动位移是各个波在该点所引起的位移的矢量和．

2．波的干涉

干涉现象：两列频率相同、振动方向相同、相位差恒定的简谐波在空间区域相遇，该区域不同的点，有着不同的恒定相位差，因而在某些点振动始终加强，在另一些点振动始终减弱或完全抵消．

干涉现象可由波的叠加原理定量解释．设两列相干波在某点P相遇，两波引起P的振动分别为

可得到P点波强度

式中，为两波在P的位相差，可见波强度随空间位置的变化．

说明：两列相干波源为同相位时，在两列波的叠加区域内，在波程差等于零或等于波长的整数倍的各点，振幅最大；在波程差等于半波长的奇数倍的各点，振幅最小．

3、驻波

（1）概念

驻波：各质点只有段与段之间的相位突变，没有振动状态或相位的逐点传播．

波节：驻波中始终静止不动的点．

波腹：振幅最大的各点．

（2）位置的判断

波腹的位置

相邻两个波腹间的距离

波节的位置　 

相邻两个波节之间的距离　 λ/2

4．弦线上的驻波

驻波现象的应用：

弦线的两端拉紧固定（或细棒的两端固定），当拨动弦线时，弦线中产生经两端反射而成的两列反向传播的波，叠加后形成驻波．由于在两固定端必须是波节，因而其波长有一定限制，波长与弦长L必须满足条件

而波速u＝λν，则

即只有波长（或频率）满足上述条件的一系列波才能在弦上形成驻波．

各种允许频率所对应的驻波称为简正模式，相应的频率称为简正频率．

5．半波损失

相距半波长的两点相位差为π的相位突变．

波密介质：密度ρ与波速u的乘积ρu较大的介质．

波疏介质：密度ρ与波速u的乘积ρu较小的介质．

光密介质：折射率n较大的介质．

光疏介质：折射率n较小的介质．

九、多普勒效应

1．机械波的多普勒效应

（1）多普勒效应

多普勒效应是指因波源或观察者相对于介质的运动，而使观察者接收到的波的频率有所变化的现象．

（2）三种情况

①波源不动，观察者以速度v_R相对于介质运动

观察者接收到的频率

②观察者不动，波源以速度v_S相对于介质运动

观察者接收到的频率

③观察者与波源同时相对介质运动

观察者接收到的频率

式中，为观察者向波源方向运动速率，为波源向观察者方向运动速率，是接收到的波的频率，是波源发出的波的频率．

2．电磁波的多普勒效应

多普勒效应是波动过程的共同特征．不仅机械波有多普勒效应，电磁波（包括光波）也有多普勒效应．

3．冲击波

冲击波：随着时间的推移，各波不断扩展，锥面不断扩展的圆锥形的波．

波源在A位置发出波，t时刻后波阵面为半径等于ut的球面，而波源前进了v_St的距离到达B位置，在整个t时间内，波源发出的波的各波前的切面形成一个圆锥面，锥形的顶角满足．

图11-1  冲击波

切伦科夫辐射：当带电粒子在介质中高速运动时，其速度超过该介质中的光速（该光速小于真空中的光速c），也会辐射锥形电磁波．