4.2　强化习题详解

1证明：如果一个理性消费者的效用函数u(·)严格凹，即u^′(w)＞0，u″(w)＜0，则对任何赌注h＞0，如赢率等于输率，该消费者都不会加入这类赌局。

证明：若消费者加入此赌局，则其期望效用为：

若消费者不加入此赌局，则其效用为。令：

则：。

因为，，，所以，即，故是关于的单调递减函数，且连续。又因为，所以对任意的都成立，即。所以，对任何赌注，如赢的概率等于输的概率，则该消费者都不会加入这类赌局。

2若消费者的效用函数为，求：

（1）时，该消费者的相对风险规避系数。

（2）时，该消费者的相对风险规避系数。

解：消费者的相对风险规避系数为：

（1）时，，，所以：

（2）方法一：

效用函数单调变换后取极限，即：

上式中令，那么就有：

所以。

方法二：

利用（1）中结论就有。

3考虑个人所得税，设起征点为零。设某人的实际所得(收入)为，税率为，但交税是以这个人向政府“报”的所得额而计算的。设这个人“报”的所得为.于是，该人的税后收入所表现的效用为。个人所“报”的可以“实报”，这时；也可以虚报，这时，甚至可以报。政府以的概率展开税收稽查，假设一查便可以发现个人谎报，一经查出谎报所得，要按比率对谎报额收罚金。

（1）写出这个人的期望效用函数(抽象函数)。

如果，并且，请证明：

（2）

（3）

（4）阐明（2）与（3）点的经济含义。

解：（1）若此人向税务部门上报的个人所得为，则一旦查出其谎报真实收入，那么他的最终收入变为

，故此人的期望效用函数为：

（2）由（1）可知：

　①

那么，当时，上式等于：

因为，所以有：

即。

（3）由（1）可知：

因为，所以：

（4）的经济含义是：纳税人谎报自己的收入为零的情况不会发生。类似的，的经济含义是：纳税人向税务部门报告自己的真实收入的情况也不会发生。再由①式可知：

，由于，，所以：

即为关于的单调递减函数。又因为，，所以一定存在唯一的，使得，即在处，取得最大值。所以，纳税人既不会选择完全不报，也不会选择“实报”，而是为了达到其期望效用的最大化，进行虚报，瞒报额为。

4某人A的效用函数为：，为收入。如果他成为一名秘书，则每年肯定能够收入30 000元；如果成为一名产科医生，在产育的高峰期将收入60 000元（假设发生的概率为0.75），而在产育的低谷期则只能收入20 000元（假设发生的概率为0.25）。如果有一家咨询公司能够预测两种情况将要发生的概率。A认为应该为这条信息费用最多支付多少钱。

解：两种职业进行对比，如果为医生职业支付得过多，那么，他宁愿选择成为秘书。所以，当两个职业的期望收入效用相等，此时的即为最大支付费用。如表4-2所示。

表4-2  A的效用矩阵

秘书收入的期望效用：

医生收入的期望效用：

所以，医生收入的期望效用高于秘书收入的期望效用，A愿意为该信息支付费用。

本题如果按照支付信息费后，计算医生收入的期望效用，然后解方程，由于未知数处于两个不同分式的分母，解题将极为困难。

此时，可以换一种思路，如果秘书的收入增加，当增加后秘书的收入的期望效用大于等于医生收入的期望效用，此时A将不愿意为该信息付费，那么此时假设的增加的收入即为答案。解题如下：

当收入增加10000时候，A就开始不愿意为该信息支付费用了。所以，很显然，最大支付的费用为10000。

如果支付费用为10000，进行验算：

说明最大支付费用为10000符合题意。

5假设张三是一家服装商店的老板，目前面临秋季新装订货量的决策，条件如下：如订购100套，每套成本为200元；如订购50套，每套成本为240元。张三预计标出的售价为每套400元，但不确定衣服的最终销量如何。季末张三可以将未销出的衣服退还给厂家，但只能得到进价的一半价钱。在没有足够信息的情况下，张三简单地认定销售100套和50套的概率各为0.5。假设张三是风险中性的，请问：

（1）张三决定订购多少套秋装？为什么？

（2）如果前期市场调研能够获得对销量的准确预测，则张三目前的市场调研投入最高为多少？

解：（1）在没有足够信息的情况下，先看张三订购100套的情况，此时成本为元，销量为50套时的收益为元，以每套100元的价格退回厂商50套时，因此一共回收成本元，利润为5000元，这种情况发生的概率为0.5；销量为100套时的收益为元，利润为元，这种情况发生的概率也为0.5。因此张三订购100套的期望利润为元。

再看张三订购50套的情况，此时成本为元，销量为50套时的收益为元，利润为8000元，销量100套时的收益依然为元，利润为8000元，两种情况发生的概率各为0.5，因此此时的期望利润就是固定利润为。

因此张三订购100套的期望利润大于订购50套的期望利润（固定利润），又因为张三是风险中性的，所以张三决定订购100套。

（2）在完全信息的条件下，张三可以做出正确的订货选择。如果销量为50套，则他订购50套，利润将为元；如果销量为100套，则他订购100套，利润将为元。因为两种情况发生的可能性相等，因此在完全信息的条件下张三的期望利润为元。

为了得到准确的信息，张三目前的市场调研投入最高值就等于完全信息下的期望利润14000元减去不确定下的期望利润12500元，即1500元。