第3讲 价格变化对消费者的配置效应与福利效应
3.1 课后习题详解
1证明：如果一个消费者只消费两种商品，假设是
与
，那么它们不可能都是劣等品。
证明：劣等品是指随着消费者收入的增加，其需求量减少的商品。如果假设
是第
种商品的马歇尔需求函数，那么商品是劣等品就意味着
。
对于消费两种商品的消费者，如下的预算约束恒成立：
①
①式两边关于收入
求导，得到：
②
对于消费两种商品的消费者，等式②恒成立。
假设商品1和2都是劣等品，那么就有，
或2，从而②式左边恒小于零，等式②不成立，这与假设矛盾！所以如果一个消费者只消费两种商品，那么它们不可能都是劣等品。
2如果偏好是凹的，替代效应仍然为负吗？
答：如果偏好是凹的，替代效应不一定为负，但肯定是非正的。分析如下：
一种商品的替代效应是指价格变化引起商品需求量的总变化当中，仅仅因为该商品和其他商品之间的相对价格变化而引起的需求量的变化。替代效应包括希克斯替代效应和斯拉茨基替代效应。希克斯替代效应是指保持消费者的效用不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-1所示）；斯拉茨基替代效应是指保持消费者的购买能力不变的情况下，价格变化引起的需求量的变化（如图3-2所示）。
图3-1 希克斯替代 图3-2 斯拉茨基替代
当消费者的偏好为凹的时候，替代效应非正，即替代效应或者为零，或者为负，见图3-3（这里只考虑希克斯替代效应，斯拉茨基替代效应的分析也是类似的）：
图3-3 凹偏好的替代效应
①替代效应为零的情况
当商品1的价格上升引起预算线从
转动到
时，消费者对商品1的需求由
减少到
，如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚线
的位置可以看出，商品1的需求不变，即价格变动的替代效应为零。
②替代效应为负的情况
当商品1的价格上升引起预算线从转动到
时，消费者的最优消费点为
点。如果保持消费者的效用不变，仅仅考虑相对价格的变化对商品1的需求的影响，那么由图中虚线
的位置可以看出，现在消费者转而消费商品2，即对商品1的消费下降为零，价格变动的替代效应就是商品1的消费从点的位置下降到
点的位置。
3已知一个消费者对牛奶的需求函数为
，这里
为一周内牛奶的消费量，
元为收入，
元/桶，现在假定牛奶价格从3元/桶降为2元/桶。问：
（1）该价格变化对该消费者的需求总效应是多少？（即其牛奶消费会变化多少？）
（2）请算出价格变化的斯拉茨基替代效应。
（提示：如该消费者维持原消费水平，降价会使他省出多少钱？现在他用多少钱就相当于原来的120元钱？）
（3）请算出价格变化的斯拉茨基收入效应。
解：（1）（元/桶）时，
，
（元/桶）时，
。所以总效应为：
（2）价格变化后，为了使消费者购买得起价格变化前的商品数量，需要把他的收入增加
，即他的收入要减少14元。这样在保持消费者的购买力不变的条件下，消费者对该商品的需求为：
从而替代效应为：
（3）收入效应等于总效应减去替代效应，即：
4某个消费者的效用函数为
。令
，
与分别表示商品1的价格、商品2的价格和收入。
（1）如果
，
，
，现在上升为2，求此消费者关于商品1的斯拉茨基替代效应和收入效应。
（2）请根据计算，验证恩格尔加总规则。
解：（1）消费者的效用最大化问题为：
构造该问题的拉格朗日函数：
拉格朗日函数对
、
和
分别求偏导得：
①
②
③
从①式和②式中消去后得：
④
把④式代入③式中得：
⑤
把⑤式代入④式中得：
⑥
⑤式和⑥式就是商品1和商品2的马歇尔需求函数。把、、代入⑤式中，得到：
当商品1的价格变为
时，商品1的需求为：
价格上涨后，为了保证消费者的购买力不变，应当把他的收入增加
，这样在保持消费者的购买力不变的条件下，消费者对该商品的需求为：
从而消费者的替代效应为：
消费者的收入效应为：
（2）恩格尔加总规则是说把消费者在每种商品上的支出份额（
）和该商品的需求收入弹性（
）之积加总等于1，即：
就本题而言，商品1和2的需求函数分别为和，从而
，
，
，
，从而：
5（单项选择）当价格是（3，1）时，某个消费者选择的消费束是
。在新的价格
下，他选择的消费束是
，若此消费者的行为满足显示偏好的弱公理，那么必定有：
（1）
（2）
（3）
（4）
【答案】（1）
【解析】显示偏好弱公理的含义：令
是当价格向量为
时消费者的选择，令
是当价格为时消费者可以支付得起，但实际上并没有选择的商品束，那么就被“显示出”偏好于，并且，若被“显示出”偏好于，那么就决不会被“显示出”偏好于。用数学公式表达就是：如果
，那么必有
。
对于本题的消费者，当价格是（3，1）时，他选择的消费束是。在新的价格下，他选择的消费束是，根据显示偏好弱公理，因为：
所以必有：
解得：，故选（1）。
6（单项选择）1997年，小李将他的全部收入用在两种商品和
上。与1997年相比，1998年商品和的价格都上升了8%，1998年小李消费的和1997年一样多，但他消费的却比1997年少。我们可以断定：
（1）是个正常商品。
（2）是个劣等商品。
（3）是个劣等商品。
（4）由于商品的相对价格没有变，小李的行为是非理性的。
【答案】（1）
【解析】正常品是指随着消费者收入的增加其需求也增加的商品；劣等品是指随着消费者收入的增加其需求减少的商品。由于1998年的时候，两种商品的价格同比例上涨，从而两种商品之间的相对价格不变，所以价格上涨的实际效应是消费者的收入减少，从图上看，就是消费者的预算线向内移动，由于商品的需求变化和消费者收入的变化方向相同，所以商品是正常品，如图3-4所示。
图3-4 价格变化对需求的影响
7考虑一个不变弹性需求函数
，，
。
（1）求反需求函数
。
（2）计算需求的价格弹性。
（3）
的值为多少时，称需求是有弹性的？的值为多少时，称需求是无弹性的？
（4）证明：边际收入函数对反需求函数的比
独立于产出
。
解：（1）由需求函数，可得消费者的反需求函数为：
（2）由，由需求价格弹性公式可得：
。
（3）如果
，就说需求是有弹性的；如果
，就说需求是无弹性的。
（4）证明：由于
，则
，从而：
可知这个表达式和产出无关。
故边际收入函数对反需求函数的比独立于产出。
8判断下述论断是否正确，并给出理由：
（1）如果需求曲线是一条直线，则直线上各点的需求价格弹性是一样的。
（2）如果对
的需求是由的价格、
的价格和收入决定的，则当的价格、的价格和收入都上涨一倍时，对的需求不变。
答：（1）错误。理由如下：
①假设线性需求函数为
，其中
，
，那么它的需求价格弹性为：
即需求价格弹性
是价格
的函数。也就是说，需求曲线上各点的需求价格弹性随价格变化，不是一个常数。
②如果需求曲线是垂直的（
），那么它的弹性是不变的，
。
③如果需求曲线是水平的，它的弹性不存在（无穷大的），讨论需求曲线上各点的弹性是否相等无意义。
（2）正确，理由如下：
消费者的效用最大化问题通常可以描述如下：
即消费者最优选择的变化基于两个条件的变化，这两个条件就是预算约束和偏好。当的价格、的价格和收入都上涨一倍时，其预算约束为
，它与
表示的是同样的选择集，在偏好不变的情况下（这正是“如果对的需求是由的价格，的价格和收入决定的”含义），消费者的选择将不会发生变化。也就是说，对的需求不变。
9判断对错并简要说明理由。和是一个消费者消费的两种物品，如果
，就说是的替代品；如果是的替代品，则也是的替代品。
答：（1）先考虑净替代的情况：前半句是错误的，而后半句是正确的，理由如下：
两个商品之间的替代关系通过净替代效应的正负来决定，商品1的希克斯需求函数关于商品2的价格求偏导数，如果正，则替代；如果负，则为互补。由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，即使总替代关系为正，由于未剔除收入效应，仍有可能净替代效应为负，从而两种商品互补，因此该命题前半句错误。
对一个消费两种商品的消费者而言，其希克斯需求函数有如下性质
，所以，如果是的替代品，即
，那么
，即也是的替代品。
（2）再考虑总替代的情况，前半句是正确的，而后半句是错误的，理由如下：
由马歇尔需求函数求偏导得出的是总替代和总互补关系，
，可知总替代关系为正，两种商品为替代品。但考虑总替代品时，则不存在净替代效应的对称关系。例如，拟线性效用函数
，可知马歇尔需求函数为
，
。检验可知，商品1是商品2的替代品；而
，商品2不是商品1的替代品，也就是说总替代关系不一定是对称的。
10以需求函数为例，试分析为什么在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润。
答：利润最大化的一阶条件为
。
对于该需求函数，
，则
。
当需求曲线缺乏弹性时，有
，代入上式，得
。
又因为
，由于利润最大化要求，当需求曲线缺乏弹性时，，，不满足利润最大化的条件。因此，在需求曲线缺乏弹性的部分经营不可能产生最大利润。
11判断对错并简要说明理由：
（1）如果消费者是一个理性的效用最大化者，那么他对某种商品的斯拉茨基替代效应必定是负的。
（2）假设某消费者的效用函数是
，则他关于的需求对价格的交叉价格弹性为零。
答：（1）错误。理由如下：
对于严格凸的偏好，斯拉茨基替代效应必定是负的（如图3-5所示）。但是对于一个理性的消费者而言，他的偏好只需要满足下面三个条件：完备性，反省性和传递性。从这三个条件出发不能得出消费者的偏好就是严格凸的，所以对于一个具有非严格凸偏好的消费者，他的斯拉茨基替代效应可能为零（如图3-6所示）。
图3-5 凸偏好的斯拉茨基替代效应 图3-6 互补偏好的斯拉茨基替代效应
（2）正确。理由如下：
消费者的效用最大化问题为：
解上述最优化问题，得到商品1和2的马歇尔需求函数分别为：
则他关于的需求对价格的交叉价格弹性为：
12下面的说法对吗？为什么？
某个消费者将他的全部收入花在两种商品上，其中一种商品是吉芬商品。如果吉芬商品的价格上升，那么他对另外一种商品的需求必定下降。
答：这个说法正确，理由如下：
根据吉芬商品的定义，当吉芬商品的价格上升时，对吉芬商品的需求会增加，从而吉芬商品所占收入的份额会上升，进而另外一种商品所占收入的份额会下降，而这种商品的价格不变、收入不变，因此对该商品的需求必定会下降。具体证明如下：
假设消费者对这两种物品的需求分别为
和
，其中商品1是吉芬商品，则有如下预算约束恒等式：
①
①式两边关于价格求导，就有：
由于商品1是吉芬商品，所以
，从而：
这就说明商品2的需求随着商品1的价格的上涨而降低。
13令斯拉茨基公式中右端第一项
为
，叫做
与
的净替代效应。对于效用函数
，证明：
。
证明：（1）下面利用效用函数来证明：
由和预算约束
，得到、的需求函数：
由此可以得到间接效用函数：
从上式中可以反解出消费者的支出函数：
由谢泼特引理和的定义，得到
因此，
。
（2）本题的结论可以推广到
种商品的情况，即
，证明如下：
对于
次齐次函数
，对于任意正数
，满足：
关于求偏导，有：
令
，就有：
（齐次函数欧拉定理）
考虑希克斯需求函数
关于是零次齐次的，
，利用欧拉定理：
即：
因此：。
14如果观察到，一个消费者在
，
时，购买的商品1和2的数量为
，
；当价格变为
，
时，他的购买量为
，
。他的行为符合显示性偏好的弱公理吗？
答：消费者的行为符合显示性偏好弱公理。
显示偏好弱公理的含义：令是当价格向量为时消费者的选择，令是当价格为时消费者可以支付得起但实际上并没有选择的商品束，那么就被“显示出”偏好于，并且，若被“显示出”偏好于，那么就决不会被“显示出”偏好于。所以，消费者在
预算条件下选择了而不是，那不是由于不如，而一定是由于在的条件下买不起。用数学公式表达就是：如果，那么必有
。
因为
，所以根据显示偏好弱公理就必然有
，而后一个等式确实是成立的（
），因此消费者的行为符合显示性偏好的弱公理。
15设消费者的反需求函数为
，这里
，。假定政府开征消费税（从价税），因此，消费者支付的价格会从上升到
（这里，为税率）。证明：消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。
证明：如图3-7所示，征税前，消费者的剩余为：
征税后，消费者的剩余为：
他们所损失的消费者剩余为：
政府征税所获收入为：
因此，
，即消费者剩余的损失总是超过政府通过征税而获得的收入。
图3-7 征税对消费者的影响
16设一个消费者只消费两类商品，他在
元，元时购买了
，。现在，下降至8元，上升至6元。问该消费者的生活水平在价格变动后提高了还是降低了？为什么？
答：该消费者的生活水平在价格变动后至少不会降低，理由如下：
价格变化前，消费者的总支出为
；价格变化后消费者的预算线变为
，特别是价格变化后的预算线经过价格变化前的最优消费点（如图3-8所示），这说明消费者现在仍然可以消费得起价格变化前的最优消费束，所以对于追求效用最大化的消费者，他的境况至少和价格变化前一样好。
图3-8 价格变动后的预算线经过初始最优点