5.3　名校考研真题详解

【例5.1】市场上黄瓜价格元，西红柿价格元，张三的收入为50元，其效用函数为

的平方根。

（1）根据上述条件计算张三的最大效用；

（2）做出张三的无差异曲线和预算线的图，分析张三的最优消费组合，与（1）对比，说明其有何区别并说明理由。[中国人民大学2010研]

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解：（1）由题意得预算约束方程为。由效用函数得，

，边际替代率，可见边际替代率是随着的增加而增加的，所以不能根据消费者均衡条件去求效用最大化时的消费组合（最大化的二阶条件不满足），此时效用最大化的点只能在预算线上的两个端点处获得，在点处的效用为，在另外一个点的效用为，因此张三的最大效用是，最优消费组合为。

（2）张三的无差异曲线和预算线如图5-9所示，对应的无差异曲线凹向原点，最优选择点为点，此时张三效用水平为最大值。

图5-9  张三的无差异曲线和预算线

【例5.2】在一个竞争性的市场上，一个消费者消费两种商品，她的效用函数和面临的预算约束分别是

和。

（1）求该消费者的最优需求，假定她是一个效用最大化的消费者。

（2）解释在求解（1）时用到的拉格朗日乘子（Lagrange multiplier）的经济学意义。[中山大学2008研]

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解：（1）构造拉格朗日函数为。拉格朗日定理认为，最优选择必定满足以下三个一阶条件：

解得：，。

即假定消费者是一个效用最大化的消费者，则该消费者的最优选择是（20，10）。

（2）从经济学的角度来看，拉格朗日乘子代表当约束条件变动时，目标函数极值的变化。拉格朗日乘子就是效用函数在最优解处对收入的偏导数，也就是在最优解处增加一个单位收入带来的效用增加，或者说在最优解处由效用衡量收入的价值，称之为收入的边际效用。

拉格朗日乘子在经济学中被解释为影子价格，设定在某种约束下，在这里为收入的边际效用。