第8章　斯勒茨基方程

8.1　本章要点

●替代效应

●收入效应

●斯勒茨基方程

●希克斯替代效应

8.2　重难点解读

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本章通过运用斯勒茨基方程（Slutsky Equation）对替代效应和收入效应进行分解说明，进一步揭示需求法则。

一、价格变化对需求影响的斯勒茨基分解

1价格变化对需求影响的斯勒茨基分解

一种商品的价格发生变动时，会有两种效应产生：用一种商品来交换另一种商品的比率会发生变化；收入的实际购买力会发生变化。

替代效应（substitution effect）也称为补偿的需求变动（compensated demand），是由于两种商品之间交换比率的变化所引起某一种商品的需求变化，也就是上面所讲的第一种效应。

收入效应（income effect）是由于收入的实际购买力发生了变化而引起某一种商品的需求变化，也就是上面所讲的第二种效应。

图8-1  价格变化对需求影响的斯勒茨基分解

如图8-1所示，假定原来的预算线为，消费者在此预算约束下的最优选择为商品束。现在商品的价格下降，那么价格变化后的预算线变为，消费者现在的最优选择为商品束。下面利用斯勒茨基分解法来具体的看一下价格变化对需求影响的替代效应和收入效应：

第一步，让相对价格发生变动，同时调整货币收入使购买力保持不变，即经过原来的需求束画一条与价格变动后的预算线平行的辅助线，经过点，并且平行于。消费者在预算线下的最优选择为。那么斯勒茨基替代效应就是由到的需求的变化。

对于商品来说，价格变化的斯勒茨基替代效应是；

第二步，对购买力进行调整，同时使相对价格保持不变；也就是把预算线由平移到。这时消费者的最优选择由变为，此时的需求变化就是斯勒茨基收入效应。

对于商品来说，价格变化的斯勒茨基收入效应是；

斯勒茨基恒等式：

斯勒茨基恒等式的经济学意义是价格变化对需求影响的总效应等于斯勒茨基替代效应和斯勒茨基收入效应之和。

2．斯勒茨基分解的收入效应和替代效应的计算技巧

（1）计算出三种状态的三个需求量

初始价格，初始收入，计算商品1初始需求量。

变化后的价格，变化收入后收入为时，计算商品1需求量；的计算方法：先计算收入应变化量，然后，可正可负。

变化后的价格，初始收入，计算商品1最终需求量。

（2）计算替代效应和收入效应

替代效应，收入效应。

二、替代效应和收入效应的符号

替代效应的符号是非正的，其原因可以用显示偏好弱公理来解释。

如图8-2所示，原来的预算线为，转动后的预算线为。由于消费者在预算线为时，选择了点，由显示偏好知道，消费者对点的偏好胜过上的任何一点。当预算线为时，由显示偏好弱公理可知，消费者一定不会选择上的任何一点，即消费者的选择一定会在上。那么消费者选择的的消费量一定超过点的的消费量，即消费者对的需求量一定会增加。所以当的价格下降时对的需求一定会增加，即斯勒茨基替代效应一定是非正的。

图8-2  替代效应的非正性

需要注意的是，之所以说替代效应的符号是非正的，而不是说替代效应的符号是负的，是因为当偏好极为特殊（比如说完全互补的偏好等）时，替代效应为零。当然，一般情况下，替代效应的符号是负的。

根据所考察的商品是正常商品还是低档商品，收入效应可能为正，也可能为负。

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三、用变化率表示的斯勒茨基方程

将斯勒茨基恒等式两边都除以，同时令，就得到了斯勒茨基方程（Slutsky Equation）：

将上述的斯勒茨基方程写成微分形式就是：

其中，用变化率表示的替代效应为，用替代率表示的收入效应为

。

四、斯勒茨基方程与商品类型的划分

1正常商品

正常商品的需求是随着收入的增加而增加的，即，则收入效应就是负的，又由于替代效应是负的，即，所以总效应也是负的。也就是说，正常商品的需求总是随着价格的上升而下降。

2低档商品

低档商品的需求是随着收入的增加而减少，即，那么收入效应就是正的，但替代效应总是负的，即，所以总效应变化不确定，具体要看收入效应的绝对值和替代效应的绝对值大小的比较。

（1）普通低档商品

如果收入效应的绝对值小于替代效应的绝对值，那么总效应还是负的，这种商品就是普通低档商品，如图8-3（b）所示。

（2）吉芬商品

如果收入效应的绝对值大于替代效应的绝对值，那么总效应就是正的，这种商品就是吉芬商品，如图8-3（a）所示。

吉芬商品是一种特殊的低档商品。作为低档商品，吉芬商品的替代效应与价格呈反方向的变动，收入效应则与价格呈同方向的变动，如图8-3（a）所示。吉芬商品的特殊性就在于：它的收入效应的作用很大，以至于超过了替代效应的作用，从而使得总效应与价格呈同方向的变动。

图8-3  低档商品

五、需求法则（The Law of Demand）

如果一种商品（正常商品）的需求随着收入的增加而增加，那么这种商品的需求一定会随着价格的上升而下降（普通商品）。（即正常商品一定是普通商品）

这个结论可以直接从斯勒茨基方程中得到：如果收入增加时商品的需求也增加，那么考察的就是一种正常商品。而如果考察的是一种正常商品，那么，替代效应和收入效应就会相互加强，所以，价格上升必定会导致需求下降。

如果一种商品的需求随着收入的增加而减少，那么，这种商品的需求不一定随着价格的上升而上升。（这种商品可能是一般低档商品，也可能是吉芬商品。）

六、替代效应和收入效应的特例

1完全互补

完全互补的偏好只有收入效应，没有替代效应。完全互补情况下的斯勒茨基分解如图8-4所示。当绕着选定的点转动预算线时，新预算线上的最优选择与原先预算线上的最优选择完全相同。

图8-4  完全互补

2．完全替代

完全替代的偏好只有替代效应，没有收入效应。（这个结论是针对价格变化足够大会使得对于一种商品的需求由零变为大于零时的情况）。完全替代情况下的斯勒茨基分解如图8-5所示。

图8-5  完全替代

3．拟线性偏好

当偏好是拟线性时，收入变动不会引起商品1的需求变动（需求独立于收入，只取决于价格）。这意味着商品1的全部需求变动都归因于替代效应，收入效应等于零。

七、退税

该例子用来分析：向消费者征税汽油税（一种从量税），然后把这笔税收以所得税的方式返还给消费者，消费者的福利变动情况。通过分析，得出的结论是：消费者的境况变坏。证明如下：

如图8-6所示，横轴表示A商品，纵轴表示其他商品。政府对产品A征收从量税，使得A商品的价格从上升至，对应的消费者对A商品的消费从减少为。因此，通过征税从消费者那里得到的收入为：

令表示消费者在所有其他商品上的支出，并规定它的价格为1，那么最初的预算约束为：

实行退税计划后的预算约束为：

上式整理可得：

可以看出，在最初的预算约束下是可以支付得起的，但消费者却最终选择了。因此，如图8-6所示，这种税收政策使得消费者的福利水平下降。

图8-6  包含税收返还计划的征税

八、价格变化对需求影响的希克斯分解

希克斯分解与斯勒茨基分解的区别在于替代效应的不同——希克斯替代效应不是保持购买力不变而是保持效用不变（即在同一条无差异曲线上）。这在图形中的表现就是平行于价格变化后的预算线的辅助线的画法不同，希克斯分解中的那条辅助线是与原来的无差异曲线相切，而斯勒茨基分解中的辅助线是经过价格变化前的需求束。希克斯替代效应如图8-7所示。

图8-7  希克斯替代效应

按照希克斯分解定义的替代效应，斯勒茨基方程可以写成：

希克斯替代效应为负（严格来说，是非正的），即需求量的变动方向与价格变动的方向相反。证明如下：

令为按价格选择的需求束，令为按价格选择的需求束。由于消费者对于和无差异，所以其中任何一个需求束都不会被显示偏好于另一个需求束。

利用显示偏好的定义，这意味着以下两个不等式不成立：

由此，以下这两个不等式一定成立：

把这两个不等式相加，重新整理后有：

只让第一种商品的价格发生变化。因此，从而有。这个方程表明，需求数量的变动一定与价格变动的方向相反。

对于无限小的价格变动来说，希克斯替代和斯勒茨基替代是相等的。

九、补偿需求曲线

需求数量在如下三种不同的框架下随着价格的变化而变化的：收入保持不变（标准情形）；购买力保持不变（斯勒茨基效应）；效用保持不变（希克斯效应）。由此可产生三种不同的需求曲线：标准需求曲线、斯勒茨基需求曲线和希克斯需求曲线。

斯勒茨基需求曲线和希克斯需求曲线总是向下倾斜的。进一步，对于正常商品来说，普通需求曲线是向下倾斜的。但是，对吉芬商品的分析显示，在低档商品的情况下，普通需求曲线向上倾斜在理论上是可能的。