1.2　核心讲义

一、数系基础知识

（一）自然数系

1．自然数的定义

自然数是最简单的、也是人类最早发现和使用的“数”。自然数是一切其他数系逐步扩充并得以实现的基础。

（1）一个集合若不能与其任一真子集建立一个双射，则称该集合为有限集。

（2）称非空有限集合的基数为自然数。即非负整数，也就是是正整数和零。

（3）一切自然数组成的集合称作自然数集，记为N。

2．自然数的运算

（1）自然数的加法定义

①设非空有限集A，B，C，其各自的基数分别为：

，，，。

若C=A∪B，那么c称作a与b之和，记做c=a+b，a称作被加数，b称作加数，求和的运算称作加法。

②自然数的加法满足以下定律：

a．加法交换律：a+b=b+a。

b．加法结合律：（a+b）+c=a+（b+c）。

（2）自然数减法的定义

设a，b，c是自然数，若c=a+b，那么a称作c与b的差，记做a=c-b，c称作被减数，b称作减数，求差的运算称作减法。

（3）自然数乘法的定义

设b个等势集合A1，A2，…，Ab，其中任何两个集合的交集是空集。

若，，那么c称作a与b的积，记做c=ab，a称作被乘数，b称作乘数，求积的运算称作乘法。

自然数的乘法满足以下运算律：

①乘法交换律：ab= ba。

②乘法对加法的分配律：（a+b）c=ac+bc。

③乘法结合律：（ab）c=a（bc）。

（4）自然数的除法定义

设a，b，c是自然数，若a=bc，那么c称作a与b的商，记做c=或c=a÷b，a称作被除数，b称作除数，求商的运算称作除法。

3．自然数的序数理论

任何一个非空集合N的元素称作自然数，如果在这个集合里的某些元素之间有一个基本关系“后继”（用符号“⁺”表示），满足下面的公理：

（1）1∈N。即N中存在一个元素1。

（2）任给a∈N，有a⁺≠1。即1不是N中任何元素的后继。

（3）任给a∈N，则存在a⁺，有a⁺∈N。即对于N中的任何元素a，在N中存在一个后继a⁺。

（4）若a⁺=b⁺（a，b∈N），则a=b。即N中任何元素不能作为N中多于一个元素的后继。

（5）归纳公理　设N的一个子集M具有下列两个性质：

①1∈M。　  ②若a∈M，则a⁺∈M。

那么，M就含有一切自然数，即M=N。

4．自然数集的性质

（1）1是自然数中最小的数，即对于任何自然数a，有a≥1。

（2）（自然数集的离散性）在任意两个相继的自然数a与a⁺之间不存在自然数b，使a<b<a⁺。

（3）自然数集是有序集。

（4）自然数集是良序集。

（5）（阿基米德原理）设a，b为任意两个自然数，则存在自然数N，使得Na>b。

5．数学归纳法

（1）第一数学归纳法

设P（N）是一个含有自然数N的命题，若：

①P（1）成立。

②假设P（k）成立，则P（k+1）即P（k+）也成立。

那么，P（N）对任意自然数N都成立。

（2）第二数学归纳法

设P（N）是一个含有自然数N的命题，若：

①P（1）成立。

②假设P（m）对于所有适合m<k的自然数m成立，则P（k）成立。

那么，P（N）对任意自然数N都成立。

（二）整数系

1．整数的定义

在上定义一个关系R：

，

则R是一个等价关系。即R它具有自反性、对称性和传递性。

2．整数的运算

（1）整数加法的定义

整数称作整数与整数的和，即

。

求两个整数和的运算称作整数加法。

（2）整数乘法的定义

整数称作整数与整数的积，即

。

求两个整数积的运算称作整数乘法。

（3）整数减法的定义

为了定义减法，先证明下面的定理。

定理  对于，。存在唯一的。使

。

（4）整数除法的定义

对于，，，若=，则称作与的商，记做=，称作被除数，称作除数，求商的运算称作除法。

（5）整数的运算具备的运算律及性质

①加法具备的运算规律和性质：

a．交换律：+=+。

b．加法结合律：（+）+=+（+）。

c．存在零元：对整数加法来说，Z有零元存在。

d．存在负元素：对整数加法来说，Z中的每一个元素都有负元素存在。

e．在整数加减法运算中，减去一个整数等于加上这个整数的相反数。

②乘法运算具备的运算律及性质：

a．交换律：=。

b．结合律：=。

c．乘法对于加法的分配律：（+）=+。

d．存在单位元：在整数中存在，使得对于任意的整数，有=。

e．=（），

（）=，

（三）有理数系

1．有理数的定义

令，，

在中定义一个关系。由于R是等价关系，所以可以用关系R将分成等价类。关于R的等价类记做，称为一个有理数。而商集合称为有理数集。

有理数也称为分数，读做“分之”，其中称作分数的分子，b称作分数的分母。

2．有理数的运算

（1）有理数的加法定义

设和是两个有理数，那么有理数称作和的和，记做+=。求有理数和的运算称作有理数的加法。

（2）有理数的乘法定义

设和是两个有理数，那么有理数称作和的积，记做=。求有理数积的运算称作有理数的乘法。

（3）有理数的减法定义

若有理数，与满足关系式+=，那么称是和的差，记做=。求有理数差的运算称作有理数的减法。

（4）有理数的除法定义

若有理数，与满足关系式=，那么称是和的商，记做=。求有理数商的运算称作有理数的除法。

3．整数的运算具备的运算律及性质

（1）有理数的加法满足的运算律和性质：

①加法交换律：。

②加法结合律：。

③Q中存在唯一数（k是一个非零有理数），使得a+0=a。

④存在，使=0。称为的相反数。

（2）有理数的乘法满足的运算律和性质

①乘法交换律：。

②乘法结合律：。

③乘法对加法的分配律：。

④Q中存在数，使，有。

⑤，，存在，使。

（四）实数系

1．实数的定义

（1）极限

对于数列，，若存在，使得对于任意的有理数，存在自然数，当时，有

，则称数列以为极限，记做。

（2）基本列

对于有理数列，若对于任意的有理数，存在自然数，当，＞时，有，则称数列是基本列。

（3）实数

引进集合。令，令商集，则称R是实数集，称R中的元素为实数。

2．实数的运算

（1）实数加法的定义

设，，称由所决定的实数为与的和，表示为实数求和的运算叫实数的加法，记做+=。

（2）实数乘法的定义

设，，称由所决定的实数为与的积，表示为，实数求积的运算叫实数的乘法，记做=。

（3）实数减法的定义

若，，，+=，则称是与之差，实数求差的运算叫实数的减法，记做

=。

（4）实数除法的定义

若，，，，=，则称是与之商，实数求商的运算叫实数的除法，记做=。

（5）全体实数R的加法与乘法构成一个域

①R按照加法成为一个交换群：

a．当，时，。

b．满足交换律：若，，有+=+。

c．满足结合律：若，，，有。

d．存在零元，对于，有+=。

e．若，有负元，使+=。

②R中的非零元素全体按照乘法成为一个交换群：

a．若，，则。

b．满足交换律：若，，有=。

c．满足结合律：若，，，有（）=（）。

d．存在单位元，，有=。

e．若且，则有逆元素，使得。

③乘法与加法之间满足分配律，即若，，，那么，

。

3．实数集的性质

（1）实数集是一个数域。

（2）实数集是一个有序域。

（3）（阿基米德性质）对于任意两个正实数，，存在一个正整数N，使得。

（4）实数集具有稠密性。

（5）实数集具有连续性。注实数集与有理数集都具有稠密性，但连续性仅为实数集所有，这也是实数集与有理数集的本质区别。

（6）实数集为不可数集。

（五）复数系

1．复数的定义

复数是指能写成如下形式的数a+bi,这里a和b是实数，i是虚数单位（即-1开根）。在复数a+bi中，a称为复数的实部，b称为复数的虚部，i称为虚数单位。

2．复数的运算

（1）复数的加法定义

复数（a+c，b+d）称作复数（a，b）与（c，d）的和，记做

（a，b）+（c，d）=（a+c，b+d）。

（2）复数的乘法定义

复数（ac—bd，ad+bc）称作复数（a，b）与（c，d）的积，记做

（a，b）·（c，d）=（ac－bd，ad+bc）。

（3）复数的减法定义

满足条件（c，d）+（x，y）=（a，b）的复数（x，y），称作复数（a，b）与（c，d）的差，记做

（a，b）（c，d）=（x，y）。

（4）复数的除法定义

当复数（c，d）时，满足条件（c，d）·（x，y）=（a，b）的复数（x，y）称作复数（a，b）与（c，d）的商，记做。

（5）复数的乘法满足的运算律和性质

在复数集C中，对于上面定义的加法和乘法，容易证明：

①加法满足交换律和结合律。

②加法有零元（0，0），且对于任何复数（a，b）∈C，有加法负元（﹣a，﹣b），记做（﹣a，﹣b）=﹣（a，b）。

③乘法满足结合律和交换律。

④乘法有单位元（1，0），且对于任何复数（a，b）≠（0，0），（a，b）有乘法逆元。

⑤复数集在上面规定的加法运算与乘法运算下，其代数结构是域，常称之为复数域。

定理  设z是任意复数，当时，存在N个且仅有N个不同的复数，使。当=0时，只有一个复数使。

3．复数集的性质

（1）复数集是一个数域。

（2）复数集具有稠密性，即复平面上的任一区域里都有无限多个复数。

（3）复数在复平面上的分布是连续的。

（4） 在复数集内，开N次方运算总是可以实施的，任何非零复数有N个不相等的N次方根。

（5）复数集不是有序域。

二、函数

（一）函数的发展

1．运动、变量与曲线的数学描述，催生了函数思想，并把函数概念和方法置于数学的中心地位。

2．微积分的研究对象是函数，几何图形则成为函数的图像。

（二）函数概念的三种定义

1．欧拉关于函数的变量说定义

（1）变量说简介

①设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果变量y随着x的变化而变化，那么就说x是自变量，y是因变量，也称y是x的函数。

②x的取值范围称作函数的定义域，与x的值对应的y的值称作函数值，函数值的集合称作函数的值域。

（2）变量说评价

①函数定义的变量说是对函数的一个宏观的、整体的把握。

②但应该注意，变量说定义中的变量概念难以精确化。

③于是，就容易对“与是否为同一个函数”而产生误解。

④此外，对于常数函数（=1），x变了，y却不变，从字面上看就不是“随着自变量的变化而变化”了。

2．黎曼关于函数的对应说定义

（1）对应说简介

设A为非空实数集，如果存在一个对应规律f，对A中每个元素x，按照对应规f，在R中存在唯一的一个实数y与之对应，则称对应规律，是定义在A上的函数，表示为。集合A称为函数f的定义域，元素x所对应的y值称为x处的函数值，表示为。函数值的集合称为函数f的值域，表示为，即

，

（2）对应说评价

①它把函数看做是定义域到值域这两个实数集合之问的单值对应，突出地反映了变量之间的对应关系。

②函数的本质是变量之间的关系，函数的对应说能够微观地、明确地描述因变量是如何随着自变量的变化而变化的。

3．布尔巴基学派关于函数的关系说定义

（1）关系说简介

设f是集合X与集合Y的关系，即fX×Y。若还满足（x₁，y₁）∈f，（x₂，y₂）∈f，则y₁=y₂，那么称f是集合X到集合Y的函数。

（2）关系说评价

“关系说”将函数用集合论的语言加以描述，除集合论的概念外，没有使用其他未经定义的日常语言，因而是完全数学化的定义。

（三）初等函数

1．初等函数的定义

（1）由基本初等函数经过有限次的代数运算及有限次的函数复合所得到的函数称作初等函数。初等函数的一个重要特点是它能通过一个统一的代数式在定义域上表达出来。

（2）如果一个函数是用基本初等函数f₁（x）=x和f₂（x）=c经过有限次代数运算（加、减、乘、除、乘方、开方）所得到的初等函数，则该函数称作代数函数。不是代数函数的初等函数称作超越函数。

（3）可将代数函数细化：由和经过有限次加、减、乘、除四则运算所得到的代数函数称作有理函数；不是有理函数的代数函数称作无理函数。

（4）在有理函数中，如果仅用到加、减、乘四则运算所得的函数称作有理整函数，非有理整函数（用了除数）的有理函数叫有理分函数。

2．初等函数的定义域和值域

（1）函数的定义域

函数的定义域就是使函数有意义的自变量的取值范围。确定初等函数定义域的依据：

①若是整式，则定义域为全体实数。

②若是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数。

③若是偶次根式，则定义域为使被开方式为非负的全体实数。

④函数=的定义域是。

（2）函数的值域

函数的值域就是函数值组成的集合，这个集合是由定义域内的自变量通过对应关系而得到的函数值的全体。

一些常用的求函数值域的方法：

①观察法。通过对函数定义域和性质的观察，再结合对函数解析式的分析，可以求得函数的值域。

②图像法。

③配方法。使用配方法求函数的值域时，要注意等号成立的条件，其理论依据是：

a．对任意的，恒成立；

b．对任意的，恒成立；

c．若，则。

④反函数法。如果函数的反函数存在，由函数解得，求函数的定义域，以此确定函数的值域。

⑤不等式法

⑥三角代换法。把求代数函数的值域化为求三角函数的值域，在代换时必须使三角函数的值域与被代换变量的取值范围一致。

⑦判别式法。如果函数可化为关于x的二次方程，即形如

，

由于定义域是非空的，所以x一定存在，那么当时，方程有实数解，则判别式，从而得到y的变化范围；当=0时，把y的值代回原来的函数解析式中可得x的值，如果x是定义域中的值，那么相应的y是值域中的值，应补充在值域中，否则相反，由此可以求得函数的值域。

（四）函数的性质

1．奇偶性

（1）对于函数在定义域内的任意一个x值，如果都有成立，则函数称作奇函数；

（2）对于函数在定义域内的任意一个x值，如果都有成立，则称为偶函数。

（3）奇函数关于原点中心对称；偶函数关于y轴对称。如果没有这样的对称性，就既不是奇函数，也不是偶函数。

（4）奇偶函数的规律：

①两个奇（或偶）函数的代数和仍是奇（或偶）函数。

②两个奇（或偶）函数的积是偶函数；一个奇函数和一个偶函数的积是奇函数。

③如果奇函数的反函数存在，且定义域在对称于原点的数集上，那么这个反函数也是奇函数。

④奇（或偶）函数的倒数函数（分母不为零）仍为奇（偶）函数。

⑤设函数是函数和的复合函数，定义在对称于原点的数集S上：

a．若是奇函数，则当是奇（或偶）函数时，复合函数是奇（或偶）函数。

b．若是偶函数，则不论f（u）是奇函数还是偶函数，复合函数y=都是偶函数。

2．单调性

（1）对于函数f（x）在给定区间上的自变量x的任意两个值，，如果时，都有（或）成立，那么函数称作这个区间上的单调递增函数（或单调递减函数）。

（2）单调递增函数和单调递减函数统称为单调函数，这个区间称为单调区间。

（3）如果时，都有（或）成立，那么函数称作这个区间上的严格单调递增函数（或严格单调递减函数）。

3．周期性

设是定义在数集M上的函数，若存在常数，对于任意，有，且总成立，则称是数集M上的周期函数。常数T称为的一个周期。

4．有界性

（1）设M是函数定义域的一个子区间。若存在一个常数A，对于任意，都有A，则说在M有上界，A是它的一个上界。

（2）若存在一个常数A，对于任意，都有A，则说在M有下界，A是它的一个下界。

（3）既有上界又有下界的函数称作有界函数，否则称作无界函数。如=在实数集R上有界。

三、多项式与因式分解

（一）多项式

1．一元多项式

（1）设n是一个非负整数，形如的多项式，当时，称作一元n次多项式。所有的系数（除外）都是0的多项式，称作零次多项式。

（2）系数全是0的多项式，称作零多项式。零多项式是唯一不定义次数的多项式。

2．多元多项式

（1）设是非负整数，形如的多项式，称作多元多项式；

（2）式中每个单项式称作多项式的项；

（3）每一项指数的和分别称作各项的次数；

（4）所有各项的次数中最大的数，称作这个多项式的次数。

（二）多项式的因式分解

在给定的数域上，把一个多项式分解为若干个不可约多项式（或称既约多项式）的积的形式，称作多项式的因式分解。

1．用待定系数法分解因式

按照已知条件把原式假设为若干个因式的乘积，使这些因式的乘积与原式组成恒等式，然后利用多项式恒等定理求出各待定系数的值，这种分解因式的方法即为待定系数法。

2．用余弦定理和综合除法分解因式

多项式有因式的充要条件是，a就是的一个有理根。若求出的有理根，就能得到的一次因式。

3．利用行列式分解因式

被分解的多项式有时可表示成适当的行列式，根据行列式的性质，对行列式进行推演，逐步化成因式乘积的形式。

四、不等式

（一）不等式的性质

1．对逆性：如果x>y，那么y<x；如果y<x，那么x>y。

2．传递性：如果x>y，y>z，那么x>z。

3．加法单调性：如果x>y，而2为任意实数或整式，那么x+z>y+z。

4．乘法单调性：如果x>y，z>0，那么xz>yz；如果x>y，z<0，那么xz<yz。

5．相加法则：如果x>y，z>w，那么x+z>y+w。

6．相减法则：如果x>y，z<w，那么x-z>y-ω。

7．相乘法则：如果x>y>0，z>w>0，那么xz>yw。

8．相除法则：如果x>y，z>0，那么；如果x>y，z<0，那么＜ 。

9．倒数法则：如果x>y，且x，y同号，那么＜；如果x>y，且x，y异号，那么＞。

10．乘方法则：如果x>y>0，那么（N为正整数）。

11．开方法则：如果x>y>0，那么（N为正整数）。

12．。

13．。

（二）不等式的证明

1．比较法

比较法是证明不等式的最基本、最重要的方法之一，它是两个实数大小顺序和运算性质的直接应用。比较法可分为差值比较法（简称为求差法）和商值比较法（简称为求商法）。

2．综合法

综合法利用已知事实（已知条件、重要不等式或已证明的不等式）作为基础，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后推出所要证明的不等式。

3．分析法

分析法是指从需证的不等式出发，分析这个不等式成立的充分条件，进而转化为判定该充分条件是否具备。

4．反证法

有些不等式的证明，从正面不容易说清楚，可以从正难则反的角度考虑，即要证明不等式A>B，先假设A≤B，由题设及其他性质推出矛盾，从而肯定A>B。

5．换元法

换元法是对一些结构比较复杂，变量较多，变量之间的关系不甚明了的不等式，证明时可引入一个或多个变量进行代换，以便简化原有的结构或实现某种转化与变通，给证明带来新的启迪的方法。

6．放缩法

放缩法是指如果证明不等式A<B成立不太容易，可借助一个或多个中间变量，通过适当的放大或缩小来达到证明不等式的方法。

五、方程

（一）方程的定义及分类

1．方程的定义

（1）含有未知数的条件等式，称之为方程。

满足一定条件下的等式，称为条件等式。方程是条件等式，解方程就是求出能满足等式的条件（未知数的值）。

（2）方程的基本形式为。若存在使得成立，则称是方程的解。

（3）方程的几何意义是的函数图像与x轴（即直线y=0）的交点，也可以看成两条曲线：

的交点的横坐标。

2．方程的分类

对于方程，将其按照的类型对其进行分类。若是代数函数，则称为代数方程；若是超越函数，则称为超越方程。具体分类如下：

（二）整式方程的解法

1．一元三次方程的解法（略）

（1）一元三次方程的根与系数的关系。

=，=，=。

（2）卡尔丹判别法

①令，则：

②当＞0时，方程有一个实根，一对共轭复根；

③当=0时，方程有三个实根，其中有一个二重根；

④当＜0时，方程有三个不相等的实根。

2．一元四次方程的解法（略）

3．高次方程

（1）如果是x的整式，那么方程称作整式方程。当中x的最高次数大于2时，此方程称为高次方程。高次方程的一般形式为：

（）。

（2）n次方程根与系数的关系：

。

（三）方程组

1．方程组的初等变换

（1）解线性方程组

该题用消元法即可求出，，。

（2）在解答过程中，实际上是对方程组施行了三种变换：

①交换两个方程的位置。

②用一个不等于零的数乘某一个方程。

③用一个非零数乘某一个方程后加到另一个方程。

2．一般线性方程组的系数和常数项的矩阵排列

（1）一般的线性方程组的形式如下：

（2）一般方程组的系数以及它的常数项可以排成以下两个表：

①由线性方程组的系数组成的矩阵，称作线性方程组的系数矩阵，如下：

②由线性方程组的系数和常数项组成的矩阵，称为线性方程组的增广矩阵，如下：

3．比照线性方程组的初等变换引入矩阵的初等变换的概念。

（1）矩阵的行（列）初等变换是指对一个矩阵施行下列变换：

①交换矩阵的两行（列）。

②用一个不等于零的数乘矩阵的某一行（列）。

③用某一数乘矩阵的某一行（列）后加到另一行（列）。

（2）定理  设A是一个m行n列的矩阵，且

（3）则通过三种行初等变换和第一种列初等变换能把A化为以下形式：

这里，，。

（4）其实以上的矩阵A就是一般线性方程组的系数矩阵，那么同样可以把一般线性方程组的增广矩阵化简为：

（5）与它对应的线性方程组如下：

这里，，，是1，2，，的一个排列。

六、数列

（一）数列的定义和表示方法

（1）定义在正整数集上的函数构成数列。

有限数列的定义域是，无限数列的定义域是全体正整数。无限数列可以表示为，。

（2）关于数列概念应注意以下几点：

①数列具有严格的顺序性，如果将数列中的两个不相同的项进行互换，那么得到的数列与原数列是不相同的数列。

②数列必须具有一定的顺序，不能把杂乱无章地堆积起来的数称为数列。

③集合与数列不完全是一回事，例如表示两个不同元素的集合，不是数列。但任意集合中的元素可以排成多种有限或无限数列。

④数列不等于序列。数列常记为或，简记为。

a．其中称为数列的首项，称为数列的第n项。

b．当n是指任意自然数时，又称为该数列的通项，解析式=为数列的通项公式。

c．数列的通项公式可以用一个式子表示，也可以用几个式子表示。

d．与函数不一定有解析式一样，无限数列的通项也不一定能够用简单的解析表达式表达。例如，无理数π的近似值数列就无法用解析式写出其通项：

3，3.1，3.14，3.141，3.1415，3.14159，…。

⑤数列的项与其序号之间的对应关系可以用公式表示，也可以用语言、表格或图像给出。

（二）中学数学里的数列及其求和

1．中学数学中的数列

（1）中学数学里的数列内容起着承前启后的作用。

（2）中学数学中的数列内容包括许多重要的应用。

（3）在信息时代，数列知识密切地与计算机技术相结合。

2．数列求和的方法

对于数列，作部分和

 （），

得数列，称为数列的前n项和，于是有关系式：

有关数列的一些具体运算的问题：

（1）与通项有关的问题

（2）与前n项和有关的问题

①分组求和法

②裂项相消法

③错位相消法

④倒序相加法

（3）与和有关的问题

数列和有如下关系式：

，。

（三）等差数列与等比数列及其应用

1．等差数列与等比数列的概念

（1）等差数列

如果数列满足

（为常数），

则称数列为等差数列，d为它的公差。

（2）等比数列

如果数列满足

（为常数），

则称数列为等比数列，q为它的公比。

（3）等差数列等比数列的运算规律

①等差数列当且仅当公差为零时是常数列，等比数列当且仅当公比为1时是常数列。因此，只有常数列既是等差数列，又是等比数列。

②等差数列的通项公式为，

其中d为公差。一般地，有。

③对于公比为q的等比数列的通项公式：当时，。

一般地，有。

④如果用与分别表示等差数列与等比数列的前n项和，那么按照这两个数列的组成规律，可得

，

⑤等差数列与等比数列各自的通项公式与前n项和公式是联系和的关系式。

⑥利用数列的通项公式与前n项的和可以判断其是否属于等差数列与等比数列。

（4）其他性质

①如果是等差数列，，且，则。

②如果是等差数列，正整数，m，也成等差数列，则，，必成等差数列。

③如果是等差数列的前n项之和，则也成等差数列。

④如果是等差数列，当d>0时，是递增数列；当d=0时，是常数列；当d<0时，是递减数列。

⑤如果是等比数列，，且，则 。

⑥如果是等比数列，正整数，m，成等差数列，则，，必成等比数列。

⑦如果是等比数列的前n项之和，则也成等比数列。

⑧当q=1时，等比数列是常数列；当＞0，＞1或＜0,0＜＜1时，是递增数列；当＞0，0＜＜1或＜0,＞1时，是递减数列；当q<0时，是摆动数列。

⑨等差数列与等比数列的关系：

a．是等差数列（＞0，1）是等比数列；

b．是正项等比数列是等差数列；

c．既是等差数列又是等比数列是各项不为零的常数列。