第3章 地应力及其测量
3.1 复习笔记
【知识框架】
【重点难点归纳】
一、概论
1．地应力测量的必要性
（1）地应力是存在于地层中的未受工程扰动的天然应力，又称岩体初始应力、绝对应力或原岩应力。
（2）地应力测量是确定工程岩体力学属性、进行围岩稳定性分析、实现岩石工程开挖设计和决策科学化的必要前提条件。
（3）为了对各种岩石工程进行科学合理的开挖设计和施工，就必须对影响工程稳定性的各种因素进行充分调查。
（4）由于各种岩石开挖体的复杂性和形状多样性，利用经典力学理论解析的方法进行工程稳定性的分析和计算是不可能的。
（5）地应力状态对地震预报，区域地壳稳定性评价、油田油井的稳定性、核废料储存、岩爆、煤和瓦斯突出的研究及地球动力学的研究等也具有重要意义。
（6）重力作用和构造运动是引起地应力的主要原因。而地应力大小和方向不可能通过数学计算或模型分析的方法获得。
2．地应力的成因
产生地应力的原因是十分复杂的，实测和理论分析表明，地应力的形成主要与地球的各种动力运动过程有关。
（1）大陆板块边界受压引起的应力场；
（2）地幔热对流引起的应力场；
（3）由地心引力引起的应力场；
（4）岩浆侵入引起的应力场；
（5）地温梯度引起的应力场；
（6）地表剥蚀产生的应力场。
3．地应力分布的一些基本规律
通过理论研究，地质调查和大量的地应力测量资料的分析研究，已初步认识到浅部地壳应力分布的一些基本规律。
（1）地应力是一个具有相对稳定性的非稳定应力场，它是时间和空间的函数
地应力在绝大部分地区是以水平应力为主的三向不等压应力场。
（2）实测垂直应力基本等于上覆岩层的重量。
对全世界实测垂直应力σν的统计资料的分析表明，在一定的深度范围内，σν呈线性增长，大致相当于按平均容重7等于27kN／m3计算出来的重力γH。
（3）水平应力普遍大于垂直应力
实测资料表明，在绝大多数（几乎所有）地区均有两个主应力位于水平或接近水平的平面内，其与水平面的夹角一般不大于30°，最大水平主应力
普遍大于垂直应力
与σν之比值一股为0.5～5.5，在很多情况下比值大于2。
（4）平均水平应力与垂直应力的比值随深度增加而减小，但在不同地区，变化的速度很不相同。
（5）最大水平主应力和最小水平主应力也随深度呈线性增长关系
根据实测结果给出了芬诺斯堪的亚古陆最大水平主应力和最小水平主应力随深度变化的线性方程：
最大水平主应力
最小水平主应力
式中，H为深度（m）。
（6）最大水平主应力和最小水平主应力之值一般相差较大，显示出很强的方向性
一般为0.2～0.8，多数情况下为0.4～0.8。
（7）地应力的上述分布规律还会受到地形、地表剥蚀、风化、岩体结构特征，岩体力学性质、温度，地下水等因素的影响，特别是地形和断层的扰动影响最大
一般来说，谷底是应力集中的部位，越靠近谷底应力集中越明显。最大主应力在谷底或河床中心近于水平，而在两岸岸坡则向谷底或河床倾斜，并大致与坡面平行。
（8）40多年来在原位地应力测量方面所取得的丰富的实测资料表明，中国大陆地应力状态有明显的分区特点，一般西部地区地应力值大于东部地区。
4．地应力测量的基本原理和方法
测量原始地应力就是确定存在于拟开挖岩体及其周围区域的未受扰动的三维应力状态，这种测量通常是通过一点一点的量测来完成的。
图3-1-1 岩体中任一点三维应力状态示意图
（1）根据测量手段的不同，将在实际测量中使用过的测量方法分为五大类：
①构造法；②变形法；③电磁法；④地震法；⑤放射性法。
（2）根据测量原理的不同分为：
①应力恢复法；②应力解除法；③应变恢复法；④应变解除法；⑤水压致裂法；⑥声发射法；⑦x射线法；⑧重力法。
（3）依据测量基本原理的不同，可将测量方法分为：
①直接测量法
直接测量法是由测量仪器直接测量和记录各种应力量，如补偿应力、恢复应力、平衡应力，并由这些应力量和原岩应力的相互关系，通过计算获得原岩应力值。
②间接测量法
间接测量法不是直接测量应力量，而是借助某些传感元件或某些介质，测量和记录岩体中某些与应力有关的间接物理量的变化，然后由测得的间接物理量的变化，通过已知的公式计算岩体中的应力值。
二、直接测量法
1．扁千斤顶法
扁千斤顶又称“压力枕”，由两块薄钢板沿周边焊接在一起而成。在周边处有一个油压人口和一个出气阀。
测量步骤如下：
（1）在准备测量应力的岩石表面，安装两个测量柱，并用微米表测量两柱之问的距离。
（2）在与两测量柱对称的中间位置向岩体内开挖一个垂直于测量柱连线的扁槽，槽的大小、形状和厚度需和扁千斤顶相一致。由于扁槽的开挖，造成局部应力释放并引起测量柱之间距离的变化，测量并记录这一变化。
（3）将扁千斤顶完全塞入槽内，必要时需注浆将扁千斤顶和岩石胶结在一起。然后用电动或手动液压泵向其加压。随着压力的增加，两测量柱之间的距离也增加。当两测量柱之间的距离恢复到扁槽开挖前的大小时，停止加压，记录下此时扁千斤顶中压力。该压力称为“平衡应力”或“补偿应力”，等于扁槽开挖前表面岩体中垂直于扁千斤顶方向，即平行于两测量柱连线方向的应力。
2．刚性包体应力计法
（1）刚性包体应力计的主要组成部分是一个由钢、铜合金或其他硬质金属材料制成的空心圆柱，在其中心部位有一个压力传感元件。
（2）测量时首先在测点打一钻孔，然后将该圆柱挤压进钻孔中，以使圆柱和钻孔壁保持紧密接触。
（3）理论分析表明，位于一个无限体中的刚性包体，当周围岩体中的应力发生变化时，在刚性包体中会产生一个均匀分布的应力场，该应力场的大小和岩体巾的应力变化之间存在一定的比例关系。设在岩体中的χ方向有一个应力变化σχ，那么在刚性包体中的χ方向会产生应力
，并且
（3-1-1）
式中，E，E′分别为岩体和刚性包体的弹性模量；v，v′分别为岩体和刚性包体的泊松比。
图3-1-2 梅（May）应力计
（4）刚性包体应力计具有很高的稳定性，因而可用于对现场应力变化进行长期监测。然而通常只能测量垂直于钻孔平面的单向或双向应力变化情况，而不能用于测量原岩应力。
3．水压致裂法
（1）测量原理
①从弹性力学理论可知，当一个位于无限体中的钻孔受到无穷远处二维应力场（σ1，σ2）的作用时，离开钻孔端部一定距离的部位处于平面应变状态。在这些部位，钻孔周边的应力为
（3-1-2）
（3-1-3）
式中，σθ和σr，分别为钻孔周边的切向应力和径向应力；θ为周边一点与σ1轴的夹角。由（3-1-2）式可知，当θ=0°时，σθ取得极小值，此时
（3-1-4）
②如果采用图3-1-3所示的水压致裂系统将钻孔某段封隔起来，并向该段钻孔注入高压水，当水压超过3σ2-σ1和岩石抗拉强度T之和后，在θ=0°处，也即σ1所在方位将发生孔壁开裂。设钻孔壁发生初始开裂时的水压为Pi，则有
（3-1-5）
③如果继续向封隔段注入高压水，使裂隙进一步扩展，当裂隙深度达到3倍钻孔直径时，此处已接近原岩应力状态，停止加压，保持压力恒定，将该恒定压力记为Ps，则
图3-1-3 水压致裂应力测量原理
由图3-1-3可见，Ps应和原岩应力σ2。相平衡，即
（3-1-6）
④由（3-1-5）式和（3-1-6）式，只要测出岩石抗拉强度T，即可由Pi和Ps求出σ1和σ2。这样σ1和σ2的大小和方向就全部确定了。
在钻孔中存在裂隙水的情况下，如封隔段处的裂隙水压力为P0，则（3-1-5）式变为
（3-1-7）
⑤根据（3-1-6）式和（3-1-7）式求σ1和σ2，需要知道封隔段岩石的抗拉强度，这往往是很困难的。为了克服这一困难，在水压致裂试验中增加一个环节，即在初始裂隙产生后，将水压卸除，使裂隙闭合，然后再重新向封隔段加压，使裂隙重新打开，记裂隙重开时的压力为Pr，则有
（3-1-8）
⑥这样，由（3-1-6）式和（3-1-8）式求σ1和σ2就无需知道岩石的抗拉强度。因此，由水压致裂法测量原岩应力将不涉及岩石的物理力学性质，而完全由测量和记录的压力值来决定。
（2）测量步骤
①打钻孔到准备测量应力的部位，并将钻孔中待加压段用封隔器密封起来，钻孔直径与所选用的封隔器的直径相一致，有38mm，51mm，76mm，91mm，110mm，130nun等几种。封隔器一般是充压膨胀式的，充压可用液体，也可用气体。
②向两个封隔器的隔离段注射高压水，不断加大水压，直至孔壁出现开裂，获得初始开裂压力Pi；然后继续施加水压以扩张裂隙，当裂隙扩张至3倍直径深度时，关闭高水压系统，保持水压恒定，此时的应力称为关闭压力，记为Ps；最后卸压，使裂隙闭合。给封隔器加压和给封闭段注射高压水可共用一个液压回路。
③重新向密封段注射高压水，使裂隙重新打开并记下裂隙重开时的压力Pr和随后的恒定关闭压力Ps。这种卸压重新加压的过程重复两三次，以提高测试数据的准确性。Pr和Ps同样由压力一时间曲线和流量时间曲线确定。
④将封隔器完全卸压，连同加压管等全部设备从钻孔中取出。
⑤测量水压致裂裂隙和钻孔试验段天然节理、裂隙的位置、方向和大小，测量可以采用井下摄像、钻孔扫描、井下光学望远镜或印模器等。一般情况下，水压致裂裂隙为一组径向相对的纵向裂隙，很容易辨认出来。
图3-1-4 水压致裂法试验压力时间、流量时间曲线图
（3）基本评价
①水压致裂测量结果只能确定垂直于钻孔平面内的最大主应力和最小主应力的大小和方向，所以从原理上讲，它是一种二维应力测量方法。
②水压致裂法认为初始开裂发生在钻孔壁切向应力最小的部位，即平行于最大主应力的方向，这是基于岩石为连续、均质和各向同性的假设。
③水压致裂法的突出优点是能测量深部应力，已见报道的最大测深为5000m，这是其他方法所不能做到的。
4．声发射法
（1）测试原理
①材料在受到外荷载作用时，其内部储存的应变能快速释放产生弹性波，发生声响，称为声发射。
②凯泽发现多晶金属的应力从其历史最高水平释放后，再重新加载，当应力未达到先前最大应力值时，很少有声发射产生，而当应力达到和超过历史最高水平后，则大量产生声发射，这一现象叫做凯泽效应。从很少产生声发射到大量产生声发射的转折点称为凯泽点，该点对应的应力即为材料先前受到的最大应力。
③凯泽效应为测量岩石应力提供了一个途径，即如果从原岩中取回定向的岩石试件，通过对加工的不同方向的岩石试件进行加载声发射试验，测定凯泽点，即可找出每个试件以前所受的最大应力，并进而求出取样点的原始（历史）三维应力状态。
（2）声发射测试
①将试件放在单压缩试验机上加压，并同时监测加压过程中从试件中产生的声发射现象。
②在该系统中，两个压电换能器（声发射接受探头）固定在试件上、下部，用以将岩石试件在受压过程中产生的弹性波转换成电信号。
③该信号经放大、鉴别之后送入定区检测单元，定区检测是检测两个探头之间的特定区域里的声发射信号，区域外的信号被认为是噪声而不被接受。
④定区检测单元输出的信号送入计数控制单元，计数控制单元将规定的采样时间间隔内的声发射模拟量和数字量（事件数和振铃数）分别送到记录仪或显示器绘图、显示或打印。
三、间接测量法
1．概述
（1）全应力解除法（套孔应力解除法）
全应力解除法即是使测点岩体完全脱离地应力作用的方法。通常采用套钻的方法实现套孔岩芯的完全应力解除，因而又称套孔（或套芯、套钻）应力解除法。套孔应力解除法是发展时间最长，技术比较成熟的一种地应力测量方法，简称应力解除法。
目前，应力解除法已形成一套标准的测量程序，具体步骤如下（见图3-1-5）：
图3-1-5 应力解除法测量步骤示意图
①从岩体表面，一般是从地下巷道、隧道、峒室或其他开挖体的表面向岩体内部打大孔，直至需要测量岩体应力的部位。大孔直径为下一步即将打的用于安装探头的小孔直径的3倍以上，小孔直径一般为36～38mm，因此大孔直径一般为130～150mm。大孔深度为巷道，隧道或已开挖峒室跨度的2.5倍以上，从而保证测点是未受岩体开挖扰动的原岩应力区。
②从大孔底打同心小孔，供安装探头用，小孔直径由所选用的探头直径决定，一般为36～38mm。小孔深度一般为孔径的10倍左右，从而保证小孔中央部位处于平面应变状态。小孔打完后需放水冲洗小孔，保证小孔中没有钻屑和其他杂物。为此，钻孔需上倾1°～3°。
③用一套专用装置将测量探头安装（固定或胶结）到小孔中央部位。
④用第一步打大孔用的薄壁钻头继续延深大孔，从而使小孔周围岩芯实现应力解除。由于应力解除引起的小孔变形或应变由包括测试探头在内的量测系统测定并通过记录仪器记录下来。根据测得的小孔变形或应变通过有关公式即可求出小孔周围的原岩应力状态。
（2）局部应力解除法
和套孔应力解除法的全应力解除不同，局部应力解除法只进行测点的部分应力解除。现介绍在实际测量中较多使用过的3种局部应力解除方法。
①平行钻孔法；②中心钻孔法；③钻孔局部壁面应力解除法。
（3）松弛应变测量法
①差应变曲线分析法；②非弹性应变恢复法。
（4）孔壁崩落测量法
在坚固的石英岩和砾岩中普遍存在孔壁破碎的现象，并具有优势方向崩落的趋势。这种崩落是压应力作用的结果，并且横截面上崩落椭圆的长轴垂直于最大水平主应力的方向。这种现象是由于孔壁附近应力集中而产生的剪切破裂，其崩落方向与区域最小水平主应力方向一致。
（5）地球物理探测法
①声波观测法
从20世纪60年代初开始，声波法即用于测量岩体中的应力状态。这种方法是基于这样的现象，即声波特别是纵波的传播速度和振幅随岩体中的应力状态而定量地变化。
②超声波谱法
超声波谱法依据的物理现象是：当岩石受到超声剪切波的作用时将成为双折射性的，其双折射率是应力的函数。
2．孔径变形法
（1）孔径变形测量技术
孔径变形法是通过测量应力解除过程中钻孔直径的变化而计算出垂直于钻孔轴线的平面内的应力状态，并可通过三个互不平行钻孔的测量确定一点的三维应力状态。
（2）孔径变形测量应力计算原理由应力解除过程中测得的孔径变形计算原岩应力场涉及下列基本公式。
①三维应力场的转轴公式；
②孔径变形和三维应力分量之间的关系式；
③垂直于钻孔轴线的平面内的应力状态求解式；
④测点岩石弹性模量和泊松比计算公式。
3．孔底应变法
（1）孔底应变测量技术
CSIR门塞式孔底应变计（图3-1-6）的主体是一个橡胶质的圆柱体，其端部粘贴着三支电阻应变片，相互间隔45°，组成一个直角应变花。橡胶圆柱外面有一个硬塑料制的外壳，应变片的导线通过插头连接到应变测量仪器上。该应变计适用于直径大于36mm的钻孔。
测量步骤如下：
①将孔底磨平打光。
②将应变计端部涂上胶结剂，并用专门工具送到孔底，施加压力将应变计端部和孔底挤压在一起，直到胶结剂固化为止，这样应变片也就粘贴在孔底岩石上了。记录应变片在孔底的方位。
图3-1-6 CSIR门塞式应变计示意图
③将应变计导线连接到应变测量仪器上，记录原始应变读数（一般需调零）。
④进行套孔应力解除，解除完后再测读一次应变数。根据应力解除前后三支应变片的读数变化即可求出孔底平面的应力状态。孔底平面的应力状态和周围原岩应力状态的关系还没有理论解，只能通过试验或数值分析方法来求得。
（2）孔底应变计计算公式
由CSIR门塞式孔底应变计测得的三个应变值
（0，45，90）代表该应变
片与x轴的夹角），那么由下列公式即可求出孔底平面上在未套孔前的应力状态，
（3-1-9）
（3-1-10）
图3-1-7 半球状孔底应变计应变片布置图
（3-1-11）
式中，E，ν，G分别为岩石的弹性模量、泊松比和剪切模量。
这里的
并非原岩应力场，而是孔底平面上经过开挖扰动的次生应力场。它们可以由下列公式和原岩应力场的六个应力分量
联系起来，
（3-1-12）
（3-1-13）
（3-1-14）
其中，a，b，c，d4个系数没有理论解，只有通过试验或数值分析获得。因此不同的研究者给出了不同的值，古德曼（E．R．Goodman）给出的值是
4．孔壁应变法
（1）孔壁应变测量技术
在三维应力场作用下，一个无限体中的钻孔表面及周围的应力分布状态可以由现代弹性理论给出精确解。通过应力解除测量钻孔表面的应变即可求出钻孔表面的应力并进而精确地计算出原岩应力的状态。南非CSIR三轴孔壁应变计就是根据这个原理研制出来的［27］。
测量原理：
①CSIR三轴孔壁应变计的主体是三个测量活塞，直径约为1.5cm的活塞头是由橡胶类物质制造的，端部为圆弧状，其弧度和钻孔弧度相一致，以便和钻孔保持紧密接触。
②在端部表面粘贴4支电阻应变片，组成一个相互间隔45°的圆周应变花。
③三个活塞也即三组应变花位于同一圆周上120°等间距分布。
④其外壳由前后两部分组成。在前外壳端部有一圆槽，上贴一支应变片，后外壳端部有连接14根电阻应变片导线的插头（图3-1-8）。
⑤使用时首先将一个直径约1.2cm，厚0.8cm的岩石圆片胶结在前壳端部的应变片上，供温度补偿用；然后将三个活塞头涂上胶结剂，用专门工具将应变剂送入钻孔中测点部位；再启动风动压力，将活塞推出，使其端部和钻孔壁保持紧密接触，直到胶结固化为止；最后进行套孔应力解除。
⑥在应力解除前后各测一次应变读数，根据12支应变片的读数变化值来计算应力值。一个单孔应力测量即可确定测点的三维应力大小和方向。CSIR孔壁应变计的适用孔径为36～38mm。
图3-1-8 CSIR三轴孔壁应变计
（2）孔壁应变测量应力计算原理
①钻孔围岩应力分布公式
一个无限体中的钻孔，受到无穷远处的三维应力场
的作用
时，孔边围岩应力分布公式为（图3-1-9）
（3-1-15）
（3-1-16）
（3-1-17）
图3-1-9 三维钻孔围岩应力分布状态图
（3-1-18）
（3-1-19）
（3-1-20）
在上述公式中，原岩应力采用的是直角坐标系，孔边的围岩应力状态采用柱坐标系，柱坐标系的z轴和直角坐标系的z轴相一致，柱坐标系的θ角从x轴逆时针旋转计数为正。
②孔壁应变和三维应力分量之间的关系式
a．孔壁为平面应力状态，只有
三个应力分量，每个电阻应变花的4支应变片所测应变值
即
和它们的关系式为（图3-1-10）
（3-1-21）
（3-1-22）
（3-1-23）
式中，
分别是孔壁周向、轴向和与钻孔轴线成±45°方向的应变值，
为剪切应变值。
b．利用（3-1-18）式～（3-1-23）式将
转变成原岩应力分量
的表达式，可得到下列方程：
（3-1-24）
图3-1-10 电阻应变花的受力状态
（3-1-25）
（3-1-26）
（3-1-27）
c．每组应变花的测量结果可得到4个方程，三组应变花共得到12个方程，其中至少有6个独立方程，因此可求解出原岩应力的6个分量。
③由孔壁应变计围压试验结果计算测点岩石弹性模量和泊松比的公式
应力解除完后取出套孔岩芯，此时孔壁应变计仍胶结在钻孔中，对套孔岩芯施加围压，根据围压试验结果，可由下式求得测点岩石的弹性模量和泊松比值：
（3-1-28）
（3-1-29）
式中，P0为围压值；E，ν分别为岩石的弹性模量和泊松比εθ，εz岛分别为围压引起的平均周向应变和平均轴向应变。
5．空心包体应变法
（1）空心包体应变测量技术
测量原理：
①CSIR0空心包体应变计的主体是一个用环氧树脂制成的壁厚3mm的空心圆筒，其外径为37mm，内径为31mm。
②在其中间部位，即直径35mm处沿同一圆周等间距（120°）嵌埋着三组电阻应变花。
③每组应变花由三支应变片组成，相互间隔45°（图3-1-11）。
④在制作时，该空心圆筒是分两步浇注出来的。
⑤第一步浇注直径为35mm的空心圆筒，在规定位置贴好电阻应变花后，再浇注外面一层，使其外径达到37mm。
⑥使用时首先将其内腔注满胶结剂，并将一个带有锥形头的柱塞用铝销钉固定在其口部防止胶结剂流出。
⑦使用专门工具将应变计推入安装小孔中，当锥形头碰到小孔底后，用力推应变计，剪断固定销，柱塞便慢慢进入内腔。
⑧胶结剂沿柱塞中心孔和靠近端部的六个径向小孔流人应变计和孔壁之间的环状槽内。
⑨两端的橡胶密封圈阻止胶结剂从该环状槽中流出。
⑩当柱塞完全被推入内腔后，胶结剂全部流人环形槽，并将环形槽充满。待胶结计固化后，应变计即和孔壁牢固胶结在一起。
图3-1-11 CSIRO空心包体应变计
空心包体应变计的突出优点是应变计和孔壁在相当大的一个面积上胶结在一起，因此胶结质量较好，而且胶结剂还可注入应变计周围岩体中的裂隙、缺陷，使岩石整体化，因而较易得到完整的套孔岩芯。
（2）空心包体应变测量应力计算原理
①空心包体应变和三维应力分量之间的关系式
由空心包体应变计所测应力解除过程中应变数据计算地应力的公式和孔壁应变计具有相同的形式。但由于在空心包体应变计中，应变片不是直接粘贴在孔壁上，而是与孔壁有1.5mm左右的距离，因而其测出的应变值和孔壁应变计测出的应变值是有区别的。为了修正这一区别，沃罗特尼基和沃尔顿在（3-1-30）式～（3-1-32）式中加了4个修正系数
（统称k系数），其形式如下：
（3-1-30）
（3-1-31）
（3-1-32）
式中，
分别为空心包体应变计所测周向应变，轴向应变和剪切应变值。
②k系数计算公式
k系数的计算公式如下：
（3-1-33）
（3-1-34）
（3-1-35）
（3-1-36）
式中，
R1为空心包体内半径；R。为安装小孔半径；G1，G2分别为空心包体材料环氧树脂和岩石的剪切模量ν1，ν2分别为空心包体材料和岩石的泊松比；ρ为电阻应变片在空心包体中的径向距离。
③由空心包体围压试验结果计算测点岩石弹性模量和泊松比的公式
由内含空心包体应变计的套孔岩芯进行围压试验所得结果计算测点岩石弹性模量和泊松比的公式具有与（3-1-37）式和（3-1-28）式相似的形式，即
（3-1-37）
（3-1-38）
（3-1-37）式与（3-1-28）式的不同点在于，在（3-1-37）式中多了一个k1，它是由蔡美峰推导出来的。
6．实心包体应变法
（1）实心包体应变测量技术
一个位于无限体中的弹性包体（圆柱体），那么在无穷远处应力场的作用下，包体中将出现均匀的受力状态。
图3-1-12 UNSW实心包体应变计
（2）空心包体应变测量应力计算原理
①弹性体中任一点的应变状态可由6个应变分量来表示，令实心包体中的6个应变分量为
那么运用最小二乘法的原理，可以根据实测的10个方向的应变值求出这6个应变分量的值。
令
②那么在图3-1-13（b）所示的10支应变片位置，按理论计算的应变值
应为
（3-1-39）
其中
记测量值为
则理论值和实测值之差的平方和为
对其求偏导，得到
即
（3-1-40）
式中
（3-1-41）
（3-1-42）
③由（3-1-41）式和（3-1-42）式求出Ck（k=1，2，…，6）和bkj（k=1，2，…，6，j=1，2，…，6）后，即可由（3-1-40）式的6个方程求出6个未知数ej（j=1，2，…，6），也就是由实测应变值求出了实心包体中的6个应变分量值。
图3-1-13 惠斯通电桥原理图
④根据邓肯·法马给出的下列公式［34］，即可由实心包体的6个应变分量值求出包体周围的6个原岩力分量
（3-1-43）
（3-1-44）
（3-1-45）
（3-1-46）
（3-1-47）
（3-1-48）
并有
式中，E1，E2分别为实心包体材料和岩石的弹性模量ν1，ν1分别为实心包体材料和岩石的泊松比。
7．影响应力解除法测量精度的主要问题及其改进技术
（1）环境温度的影响及其完全温度补偿技术
①绝大多数用于应力解除的变形计和应变计均采用电阻应变片作为传感元件，用电阻应变片测量应变是基于这样的物理现象，即应变片的长度变化和其电阻变化之间有定量关系；这就是
（3-1-49）
式中，L，R分别为电阻应变片原始长度和电阻值；△L，△R分别为长度变化及相应的电阻变化；K为电阻应变片的应变系数，一般等于2；ε为相对长度变化，即应变值。
②由（3-1-49）式可知，只要测出电阻变化，即可求出应变值，而电阻变化是可以通过惠斯通电桥来测量的。惠斯通电桥的测量原理见图3-1-13。
③电桥的输出电压Vout和输入电压和输入电压Vin之间存在如下关系：
（3-1-50）
式中，
分别为四个桥臂的电阻值。
当
即
时，Vout=0，电桥处于平衡状态。
④当四个桥臂的电阻发生变化，分别产生
时，
略去（△R）2项，整理后可得
（3-1-51）
式中
当r=1时，（3-1-51）式变为
（3-1-52）
在地应力测量所用的电桥中，均采用
此时，
（3-1-53）
（2）岩石不连续性、不均质性和各向异性的影响及其修正方法
传统的地应力测量和计算理论是建立在岩石为线弹性、连续、均质和各向同性的理论假设基础之上的，而一般岩体都具有程度不同的非线性、不连续性、不均质性和各向异性。如忽视岩石的这些性质，必将导致计算出来的地应力与实际应力值有不同程度的差异，在进行结果计算、分析时必须考虑岩石的这些性质。
岩体非线性、不连续性、不均质性和各向异性影响的方法。主要包括：
①考虑岩石非线性的正确的岩石弹性模量、泊松比确定方法；
②建立岩体不连续性、不均质性和各向异性模型并用相应程序计算地应力；
③根据岩体的不连续性、不均质性和各向异性修正测量应变值；
④根据物理模拟试验和岩体不连续性、不均质性和各向异性状况修正测量应力计算结果；
⑤用数值分析和迭代逼近法修正岩石不连续性、不均质性、各向异性和非线弹性的影响，得到逼近实际岩体条件的测量结果。