第3章　平面机构的受力分析

3.1　考点归纳

一、作用在机械上的力

1．驱动力

即驱动机械运动的力。该力与其作用点速度的方向相同或成锐角，所作的功为正功，称为驱动功或输入功。

2．阻抗力

即阻止机械运动的力。该力与其作用点速度的方向相反或成钝角，所作的功为负功，称为阻抗功。阻抗力又可分为如下两种：

（1）有效阻抗力（工作阻力）：机械在生产过程中为了改变工作物的外形、位置或状态等受到的阻力。所作的功称为有效功或输出功。如机床中工件作用于刀具上的切削阻力、起重机所起重物的重力等都是有效阻力。

（2）有害阻抗力：机械在运转过程中所受到的非生产阻力，所作的功称为损失功。如摩擦力、介质阻力等一般常称为有害阻力。

3．运动副反力

当机构运转时，运动副两元素接触处彼此作用的正压力和摩擦力的合力称为运动副反力，简称反力。它对于整个机械来说是内力，而对于一个构件来说是外力，可分解为：

（1）法向反力：又称正压力，和运动副两元素的相对运动方向垂直，不做功；

（2）切向反力：运动副中的摩擦力。

注：有时将考虑到摩擦力的运动副反力称为总反力。

4．重力

作用在构件质心上的地球引力。

5．惯性力

一种加在变速运动的构件上的虚拟力。

二、机构力分析的任务和目的

1．确定运动副中的反力

运动副反力是运动副两元素接触处彼此作用的正压力和摩擦力的合力。这些力的大小和性质，对于计算机构构件的强度及刚度、运动副中的摩擦及磨损、确定机械的效率以及研究机械的动力性能等一系列问题，都是极为重要的必需资料。

2．确定机械上的平衡力或平衡力偶

（1）表述1

机械在已知外力作用下，为了使该机构能按给定的运动规律运动，必须加于机械上的未知外力称为平衡力。

（2）表述2

与作用在机构各构件上已知外力和惯性力（当原动件作给定运动时各构件的惯性力）相平衡的、作用在某一构件上的未知外力或力偶矩称为平衡力或平衡力矩。

三、机构力分析的方法

（1）对于低速机械，不计惯性力，采用静力分析方法；

（2）对于高速及重型机械，计惯性力，一般采用动态静力分析法。

机械分析的方法有图解法和解析法两种。

四、惯性力及其确定

1．惯性力

惯性力是研究机械中构件在变速运动时所引进的虚拟力。它与真实作用于构件上的力组成一个平衡力系。

2．确定方法

（1）一般力学方法

①作平面复合运动的构件

构件为作平面复合运动且具有平行于运动平面的对称面的刚体，其惯性力系可简化为一个加在质心上的惯性力和一个惯性力偶矩。

②作平面移动的构件

其惯性力系可简化为一个加在质心上的惯性力。

③绕定轴转动的构件

a．若其轴线不通过质心，其惯性力系可简化为一个加在质心上的惯性力和一个惯性力偶矩；

b．若其轴线通过质心，其惯性力系可简化为一个加在质心上的惯性力偶矩。

（2）质量代换法

①定义

按一定条件将构件的分布质量用集中在若干选定点的假想质量来代换的方法称为质量代换法。

②条件

质量代换应满足三个条件：

a．代换前后构件的质量不变；

b．代换前后构件的质心位置不变；

c．代换前后构件对质心轴的转动惯量不变。

凡满足上述a、b两个条件的代换称为静代换，而满足上述3个条件的代换称为动代换。

3．常用场合

质量代换法主要应用在绕非质心轴转动的构件和作平面复杂运动的构件。代换点常选择在加速度容易求得的点上，如转动副的对中心等。

五、运动副中摩擦力的确定

1．移动副中摩擦力的确定

图3-1　平面和楔形面中的移动副

（1）平面移动副中的摩擦力

如图3-1a所示，滑块1与平面2之间的摩擦系数为，总反力与法向反力

之间的夹角称为摩擦角，其值为

或

滑块1所受的总反力与其对平面2的相对速度v₁₂间的夹角总是（90°＋）的钝角。

（2）楔形面移动副中的摩擦力(槽面摩擦)

如图3-1b所示，在沿Z轴方向的驱动力F作用下，楔形滑块A以等速在楔形槽B中滑动，滑块的两个接触面上各有一个正压力N和一个摩擦力F_f。以滑块为受力体，根据其平衡条件得：

  （3-1）

按x y平面中的平衡条件N＋Q＋N＝0作其力三角形如图3-1c所示。由图得：

　 （3-2）

解式（3-1）和式（3-2）得

式中

　 （3-3）

①称为楔形滑块的当量摩擦系数，其值恒大于f，即楔形滑块的摩擦总大于平滑块的摩擦。

②与平滑块相同，，其中称为当量摩擦角，那么楔形槽加于楔形滑块的总反力R_BA应与移动方向偏一角，如图3-1b所示。

（3）斜面移动副中的摩擦力

如图3-2a所示，设将滑块1置于倾角为α的斜面2上，Q为作用在滑块1上的铅垂载荷（包括滑块自重）。下面分析使滑块1沿斜面2等速运动时所需的水平力。

①滑块等速上升

根据力的平衡条件可知，

F＋Q＋R₂₁＝0

由于此式中只有F的大小和R₂₁的大小未知，可做力三角形，如图3-2b所示。则水平驱动力F的大小为

（3-4）

图3-2　斜面摩擦（滑块等速上升）

②滑块等速下滑

如图3-3a所示，此时Q为驱动力，F′为阻力，即阻止滑块1沿斜面加速下滑的力。根据力的平衡条件可得

F′＋Q＋=＝0

由力三角形（图3-3b所示）可得

  　 （3-5）

图3-3　斜面摩擦（滑块等速下滑）

③总结

a．如果把力F为驱动力的行程称为正行程，把力F′为工作阻力时的行程称为反行程，则当列出了正行程的力关系式（3-4）后，反行程的力关系式可以直接利用正行程的关系式（3-5），把摩擦角φ前面的符号加以改变而得到。

b．当a≤φ时，由式（3-5）可得F′≤0。这表明只有当原工作阻力反向作用在滑块1上，即工作阻力变成驱动力时，滑块1才能运动。

（4）总结

①摩擦力的确定

当外载一定时，两运动副元素接触面间摩擦力的大小与运动副两元素的几何形状有关。为了简化计算，不论运动副元素的几何形状如何，均将其摩擦力的计算公式表达为

式中，为当量摩擦系数。

②总反力的确定

对于构件1、2构成的移动副，其总反力的方向可如下确定：

a．总反力与法向反力偏斜一摩擦角，＝arctanf或_v＝arctanf_v。

b．总反力与法向反力偏斜的方向与构件1相对于构件2的相对速度的方向相反。

2．螺旋副中的摩擦力

螺旋副为一种空间运动副，其接触面是螺旋面。当螺杆和螺母的螺纹之间受有轴向载荷Q时，拧动螺杆或螺母，螺旋面之间将产生摩擦力。

图3-4　矩形螺纹螺旋副中的摩擦

（1）矩形螺纹螺旋副中的摩擦

斜面的倾角α即为螺旋平均直径d上的螺旋升角，其计算式为

式中，l为螺纹导程；z为螺纹的头数；p为螺距。根据式（3-4），得

F＝Qtan（α＋φ）

式中，F相当于拧紧螺母时必须在螺旋平均直径d处施加的圆周力。

则拧紧力矩M为

　 （3-6）

防止螺母加速松脱的圆周力为

F′＝Qtan（a－φ）

防止螺母松脱的防松力矩M′为

（3-7）

当α＜φ时，M′为负值，即若要使滑块下滑，则必须施加一个反向的力矩M′，此时的力矩M′称为拧松力矩。

（2）三角形螺纹螺旋副中的摩擦

研究三角形螺纹的摩擦时，可把螺母在螺杆上的运动近似地认为是楔形滑块沿斜槽面的运动，根据式（3-3）可得

故

将式（3-6）和式（3-7）中的φ用φ_e代替即可得三角形螺旋的拧紧和防松力矩分别为

当α＜φ_e时，M′为拧松力矩。由于φ_e>φ，故三角形螺纹的摩擦力矩较矩形螺纹的大，宜用于联接紧固，而矩形螺纹摩擦力矩较小，效率较高，宜用于传递动力的场合。

3．转动副中的摩擦力

实际转动副都可看成是由轴和轴承组成的。轴安装在轴承中的部分称为轴颈，根据载荷

作用的方向分为径向轴颈和止推轴颈，如图3-5所示。

图3-5

图3-6

（1）径向轴颈转动副中的摩擦力

如图3-6所示，对于径向轴颈中的摩擦，简化为在其端面研究力的关系，其摩擦力矩

其中，摩擦圆半径。

（2）止推轴颈转动副中的摩擦力

非跑合止推轴颈的摩擦力矩

跑合止推轴颈的摩擦力矩

（3）转动副中的总反力的确定

①根据机构的运动情况，确定轴颈1和轴承2的相对运动方向；

②先不计摩擦力，根据力的平衡条件，确定总反力的方向，并有。

需特别注意：

a．二力构件两作用力大小相等方向相反并共线；

b．三力构件三力的作用线必汇交于一点。

③计及摩擦力，总反力和摩擦圆相切，且根据总反力对轴颈中心O之矩的方向与轴颈1相对于轴承2的相对角速度的方向相反最终确定总反力。

3．平面高副中的摩擦力

平面高副两元素之间的相对运动通常是既有滚动又有滑动，但一般只考虑滑动摩擦力。其总反力的方向的确定方法与移动副相同。

六、不考虑摩擦时机构的动态静力分析

1．分析方法

动态静力法，即根据达朗贝尔原理，假想将惯性力当作一般外力加在相应的构件上，并将该机械视为处于静力平衡状态，然后采用静力学方法对其进行受力分析。

2．分析过程

（1）先对机构进行运动分析，确定在已知的机构位置时各构件的惯性力和惯性力偶矩，并将它们及其它已知外力和力矩分别加在相应的构件上；

（2）从已知的驱动力或生产阻力所作用的构件开始，对外力全部已知的一个构件或一组构件计算其运动副反力；

（3）最后计算平衡力及其作用的构件的运动副反力。

3．构件组的静定条件

在不考虑摩擦时，转动副中的反力通过转动副中心，其大小和方向未知；移动副中的反力沿导路法线方向，其作用点位置和大小未知；平面高副中的反力作用于高副两元素接触点处的公法线上，仅大小未知。

设所取构件组有个构件，个低副和个高副，则静定条件为平衡方程式和未知量的数目相等，即

上式与前面所介绍的“杆组”条件相同，可知基本杆组都满足静定条件，故对机构进行受力分析时将机构（针对从动件系统）拆分成杆组，然后逐组进行。

七、速度多边形杠杆法

1．定义

速度多边形杠杆法又称茹可夫斯基杠杆法，它应用速度多边形和理论力学中的虚位移原理直接求平衡力和平衡力偶矩。

2．方法

作用在机构构件上的所有外力（包括平衡力）对转向速度多边形极点的力矩之和等于零。

（1）把各构件上的惯性力、外力（包括平衡力）加到机构上使机构处于平衡状态。

（2）根据虚位移原理，将速度多边形转90°（转向不论）后并将其作为一个以速度图极点为支点的刚性杠杆。

（3）将上述诸力平移到各相应点上后，此杠杆处于平衡状态，从而求得作用在机构上的未知平衡力。

3．要点

（1）在速度多边形法中，将所作用的每一个力偶矩化简为作用在构件上的两个力P所组成的力偶，所选择的力作用点应为构件上的两定点且速度易求，其中（l_AB为力偶臂，即构件上两定点A、B间的实际长度）。

（2）在应用速度多边形扛杆法求平衡力时，也可以不把速度多边形转向，而把所有的力沿同一方向转过90°然后平移到速度多边形的对应点上，待求得平衡力F_b后再把它反转90°即得其真实方向。

（3）用速度多边形杠杆法可以直接求出作用在任意构件上未知平衡力（平衡力矩）亦可用作求某一力系的等效力或等效力矩。