第2章　平面机构的运动分析

2.1　考点归纳

一、分析方法

1．图解法

（1）机构速度及加速度的一般图解法（矢量方程图解法）

①利用同一构件上两点间的速度及加速度矢量方程作图求解；

②利用两构件重合点间的速度及加速度矢量方程作图求解。

（2）机构速度分析的便捷图解法

①速度瞬心法；

②综合法。

2．解析法

（1）机构的封闭矢量位置方程

（2）复数矢量法

（3）矩阵法

3．实验法

二、速度瞬心法

1．速度瞬心

（1）定义

互作平面相对运动的两构件上瞬时速度相等的重合点称为此两构件的速度瞬心，简称瞬心。

（2）分类

①绝对瞬心：绝对速度为零的瞬心；

②相对瞬心：绝对速度不为零的瞬心。

（3）数目

机构中每两构件间就有一个瞬心，故由N个构件（包含机架）组成的机构的瞬心总数为

（4）瞬心位置的确定

①根据定义确定

a．当两构件组成转动副时其瞬心就位于转动副中心处；

b．当两构件组成移动副时其瞬心位于垂直于导路无穷远处；

c．当两构件组成纯滚动的高副时其瞬心位于其高副接触点处；

d．当两构件组成有相对滑动的高副时其瞬心位于过接触点的公法线上。

②根据三心定理确定

a．三心定理

三个彼此作平面平行运动的构件的三个速度瞬心必位于同一条直线上。

b．适用条件

用于确定不通过运动副直接相连的两构件之间的瞬心位置。

2．运动分析

（1）原理

利用两构件在其瞬心处绝对速度相等的条件求解。

（2）应用实例

①铰链四杆机构

图2-1

确定构件1和3的速度瞬心P₁₃后，由

得到原动件1与从动件3的瞬时角速度之比

a．如果P₁₃在P₃₄和P₁₄的同一侧，因此ω₁和ω₃的方向相同；

b．如果P₁₃在P₃₄和P₁₄之间，则ω₁与ω₃的方向相反。

②曲柄滑块机构

图2-2

已知各构件的长度、位置及构件1的角速度ω₁，求滑块C的速度。

a．根据三心定理确定构件1、3的相对速度瞬心P₁₃。

b．滑块3作直线移动，其上各点速度相等，将P₁₃看成是滑块上的一点，则有v_C=v_P13。

c．。式中μ_l为机构的长度尺寸比例尺，量纲为m／mm。

③既作滚动又作滑动的高副机构（齿轮机构和摆动从动件凸轮机构）

图2-3

a．构件2和3的速度瞬心P₃₂位于接触点处的公法线上。

b．三个构件的速度瞬心位于同一直线上。

确定P₃₂后，有

得到角速度比

3．适用范围

（1）只能用于机构的速度分析，不能用于加速度分析；

（2）适用于构件数目较少的机构。

三、矢量方程图解法（相对运动图解法）

1．基本原理

理论力学中刚体的平面运动合成原理和点的复合运动原理。

2．分析方法

利用机构中构件上各点之间或两构件上重合点之间的相对运动关系，列出它们之间的速度和加速度矢量方程式，然后按一定比例尺根据方程作矢量多边形进行求解。

3．两类问题

（1）同一构件上两点之间的速度和加速度关系

图2-4

铰链四杆机构中，已知各构件的长度及构件1的位置、角速度ω₁和角加速度α₁。求构件2的角速度ω₂、角加速度α₂及其上点C和E的速度和加速度，以及构件3的角速度ω₃和角加速度α₃。

①确定速度和角速度

a．列出相对速度矢量方程

从已知参数的构件1开始，列出速度矢量方程式

b．作出速度多边形

第一，在图上任取一点P，作代表v_B的矢量，其方向垂直于AB，指向与ω₁转向一致，长度等于v_B/μ_v，其中μ_v为速度比例尺，单位为，它表示图上每1mm代表的速度值。

第二，过P点作直线垂直于代表v_C的方向线，再过点b作直线垂直于代表v_CB的方向线，这两方向线交于点C。

c．求解

第一，如图2-4b所示，矢量和便分别代表v_C和v_CB，其大小为及。

同理可求点E的速度v_E。

第二，构件2的角速度，将代表v_CB的矢量平移到机构图上的点C，可知ω₂的转向为顺时针方向。

第三，构件3的角速度，将代表v_C的矢量平移到机构图上的点C，可知ω₃的转向为逆时针方向。

②确定加速度和角加速度

a．列出相对加速度矢量方程

从已知参数的构件1开始，列出相对加速度矢量方程式

或

b．作出速度多边形

第一，在图上任取一点π，作代表aⁿ_B，方向为平行于AB并从B指向A，长度为，其中μ_a为加速度比例尺，单位是，它表示图上每1mm代表的加速度值；过b″作代表a^t_B，方向垂直，长度为，连接，它表示a_B。

第二，再过b′作代表aⁿ_CB，方向是平行于并从C指向B，长度为；过c″作垂直于代表a^t_CB的方向线c″c′。

第三，又用同一比例尺从点π作代表aⁿ_C，方向是平行于CD并从C指向D，长度为；接着过作垂直于代表a^t_C的方向线。该两方向线c″c′和相交于c′，连接πc′。

c．求解

第一，矢量便代表a_C，其大小为。

同理可求点E的加速度。

③小结

a．速度多边形

图2-4b所示，由各速度矢量构成的多边形pbec称为速度多边形。

b．速度影像

第一，△bce和△BCE相似，且两三角形顶角字母bce和BCE的顺序相同均为顺时针方向，图形bce称为图形BCE的速度影像。

第二，当已知一构件上两点的速度时，则该构件上其他任一点的速度便可利用速度影像与构件图形相似的原理求出。

第三，速度影像的相似原理只能应用于同一构件上的各点，而不能应用于机构的不同构件上的各点。

c．极点P

第一，在速度多边形中，点P称为极点，代表该构件上速度为零的点；

第二，连接点P与任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的绝对速度，其指向是从p指向该点；

第三，连接其他任意两点的矢量便代表该两点在机构图中的同名点间的相对速度，其指向是与速度的角标相反，例如矢量代表v_CB而不是v_BC。

d．加速度多边形

图2-4c中由各加速度矢量构成的多边形称为加速度多边形。

e．加速度影像

第一，与机构位置图中△BCE相似，且两三角形顶角字母顺序方向一致，图形称为图形BCE的加速度影像。

第二，当已知一构件上两点的加速度时，利用加速度影像便能很容易地求出该构件上其他任一点的加速度。

第三，加速度影像的相似原理只能应用于机构中同一构件上的各点，而不能应用于不同构件上的各点。

f．极点π

第一，在加速度多边形中，点π称为极点，代表该构件上加速度为零的点；

第二，连接点π和任一点的矢量便代表该点在机构图中的同名点的绝对加速度，其指向从π指向该点；

第三，连接带有角标“′”的其他任意两点的矢量，便代表该两点在机构图中的同名点间的相对加速度，其指向适与加速度的角标相反，例如矢量代表a_CB而不是a_BC；

第四，代表法向加速度和切向加速度的矢量都用虚线表示，例如和分别代表aⁿ_CB和a^t_CB。

（2）不同构件上两重合点间的速度和加速度关系

图2-5

如图2-5a所示的四杆机构中，已知机构的位置、各构件的长度及构件1的等角速度ω₁，要求构件3的角速度ω₃和角加速度α₃。

①确定构件3的角速度ω₃

a．列速度矢量方程

已知构件1上B点的速度ω_B1=ω₁l_AB，其方向垂直于AB而指向与ω₁转向一致；因为构件2与构件1用转动副B相联，所以v_B2=v_B1，构件2、3组成移动副，其重合点B的相对速度矢量方程式为

b．作速度多边形

第一，任取一点P为极点，过P作代表点B₂的速度v_B2，其速度比例尺为

第二，过点b₂作v_B3B2的方向线b₂b₃，再过点P作v_B3的方向线pb₃，两方向线交于点b₃，得速度多边形pb₂b₃。

c．求解

矢量即代表v_B3，故构件3的角速度为

将代表v_B3的矢量平移到机构图上的点B，可知ω₃的转向为顺时针方向。

②确定构件3的角加速度α₃

a．列加速度矢量方程

点B₃的绝对加速度与其重合点B₂的绝对加速度之间的关系为

其中

故

式中

第一，a^r_B3B2为点B₃对于B₂的相对加速度，在一般情况下，，但是在目前情况下，由于构件2和构件3组成移动副，所以aⁿ_B3B2=0，则a^r_B3B2=a^t_B3B2，其方向平行于相对移动方向。

第二，a^k_B3B2为哥氏加速度，它的大小为，其中θ为相对速度v_B3B2和牵连角速度ω₂（=ω₃）矢量之间的夹角。但是对于平面运动，ω₂的矢量垂直于运动平面，而v_B3B2位于运动平面之内，故θ=90°，从而可得

哥氏加速度a^k_B3B2的方向是将v_B3B2沿ω₂的转动方向转90°（即图2-5c中的方向）。

b．作加速度多边形求解

第一，如图2-5c所示，从任意极点π连续作矢量和代表a_B2和a^k_B3B2，其加速度比例尺；再过点π作矢量代表aⁿ_B3，然后过点k′作直线k′b′₃。

第二，平行于线段代表a^r_B3B2的方向线，并过点b″₃作直线b″₃b′₃垂直于线段，代表a^t_B3的方向线，它们相交于点b′₃，则矢量便代表a_B3。

第三，构件3的角加速度为将代表的矢量平移到机构图上的点B₃，可知α₃的方向为逆时针方向。

四、解析法

1．分析过程

用解析法作机构运动分析的关键在于正确表示机构的封闭矢量位置方程式，并通过它对时间的一次和二次导数得到速度和加速度矢量方程式，然后用矢量运算法求出所需的运动参数。

2．常用方法

（1）机构的封闭矢量位置方程

在用矢量法建立机构的位置方程时，需将构件用矢量来表示，并作机构的封闭矢量多边形。

（2）复数矢量法

将机构的封闭矢量位置方程式写成复数矢量形式，运算过程中利用了复数运算十分简便的优点，可利用计算器与计算机进行求解。

（3）矩阵法

将得到的机构速度和加速度方程写成矩阵形式，方便地运用标准计算，程序或方程求解器等软件包来求解，但需借助于计算机。

五、运动线图

1．概念

用解析法或图解法求出机构在彼此相距很近的一系列位置时的位移、速度和加速度或角位移、角速度和角加速度，然后将所得的这些值对时间或原动件转角列成表或画成图，这些图便称为运动线图。

2．特征

利用运动线图，可以清楚地看出机构的位移、速度、加速度的变化规律，从而全面地了解机构的运动特性。

3．举例

图2-6

图2-6所示为一曲柄滑块机构及其滑块C的运动线图的作法。设曲柄以等角速度ω转动。

（1）将图2-6a中的曲柄销B的轨迹分成若干等分（图中为12等分），并用作图法求出与它对应的点C的一系列位置。距离C₁C₂、C₁C₃、…是曲柄在各位置时（亦即每一一定时间内）滑块C自其起始位置C₁的位移。

（2）如图2-6b所示，作两个坐标轴，并在横轴上截取长L（mm）的线段来代表曲柄回转一整周的时间T，那么其时间比例尺μ_t为

式中n为曲柄每分钟的转数。

（3）将线段L分为12等分作横坐标，并将图a中点C的位移投影在各个对应纵坐标上，最后将所得各点连成一光滑曲线，即为点C位移对时间的变化曲线。其纵坐标的比例尺μ_s即机构图的比例尺μ_t。

（4）图2-6中速度的正、负表示滑块运动方向的不同，速度为正，滑块向上运动；反之，则向下运动。当加速度与速度位于横坐标同侧时，滑块作加速运动；反之，作减速运动。由此利用运动线图，可以清楚地看出机构的位移、速度、加速度的变化规律，从而全面地了解机构的运动特性。

4．位移线图、速度和加速度线图的关系

由于，当给出机构的位移线图后，可用电子计算机进行数字微分或用图解微分的方法直接作出该机构相应的速度和加速度线图。同样，如给出的是加速度线图，则可用数字积分或图解积分的方法求出机构相应的速度线图和位移线图。