四、数　列

1．数列的概念

（1）按照一定顺序排列的一列数叫数列，数列中的每一个数称为这个数列的项.

（2）数列的一般形式

可简记为，其中是数列的第n项.

（3）数列有限的项叫有限数列.

（4）数列无限的项叫无限数列.

2．通项

如果数列的第n项与n之间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式就称为这个数列的通项公式，即通项.

（1）不是每一个数列都能写出其通项公式，如：1，1.2，1.21，1.212，…

（2）数列的通项公式不唯一，如：－1，1，－1，1，…可写成或写成

（3）数列的通项公式不一定是一个式子，也可以是分段函数.

（4）通项公式的作用

①求数列中的任一项；

②检验某数是不是该数列中的一项.

3．前n项和S_n

4．等差数列

（1）概念

一个数列从第2项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，这个数列就称为等差数列，这个常数称为等差数列的公差，记作d.

（2）一般形式

（3）通项公式

【例】已知数列{a_n}满足a_n＋1＝a_n＋2，且a₁＝1，那么它的通项公式a_n等于（　　）．

A．2n－1

B．2n＋1

C．2n－2

D．2n＋2

【答案】A

【解析】由a_n＋1＝a_n＋2可得a_n＋1－a_n＝2，知数列{a_n}为等差数列，且公差d＝2，故通项公式为：a_n＝1＋（n－1）×2＝2n－1．

（4）等差中项

如果a，A，b成等差数列，那么A称为a与b的等差中项，并且，式与a，A，b成等差数列等价.

（5）前n项和

或

（6）解题技巧

①若已知三个数成等差数列，若设这三个数为：可简化计算.

②若已知中的三个量，利用通项公式与前n项和公式列方程组，可求出另外两个量.

③项数一定的等差数列，与首尾两项等距离的两项之和等于首尾两项之和，即

5．等比数列

（1）概念

一个数列从第2项起，每一项与它前一项的比等于同一个常数，这个数列就称为等比数列，这个常数称为等比数列的公比，记作q.

（2）一般形式

（3）通项公式

（4）等比中项

如果a，A，b成等比数列，那么A称为a与b的等比中项，并且，式与a，A，b成等比数列等价.

【例】两个数的等差中项为20，等比中项为12，那么这两个数为（　　）.

A．18，22

B．9，16

C．4，36

D．16，24

【答案】C

【解析】设这两个数分别为x，y，则有，解得或.

（5）前n项和

或

（6）解题技巧

①若已知三个数成等比数列，若设这三个数为：可简化计算.

②若已知中的三个量，利用通项公式与前n项和公式列方程组，可求出另外两个量.

③项数一定的等比数列，与首尾两项等距离的两项之积等于首尾两项之积，即

【例】在等比数列{}中，已知，那么，的值等于（　　）.

A．10

B．25

C．50

D．75

【答案】B

【解析】根据等比数列的性质可知，所以.