2012年成人高考专科起点升本科《高等数学（二）》真题及详解
一、选择题：1～10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，选出正确选项．
1．
（ ）．
A．1
B．cos1
C．0
D．
【答案】B
【解析】因为函数
在
处连续，故
．
2．设函数y＝x2＋1，则
（ ）．
A．
x3
B．x2
C．2x
D．
x
【答案】C
【解析】
．
3．设函数
＝cosx，则
＝（ ）．
A．－1
B．
C．0
D．1
【答案】A
【解析】
，
．
4．下列区间为函数＝sinx的单调增区间的是（ ）．
A．（0，）
B．（，π）
C．（，
）
D．（0，2π）
【答案】A
【解析】由正弦函数的图像可知，当
时，函数单调递增，故（0，
）是函数的单调增区间．
5．
（ ）．
A．3x3＋C
B．x3＋C
C．
＋C
D．
＋C
【答案】C
【解析】由积分公式可得
．
6．
（ ）．
A．e1＋x＋C
B．
＋C
C．x＋C
D．ln|1＋x|＋C
【答案】D
【解析】由积分公式可得
．
7．设函数z＝ln（x＋y），则
（ ）．
A．0
B．
C．ln2
D．1
【答案】B
【解析】
，
．
8．曲线
与x轴所围成的平面图形的面积为（ ）．
A．2
B．4
C．2π
D．4π
【答案】C
【解析】与x轴所围成的平面图形为
个圆心在坐标原点，半径为2的圆，故面积为
9．设函数z＝ex＋y2，则
（ ）．
A．2y
B．ex＋2y
C．ex＋y2
D．ex
【答案】D
【解析】当对x求导时，y相当于常量，故
，
．
10．设事件A、B互不相容，P（A）＝0.3，P（B）＝0.2，则P（A＋B）＝（ ）．
A．0.44
B．0.5
C．0.1
D．0.06
【答案】B
【解析】事件A、B互不相容，则
，故
．
二、填空题：11～20小题，每小题4分，共40分．将答案填写在题中横线上．
11．
______．
【答案】－2
【解析】
．
12．
______．
【答案】
【解析】由等价无穷小可得
．
13．设函数
在x＝0处连续，则a＝______．
【答案】1
【解析】函数在x＝0处连续，则有
，
，
，故a＝1．
14．曲线y＝x3＋3x的拐点坐标为______．
【答案】（0，0）
【解析】
，令
，得
，
.当
时，
；当
时，
.故曲线的拐点为（0，0）．
15．设函数＝cosx，则
＝______．
【答案】－cosx
【解析】，
．
16．曲线y＝sin（x＋1）在点（－1，0）处的切线斜率为______．
【答案】1
【解析】
，
，即曲线在点（－1，0）处的切线斜率为1．
17．
______．
【答案】
＋C
【解析】
．
18．
______．
【答案】sin1
【解析】
．
19．
______．
【答案】1
【解析】
．
20．设函数z＝x2ey，则全微分dz＝______．
【答案】2xeydx＋x2eydy
【解析】
，故
．
三、解答题：21～28题，共70分．解答应写出推理、演算步骤．
21．计算
（本题满分8分）
解：这是
型极限，可以使用洛必达法则
22．设函数y＝ln（x2＋1），求dy．（本题满分8分）
解： 
23．计算
（本题满分8分）
解： 
24．计算
（本题满分8分）
解： 
25．己知某篮球运动员每次投篮投中的概率是0.9，记X为他两次独立投篮投中的次数．
（1）求X的概率分布；
（2）求X的数学期望EX．（本题满分8分）
解：（1）X可能的取值为0，1，2；
因此X的概率分布为
（2）数学期望
EX＝0×0.1＋1×0.18＋2×0.81＝1.80
26．求函数＝x3－3x－2的单调区间和极值．（本题满分10分）
解：函数的定义域为（－∞，＋∞）．
＝3x2－3，令＝0，得驻点x1＝
1，x2＝1．
因此的单调增区间为（－∞，－1），（1，＋∞）；单调减区间为（－1，1）．
的极大值为
＝0，极小值为
＝－4．
27．已知函数＝－x2＋2x．（本题满分10分）
（1）求曲线y＝与x轴所围成的平面图形的面积S；
（2）求（1）中的平面图形绕x轴旋转一周所得旋转体的体积V．
解：（1）由
得曲线与x轴交点坐标为（0，0），（2，0）．
（2）
28．求二元函数
＝x2＋y2＋2y的极值．（本题满分10分）
解：
，
令
，得驻点（0,－1）．
因为
所以
由于A＞0且
，故f（x，y）在点（0，1）处取得极小值，极小值为f（0，－1）＝－1．