第2章　一元函数微分学

2.1　考点精讲

一、导数与微分

1．导数概念

（1）导数定义

设函数y＝f(x)在点x₀的某个邻域内有定义，当自变量x在x₀处取得增量Δx(点x₀＋Δx仍在该邻域内)时，相应的函数取得增量Δy＝f(x₀＋Δx)－f(x₀)；如果Δy与Δx之比在Δx→0时的极限存在，则称函数y＝f(x)在点x₀处可导，并称这个极限为函数y＝f(x)在点x₀处的导数，记为，即

也可记作，或。

导数的常见形式有

和

其中的h即自变量的增量Δx。

（2）单侧导数

①左导数

②右导数

（3）在一点处可导的充分必要条件

函数f(x)在点x₀处可导存在且相等

（4）导数的几何意义

函数y＝f(x)在点x₀处的导数在几何上表示曲线y＝f(x)在点M（x₀，f（x₀））处的切线的斜率，即，其中是切线的倾角（图2-1）。

图2-1

如果y＝f（x）在点x₀处的导数为无穷大，这时曲线y＝f（x）的割线以垂直于x轴的直线x＝x₀为极限位置，即曲线y＝f（x）在点M（x₀，f（x₀））处具有垂直于x轴的切线x＝x₀。

（5）导数的物理意义

因变量关于自变量的变化率。

（6）可导与连续的关系

函数y＝f(x)在点x₀处可导，则函数在点x₀处必连续；函数y＝f(x)在点x₀处连续，却不一定在点x₀处可导。

（7）切线方程与法线方程

若函数y＝f(x)在点x₀处可导，则曲线y＝f(x)上一点M（x₀，f（x₀））处切线的斜率，由直线的点斜式方程得：

①切线方程

②法线方程

2．导数的运算

（1）四则运算法则

①（c为常数）

②

③

④

（2）反函数的导数

如果函数在某区间内单调、可导，且，那么它的反函数在对应区间内也可导，且有

或

即反函数的导数等于直接函数导数的倒数。

（3）基本公式

3．求导方法

（1）复合函数的求导法

如果u＝g(x)在点x可导，而y＝f(u)在点u＝g(x)可导，则复合函数y＝f[g(x)]在点x可导，且其导数为

或

。

（2）隐函数的求导法

①由确定的隐函数的导数

方程两边同时对x求导，得

②由参数方程确定的隐函数的导数

a．一阶求导公式

b．二阶求导公式

（3）对数求导法

①求导步骤

a．对两边同时取对数

b．两边同时关于x求导数

c．移项，化为的形式

②幂指函数的对数求导法

a．两边同时取对数法

b．转化法

第一步，把幂指函数，化为

第二步，直接求导

③乘积形式的函数的对数求导法

【例】

求的导数。

解：先在两边取对数，得

两边同时关于x求导数

得

（4）分段函数的求导法

①讨论函数在处的可导性

a．直接根据导数的定义来判断；

b．利用左右导数的定义来判断。

②讨论分段函数在分界点处的可导性时，必须用左右导数的定义来判别。

③用导数定义求分段函数在分界点处的导数，用初等函数的求导公式求其余点的导数。

4．高阶导数

（1）高阶导数的定义

函数y＝f(x)的导数仍然是x的函数．我们把的导数叫做函数y＝f(x)的二阶导数记作或，即或．类似地，二阶导数的导数叫做三阶导数，三阶导数的导数叫做四阶导数，…，一般的，（n－1）阶导数的导数叫做n阶导数，分别记作或。

二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

（2）高阶导数的计算

①几个初等函数的n阶导数公式

②莱布尼茨（Leibniz）公式

5．微分

（1）微分的定义

设函数y＝f(x)在某区间内有定义，x₀及x₀＋Δx在这区间内，如果增量

可表示为

其中A是不依赖于Δx的常数，那么称函数y＝f(x)在点x₀是可微的，而AΔx叫做函数y＝f(x)在点x₀相应于自变量增量Δx的微分，记作dy，即。

（2）微分与导数的关系

函数y＝f(x)在点x可微y＝f(x)在点x可导，且．同时。

（3）微分法则

①中间变量均为一元函数

若函数及都在点x可导，函数在对应点处可微，则复合函数在点x可导，且

②中间变量均为多元函数

设，，．若，在点处偏导数都存在，在对应点处可微，则复合函数在点处存在偏导数，且

（4）一阶全微分形式不变性

设可微，

①若是自变量，则；

②若是中间变量，即，，，则复合函数的全微分为

由此可见，无论是自变量的函数或中间变量的函数，它的全微分形式是一样的，即一阶全微分形式不变性。

二、微分中值定理

1．罗尔（Rolle）中值定理

（1）罗尔中值定理

若函数y＝f（x）满足以下条件：

①在闭区间[a，b]上连续；

②在开区间（a，b）内可导；

③f（a）＝f（b），

则在开区间（a，b）内至少存在一点ξ，使得。

（2）罗尔中值定理的几何意义

若连续曲线y＝f（x）在区间[a，b]上所对应的弧段，除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，且在弧的两个端点A，B处的纵坐标相等，则在弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于x轴（图2-2）。

图2-2

2．拉格朗日（Lagrange）中值定理

（1）拉格朗日中值定理

若函数y＝f（x）满足以下条件：

①在闭区间[a，b]上连续；

②在开区间（a，b）内可导，

那么在（a，b）内至少有一点ε（a＜ε＜b），使等式f（b）－f（a）＝f＇（ε）（b－a）成立。

（2）拉格朗日中值定理的几何意义

如果把f（b）－f（a）＝f＇（ε）（b－a）改写成，由图2-3可看出，等式左边为弦AB的斜率，而f＇（ε）为曲线在点C处的切线的斜率。因此拉格朗日中值定理的几何意义是：如果连续曲线y＝f（x）的弧AB上除端点外处处具有不垂直于x轴的切线，那么这弧上至少有一点C，使曲线在C点处的切线平行于弦AB。（图2-3）。

图2-3

（3）拉格朗日中值定理的推论

①若函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且导数f′（x）恒为零，则在（a，b）内f（x）是一个常数。

②若在（a，b）内恒有f′（x）＝g′（x），则在（a，b）内必有f（x）＝g（x）＋C，其中C为某个常数。

三、导数的应用

1．洛必达法则

（1）型未定式

①当（或）时，函数及都趋于零；

②在a点的某去心邻域内，及都存在，且；

③存在（或为无穷大）；

那么。

这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。

如果仍属型，且及满足定理的条件，可以继续使用洛必达法则。

（2）型未定式

①；

②在a点的某去心邻域内，及都存在，且；

③存在（或为无穷大）；

那么。

（3）型未定式

或

【例】求。

解：原式＝

（4）型

【例】求。

解：原式＝

取对数

（5）型

 

2．函数单调性的判定法

设函数y＝f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导。

（1）如果在（a，b）内f＇（x）＞0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调增加；

（2）如果在（a，b）内f＇（x）＜0，那么函数y＝f（x）在[a，b]上单调减少；

如果把这个判定法中的闭区间换成其他各种区间（包括无穷区间），那么结论也成立。

这是函数单调性判定的一个最基本也是最重要的法则。

3．函数极值与极值点

（1）极值的定义

设y＝f（x）在点x₀的某邻域内有定义。

①极大值

如果对于该邻域内任何异于x₀的点x，恒有f（x）＜f（x₀），则称x₀为f（x）的一个极大值点，称f（x₀）为f（x）的一个极大值。

②极小值

如果对于该邻域内任何异于x₀的点x，恒有f（x）＞f（x₀），则称x₀为f（x）的一个极小值点，称f（x₀）为f（x）的一个极小值。

（2）函数的驻点

设y＝f（x）在点x₀处可导，且x₀为f（x）的极值点，则f′（x₀）＝0．使导数值为零的点，称为函数的驻点，即若f′（x₀）＝0，则称x₀为f（x）的驻点。

（3）判别极值

①第一判别法

设y＝f（x）在点x₀的某邻域内可导，且f′（x₀）＝0。

a．若x＜x₀时，f′（x）＞0；当x＞x₀时，f′（x）＜0，则x₀为f（x）的极大值点。

b．若x＜x₀时，f′（x）＜0；当x＞x．时，f′（x）＞0，则x₀为f（x）的极小值点。

c．若f′（x）在x₀的两侧同号，则x₀不是f（x）的极值点。

②第二判别法

设y＝f（x）在点x₀处二阶可导，且f′（x₀）＝0，则：

a．若f″（x₀）＜0，那么x₀为f（x）的极大值点。

b．若f″（x₀）＞0，那么x₀为f（x）的极小值点。

c．若f″（x₀）＝0，则此方法不能判定。

4．函数的最大值与最小值

（1）最值的定义

设函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上有定义，，若对于任意，恒有f（x）≤f（x₀）（或f（x）≥f（x₀）），则称f（x₀）为函数y＝f（x）在闭区间[a，b]上的最大值（或最小值），称点x₀为f（x）在[a，b]上的最大值点（或最小值点）。

（2）最大值与最小值的求法

闭区间[a，b]上的连续函数y＝f（x）必定存在最大值与最小值．求最大值与最小值的一般方法是：

①求出f（x）在（a，b）内的所有可能的极值点，包括驻点和导数不存在的点：x₁，...，x_k。

②求出上述各点及区间两个端点x＝a，x＝b处的函数值：f（x₁），…，f（x_k），f（a），f（b），进行比较，其中最大的数即为y＝f（x）在[a，b]上的最大值，相应的即为f（x）在[a，b]上的最大值点；而其中最小的数即为f（x）在[a，b]上的最小值，相应的即为f（x）在[a，b]上的最小值点。

5．曲线的凹凸性、拐点

（1）凹凸性

①定义

设f（x）在区间I上连续，如果对I上任意两点x₁,x₂恒有

那么称f（x）在I上的图形是（向上）凹的（或凹弧）；如果恒有

那么称f（x）在I上的图形是（向上）凸的（或凸弧）。

②凸凹性的判定

设f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内具有一阶和二阶导数，那么

a．若在（a，b）内f＇（x）＞0，则f（x）在[a，b]上的图形是凹的；

b．若在（a，b）内f＇（x）＜0，则f（x）在[a，b]上的图形是凸的。

（2）拐点

①定义

一般的，设y＝f（x）在区间I上连续，x₀是I的内点。如果曲线y＝f（x）在经过点（x₀，f（x₀））时，曲线的凹凸性改变了，那么就称点（x₀，f（x₀））为这曲线的拐点。

②拐点的判定

对于在（a，b）内的连续曲线弧y＝f（x），判定拐点的一般方法是：

a．求出该函数的二阶导数，求出其二阶导数等于零的点。

b．求出该函数的二阶导数不存在的点。

c．判定上述各点两侧该函数的二阶导数是否异号，如果f″（x）在x₀的两侧异号，则（x₀，f（x₀））为曲线弧y＝f（x）的拐点。

D．在f″（x）＞0的x的取值范围内，曲线弧y＝f（x）为凹的；在f″（x）＜0的x的取值范围内，曲线弧y＝f（x）为凸的。

6．曲线的水平渐近线与铅直渐近线

（1）定义

若点M沿曲线y＝f（x）无限远离原点时，它与某条定直线L之间的距离将无限接近于零，则称直线L为曲线y＝f（x）的一条渐近线．若直线L与x轴平行，则称L为曲线y＝f（x）的水平渐近线．若直线L与x轴垂直，则称L为曲线y＝f（x）的铅直渐近线。

（2）曲线y＝f（x）的渐近线的求法

①，则y＝C为曲线y＝f（x）的水平渐近线．此时不论还是，曲线y＝f（x）上的点将从两个方向与直线y＝C无限地接近．若则y＝C也为曲线y＝f（x）的水平渐近线，此时仅当时，曲线y＝f（x）上的点与直线y＝C无限地接近；若，则y＝C也为曲线y＝f（x）的水平渐近线，此时仅当时，曲线y＝f（x）上的点与直线y＝C无限地接近。

②若，则x＝x₀为曲线y＝f（x）的铅直渐近线（从两个方向趋近）相仿，若，x＝x₀也为曲线y＝f（x）的铅直渐近线（从右侧趋近）；若，x＝x₀也为曲线y＝f（x）的铅直渐近线（从左侧趋近）。