第三节 比例问题
1．甲工厂每天生产的零件数比乙工厂的1.5倍还多40个，乙工厂每天生产的零件数比甲工厂的一半多20个。则两个工厂每天共能生产多少个零件？（ ）
A．400
B．420
C．440
D．460
【答案】C
【解析】设甲乙工厂生产零件数分别为x、y，根据题意有x＝1.5y＋40，y＝x/2＋20，解得：x＝280，y＝160。则共生产零件280＋160＝440（个）。
2．某工厂的两个车间共有120名工人，每名工人每天生产15件设备。如果将乙车间工人的
调到甲车间，则甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件。问原来乙车间比甲车间多多少人？（ ）
A．12
B．24
C．36
D．48
【答案】D
【解析】设乙车间原有x人，“将乙车间工人的调到甲车间”后，乙车间剩
x人，此时，“甲车间每天生产的设备数将比乙车间多120件”，即甲车间比乙车间多了
＝8人，则甲车间为x＋8人。则有x＋（x＋8）＝120，x＝84。故原来乙车间比甲车间多84－（120－84）＝48人。
3．三个快递员进行一堆快件的分拣工作，乙和丙的效率都是甲的1.5倍。如果乙和丙一起分拣所有的快件，将能比甲和丙一起分拣提前36分钟完成。问如果甲乙丙三人一起工作，需要多长时间能够完成所有快件的分拣工作？（ ）
A．1小时45分
B．2小时
C．2小时15分
D．2小时30分
【答案】C
【解析】设甲的效率是2y，则乙、丙的效率都是3y。设总量是X，则
－
＝36，得X＝1080y，因此三人一起拣的时间是1080÷（2＋3＋3）＝135分钟，即2小时15分钟。
4．10个完全一样的杯子，其中6个杯子装有10克酒精，4个杯子装有10克纯水。如果从中随机拿出4个杯子将其中的液体进行混合，问最终得到50%酒精溶液的可能性是得到75%酒精溶液的可能性的多少倍？（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】每个杯子液体质量均为10克，4杯液体的总质量为40克。若混合液浓度为50%，则要求酒精为20克，即2杯，此时水应该也为2杯；混合液浓度为75%，则要求酒精为30克，即3杯，水应该为1杯。即50%浓度混合液的概率为
，得到75%浓度混合液的概率为
，即得到50%浓度混合液的概率是75%的倍。
5．某工程班被派去抢修灾区路面，工程完成时，一半人员被调去救援被困群众，剩下一半人员继续工作4小时后，两个新兵班被调来支援抢修，每个新兵班的效率是工程班的35%，最终比原计划提前3小时完工，请问原定几小时完工？（ ）
A．48
B．42
C．54
D．60
【答案】A
【解析】设原定X小时完工，则由题意可知，1＝＋
×4＋（＋
×35%×2）×（
－4－3），得X＝48。即工程班原定48小时完工。
6．某市有甲、乙、丙三个工程队，工作效率比为3:4:5。甲队单独完成A工程需要25天，丙队单独完成B工程需要9天。现由甲队负责B工程，乙队负责A工程，而丙队先帮甲队工作若干天后转去帮助乙队工作。如希望两个工程同时开工同时竣工，则丙队要帮乙队工作多少天？（ ）
A．6
B．7
C．8
D．9
【答案】B
【解析】由题意可知，A工程的工作量为25×3＝75份，B为5×9＝45份。因为两个工程同时开工同时竣工，且三个队都始终在干，就相当于将AB工程合于一处，且始终为甲乙丙合作，因此完成时间为（75＋45）÷（3＋4＋5）＝10天。在这10天中，乙可以完成10×4＝40份，剩下75－40＝35份，丙来完成，所以丙帮乙队做了35÷5＝7天。
7．一项工程如果交给甲乙两队共同施工，8天能完成；如果交给甲丙两队共同施工，10天能完成；如果交给甲丁两队共同施工，15天能完成；如果交给乙丙丁三队共同施工，6天就可以完成。如果甲队独立施工，需要多少天完成？（ ）
A．16
B．20
C．24
D．28
【答案】C
【解析】8、10、15和6的最小公倍数为120，假定这项工程的工作量为120，甲队每天的工作量为x，则有[（
－x）＋（
－x）＋（－x）]×6＝120，得x＝5。故甲队独立施工，需要
＝24天完成。
8．小张和小赵从事同样的工作，小张的效率是小赵的1.5倍。某日小张工作几小时后小赵开始工作，小赵工作了1小时之后，小张已完成的工作量正好是小赵的9倍。再过几个小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍？（ ）
A．1
B．1.5
C．2
D．3
【答案】C
【解析】令小张每小时的工作量为3，则小赵每小时的工作量为2，设再过x小时，小张已完成的工作量正好是小赵的4倍，则2×9＋3x＝4×（2＋2x），得x＝2小时。
9．甲、乙两车运一堆货物，若单独运，则甲车运的次数比乙车少5次；如果两车合运，那么各运6次就能运完，甲车单独运完这堆货物需要多少次？（ ）
A．9
B．10
C．13
D．15
【答案】B
【解析】设甲车单独运完需要x次，则甲每次运
，乙车单独运完需要x＋5次，则乙每次运
；甲、乙两车合运需6次完成，则有（＋）×6＝1，解得x＝10次。
10．甲杯中有浓度为17%的溶液400克，乙杯中有浓度为23%的同种溶液600克，现在从甲、乙杯中取出相同质量的溶液，把从甲杯取出的倒入乙杯中，把从乙杯取出的倒入甲杯中，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，问现在两杯溶液浓度是多少？（ ）
A．20%
B．20.6%
C．21.2%
D．21.4%
【答案】B
【解析】由题意可知，使甲、乙两杯溶液的浓度相同，即甲、乙两杯溶液混合在一起后的浓度，为（400×17%＋600×23%）÷（400＋600）＝20.6%。
11．某鞋业公司的旅游鞋加工车间要完成一出口订单，如果每天加工50双，要比原计划晚3天完成，如果每天加工60双，则要比原计划提前2天完成，这一订单共需要加工多少双旅游鞋？（ ）
A．1200双
B．1300双
C．1400双
D．1500双
【答案】D
【解析】设这一订单共需要加工x双旅游鞋，由题意得
－3＝
＋2，得x＝1500双。
12．一项工程由甲、乙、丙三个工程队共同完成需要15天。甲队与乙队的工作效率相同，丙队3天的工作量与乙队4天的工作量相当。三队同时开工2天后，丙队被调往另一工地，甲乙两队留下继续工作。那么，开工22天后，这项工程（ ）。
A．已经完工
B．余下的量需甲乙两队共同工作1天
C．余下的量需乙丙两队共同工作1天
D．余下的量需甲乙丙三队共同工作1天
【答案】D
【解析】假设甲、乙、丙的效率分别为3、3、4，总工程量为150，则开工22天后还剩工作量150－3×22－3×22－4×22＝10，即所剩的工程只需三人再合作1天就可完成。
13．一项工程，乙单独做要17天完成；如果第一天甲做，第二天乙做，这样交替轮流做，那么恰好用整数天完工；如果第一天乙做，第二天甲做，这样交替轮流做，那么比上次轮流的做法要多半天才能完成。甲单独做这项工程要多少天完成？（ ）
A．30天
B．8.5天
C．34天
D．17.5天
【答案】B
【解析】由题意可知，乙先做比甲先做要多用半天，则甲先做时，完成的天数一定是奇数，两次过程可表示为：甲乙甲乙……甲乙甲，乙甲乙甲……乙甲乙
，则有甲＝乙＋甲÷2，即甲的效率是乙的两倍，则甲单独完工需要17÷2＝8.5天。
14．木材原来的水分含量为28%，由于挥发，现在的水分含量为10%，则现在这些木材的重量是原来的（ ）。
A．50%
B．60%
C．70%
D．80%
【答案】D
【解析】将纯木材的量赋值为72，由题意可知，纯木材的比例最初为1－28%＝72%，水分挥发后为纯木材的比例是1－10%＝90%，故原木材（含水分）重量为100，现在木材（含水分）重量为72÷90%＝80，是原来的80%。
15．完成某项工程，甲单独工作需要18小时，乙需要24小时，丙需要30小时。现按甲、乙、丙的顺序轮班工作，每人工作一小时换班。当工程完工时，乙总共干了（ ）。
A．8小时
B．7小时44分钟
C．7小时
D．6小时48分钟
【答案】B
【解析】甲、乙、丙三人各工作一小时的效率之和为
＋
＋
＝
，
小时，即都工作7个小时后还有
未做。之后甲再工作1小时，还有
＝
＜，需要乙再用÷＝
小时＝44分钟完成，故乙一共工作了7小时44分钟。
16．甲乙两个工程队修一条公路，甲工程队修了500米以后，乙工程队来修，以往资料显示，乙工程队的效率是甲工程队的2倍，乙工程队修600米公路所用的时间比甲工程队修500米公路时间还少20天，甲工程队效率是（ ）米/天。
A．25
B．15
C．20
D．10
【答案】D
【解析】甲乙的工作时间是2:1，乙工程队修500米的时间和修600米的时间比是5:6，联立则有甲修500米时间和乙修600米的时间是10:6＝5:3；由于差值是20天，则甲修500米的时间是5×20/2＝10天，则其效率是500÷50＝10。
17．某行政村计划15天完成春播任务1500亩，播种5天后，由于更新机械，工作效率提高25%，问这个行政村会提前几天完成这1500亩的春播计划？（ ）
A．4
B．3
C．2
D．1
【答案】C
【解析】根据题意，由于工作效率提高了25%，前后工作效率之比为4:5，则在工作总量相同的情况，工作时间之比为5:4，在播种5天之后，按照原来的效率，还需要播种15－5＝10天，提高效率之后，则只需要8天，即提前了10－8＝2天。
18．某项工程，小王单独做需15天完成，小张单独做需10天完成。现在两人合做，但中间小王休息了5天，小张也休息了若干天，最后该工程用11天完成。则小张休息的天数是（ ）。
A．6
B．2
C．3
D．5
【答案】D
【解析】假设工作总量为15、10的最小公倍数，即30。根据题意，小王每天的工作量为30/15＝2，小张每天的工作量为30/10＝3，则在两人合作期间，小王的工作量为2×（11－5）＝12，小张的工作量为30－12＝18，所以小张工作了18/3＝6天，则休息了11－6＝5天。
19．某水池装有甲、乙、丙三根管，单独开放甲管12分钟可注满全池，单独开乙管15分钟可注满全池，单独开丙管20分钟可注满全池，如果三管齐开，几分钟可注满水池？（ ）
A．6
B．8
C．5
D．4
【答案】C
【解析】根据题意，由于单开甲用12分钟，单开乙用15分钟，单开丙用20分钟，设总量为12、15、20的最小公倍数，即60。则甲管每分钟进水量为5，乙管每分钟排水量为4，丙管每分钟进水量为3，三管齐开每分钟进水量为5＋4＋3＝12。则放满水需要60/12＝5分钟。
20．一个浴缸要放满水需要30分钟，排光一浴缸水需要50分钟，假如忘记关上出水口，将这个浴缸放满水需要多少分钟？（ ）
A．65
B．75
C．85
D．95
【答案】B
【解析】根据题意，注满水需要30分钟，排完需要50分钟，假设浴缸的水量为30、50的最小公倍数，即150，则每分钟放水的量为5，每分钟排水的量为3，每分钟净进水的量为5－3＝2，则放满水需要150/2＝75分钟。
21．一种溶液，蒸发一定水后，浓度为10%；再蒸发同样的水，浓度为12%；第三次蒸发同样多的水后，浓度变为多少？（ ）
A．14%
B．17%
C．16%
D．15%
【答案】D
【解析】设其溶质为60，则可知其浓度在10%时，溶液量为600，其浓度在12%时，溶液量为500，在变化过程中蒸发掉了水为100，则第三次蒸发同样多的水后，溶液还剩400，即其浓度为15%。
22．一满杯纯牛奶，喝去20%后用水加满，再喝去60%。此时杯中的纯牛奶占杯子容积的百分数为（ ）。
A．52%
B．48%
C．42%
D．32%
【答案】D
【解析】根据题意，由于添加的是水，形成的溶液是混合均匀溶液，则喝掉的溶液的比例，是喝掉的溶质的比例。由题意可知，剩下的纯牛奶的比例为（1－20%）（1－60%）＝80%×40%＝32%。
23．从装有100克浓度为10%的盐水瓶中倒出10克盐水后，再向瓶中倒入10克清水，这样算一次操作，照这样进行下去，第三次操作完成后，瓶中盐水的浓度为（ ）。
A．7%
B．7.12%
C．7.22%
D．7.29%
【答案】D
【解析】由于每次倒出去之后，都向瓶子里面加入水（溶剂），溶液质量保持不变，一共有100g，每次倒出去10g，即倒出去10/100＝1/10，操作三次，则瓶子中的浓度为10%×（1－1/10）3＝10%×（9/10）3，能被9整除，因此D项正确。
24．取甲种硫酸300克和乙种硫酸250克，再加水200克，可混合成浓度为50%的硫酸；而取甲种硫酸200克和乙种硫酸150克，再加上纯硫酸200克，可混合成浓度为80%的硫酸。那么，甲、乙两种硫酸的浓度各是多少？（ ）
A．75%，60%
B．68%，63%
C．71%，73%
D．59%，65%
【答案】A
【解析】根据题意，假设甲硫酸浓度为x，乙硫酸浓度为y，则有（300x＋250y）/（300＋250＋200）＝50%；（200x＋150y＋200）/（200＋150＋200）＝80%；得x＝75%，y＝60%。
25．三个容积相同的瓶子里装满了酒精溶液，酒精与水的比分别是2:1，3:1，4:1。当把三瓶酒精溶液混和后，酒精与水的比是多少？（ ）
A．133:47
B．131:49
C．33:12
D．3:1
【答案】A
【解析】由于第一个瓶子的体积比是2:1，则瓶子体积能被2＋1＝3整除，同理可知，体积能被4、5整除，假设瓶子体积为3、4、5的最小公倍数60。则第一个瓶子里的酒精是60×2/3＝40，水是60－40＝20；第二个瓶子里面的酒精是60×3/4＝45，水是60－45＝15；第三个瓶子里面的酒精是60×4/5＝48，水是60－48＝12；当三个瓶子的溶液混合后，酒精的含量是40＋45＋48＝120＋13＝133，水的含量是20＋15＋12＝47，两者的比例就是133:47。
26．甲、乙两瓶酒精溶液分别重400克和150克，甲中含酒精120克，乙中含酒精90克。从两瓶中应各取出（ ）才能兑成浓度为50%的酒精溶液150克。
A．甲100克，乙50克
B．甲90克，乙60克
C．甲60克，乙90克
D．甲50克，乙100克
【答案】D
【解析】由题干可知，甲中酒精浓度为120÷400×100%=30%，乙中酒精浓度为90÷150×100%=60%。根据十字交叉法：
所以两种酒精溶液的质量比为1：2，混合溶液共150克，应取甲溶液150×
=50克，乙溶液150×
＋2=100（克）。