2.2　典型题（含考研真题）详解

一、选择题

1．在自由空间中，一个孤立的点电荷，其产生的等电位面是（　  ）。[南京理工大学2011研]

A．平面

B．球面

C．柱面

【答案】B

【解析】点电荷的等电位面是一个球面。

2．对于各向同性的线性介质，介质中电位移矢量与电场强度的关系是（　  ）。

A．

B．

C．

【答案】A

二、填空题

1．电荷的定向运动形成电流，当电荷密度满足时，电流密度应满足______，此时电流线的形状应为______。[电子科技大学2008、2012研]

【答案】；闭合曲线

【解析】电流连续性定理。

2．在静电场中导体表面的边界条件为______和______；在恒定电场（恒定电流的电场）中的边界条件为______和______。[北京邮电大学2010研]

【答案】；；；

【解析】由电磁场一般情况下的边界条件

可得解。

3．己知磁导率为的均匀介质中存在恒定（稳恒）磁场分布，则介质中的电流体密度可以表示成______，磁化电流体密度可以表示成______。[电子科技大学2009、2010研]

【答案】；

【解析】由恒定（稳恒）磁场的旋度公式，易得到；由安培环路定理的微分形式，以及，得到，将第一问答案代入，即可得到，即为所求。

4．空气（介电常数）与电介质（介电常数）的分界面是的平面。在分界面上，已知空气中的电场强度，则电介质中的电场强度为______。[电子科技大学2012研]

【答案】

【解析】根据边界条件可知，电场强度在切向上是连续的，电位移在法向上是连续的。

5．当计算静态磁场磁通量密度时，毕奥-萨伐尔定律的数学表示式为______，式中各参量的含义是______。[东南大学2003研]

【答案】；为电流元矢量，它在矢量R对应的位置上产生的磁感应强度为，为源点到场点的单位矢量，R为源点到场点的距离，为真空的磁导率。

6．如图2-1所示，由两平行的半无限长直线和半圆弧的线电流I在点P所产生的磁场强度H＝______。[电子科技大学2010研]

图2-1

【答案】

【解析】本题中载流导线可看作为由两个半无限长直导线和一个半圆弧导线组成，由毕奥-萨法尔定律，各点在点的磁场方向均垂直纸面向外，可以用叠加定理求解。

由直导线的磁场公式，得到半无限长直导线在点的磁场为；通过电流为的细圆环轴线上的磁场为，令，可得圆心出的磁场为，半圆弧则为其一半；所以整段导线的磁场可求得。

三、判断题

1．在均匀极化的电介质中，极化电荷只能分布在电介质表面。[电子科技大学2009研]

【答案】对

【解析】在电介质中，无论是位移极化还是取向极化，极化电荷在电介质内部都相互抵销，存在的极化电荷只分布在电介质表面。

2．根据高斯定理，若闭合曲面S内没有电荷，则闭合曲面S上任一点的场强一定为零。 [电子科技大学2009研]

【答案】错

【解析】高斯定理，时，只能得到，不能得到场强的关系。

3．只要闭合线圈在磁场中做切割磁力线的运动，线圈中一定会形成感生电流。[电子科技大学2009、2012研]

【答案】错

【解析】法拉第电磁感应定律的积分形式的一般形式为

即产生感应电动势的方式有两种：①磁场随时间变化；②导线切割磁力线。当两种作用相互抵消时，不会产生感应电动势和感应电流。

4．为了简化空间电位分布的表达式，总可以将电位参考点选择在无穷远处。[电子科技大学2012研]

【答案】错

【解析】电位的参考点一般选择在无穷远处，具体情况不同，选择的参考点有所不同。

5．将一带正电的点电荷移近一个不接地的导体球时，若以无穷远处为电位参考点，则导体球的电位将降低。

【答案】错

6．电位高的地方，电场强度一定大。

【答案】错

四、简答题

1．在两种媒质的交界面处，试写出电磁场边界条件的一般形式？它们是由麦克斯韦方程的哪种形式推导出来的？理想导体表面电磁场的边界条件是什么？[国防科技大学2004研]

答：（1）电磁场边界条件的一般形式

上述各式均是由麦克斯韦方程组的积分形式推导出来的。

（2）理想导体表面电磁场的边界条件

2．写出麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，由麦克斯韦方程组的微分形式导出电荷守恒定律

。[南京理工大学2009研]

答：（1）积分形式描述一个大范围内，场与场源相互之间的关系，具体为

其中，表明磁场强度沿任何闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的传导电流与位移电流之和。

表明电场强度沿任何闭合曲线的环量，等于穿过以该闭合曲线为周界的任意曲面的磁通量变化率的负值。

表明穿过任意闭合曲面的磁感应强度的通量恒等于0。

表明穿过任意闭合曲面的电位移的通量等于该闭合面所包围的自由电荷的代数和。

（2）麦克斯韦方程组的微分形式描述空间任意一点场的变化规律，具体如下

其中，表明时变磁场不仅由传导电流产生，也由位移电流产生，揭示时变电场产生时变磁场。

表明时变磁场产生时变电场。

表明磁通永远是连续的，磁场是无散度场。

表明空间任意点的若有电荷存在，电位移线在该点发出或汇聚。

（3）将麦克斯韦方程组微分形式的第一个方程两边取散度，得

由于旋度的散度恒等于0，即得

将代入上式，得

3．静电场的电力线是不闭合的，为什么？在什么情况下电力线可以构成闭合回路，它的激励源是什么? [电子科技大学2012年研]

答：静电场的电力线是由正电荷发出、终止在负电荷上的，所以电力线的起点和终点不可能重合，电力线不能闭合。在时变场情况下，即使不存在电荷，变化的磁场也可以激发电场，此时电力线是闭合的，它的激励源是变化的磁场。

4．真空中两根半径为a的无限长平行导体圆柱上带有静电荷，单位长度电量为和，问空间一点处的电场强度是否可以用单根带电导体圆柱的电场公式叠加？即，其中，、、、

分别是两个圆柱轴线到场点的距离和单位矢量，试简述原因。[北京理工大学2003研]

答：带异号电荷的两导线平行放置后，由于异号电荷的吸引作用，每根导线上的电荷在横截面不再是均匀分布，靠近的一侧分布密度大。因此，当场点与任一导线轴线的距离与导线半径a可比拟时，总的电场强度不能用单根带电圆柱的电场公式相叠加表示，当场点与任一导线轴的距离远大于导线半径a时，可以将单根导线上的分布电荷视为分布在轴线上，此时，总的电场强度可以用单根圆柱的电场公式相叠加表示。

五、综合分析题

1．一半径等于3mm的导体球，处于ε_r＝2.5的媒质中，已知距离球心 2m处的电场强度为1mV/m，求导体球上的电荷。[南京理工大学2010研]

解：设导体球带电量为Q，由于导体球半径相对于场强辐射半径很小，可把导体球近似看做电量集中于球心的点电荷。则距导体球距离为r的电场强度为

于是。

2．真空中有一内外半径分别为a,b的导体球壳,导体球壳内距球心为d（d<a）处有一点电荷q,当

（1）导体球壳电位为零；

（2）导体球壳电位为U；

（3）导体球壳上的总电量为Q；

分别求导本球壳内、外空间区域中的电位分布。[西北工业大学2003研]

解：

3．矢量是否可能是静电场的解?如果是，则求与之对应的源和电位。[南京理工大学2010研]

解：静电场是无旋场，即。

对于本题中，因此该电场可以作为静电场的解。

该静电场的源为

由，得到

同理

由得到，

由得到

由于在静电场中，的值与积分路径无关，比较三个式子可得到。

4．试用麦克斯韦方程组导出电流连续性方程。[哈尔滨工业大学2001研]

解：由麦克斯韦方程，两边取散度有：

又由矢量恒等式知，故：

又由，得。

5．如图2-2所示，设半径为a的圆形平板电容器，板间距离为d，并填充电导率为的均匀导电介质()，两极板间外加直流电压U，忽略边缘效应。

（1）计算两极板间电场、磁场以及能流密度矢量（坡印亭矢量）；

（2）计算电容器内储存的能量；

（3）试证明：其中消耗的功率刚好是由电容器外侧进入的功率。[东南大学2003研]

图2-2

解：（1）利用公式可求得两极板间的电场、磁场及能流密度矢量分别为

；；

（2）存储的能量包括电场能量与磁场能量两部分，因此有

（3）热损耗功率为

由电容器外侧进入的功率为

则两者相等，得证。

6．在无源自由空间中，如果已知时变电磁场的矢量磁位，证明其电场强度为：，其中。[南京理工大学2008研]

证明：在无源空间中，把麦克斯韦方程写成复数形式，有，即

代入，得

由矢量等式，得

写成复数形式，可得

代入，得。

7．如图2-3所示，空气中有一段均匀带静电的圆弧，位于xOy平面上，圆弧单位长度上的电量为，圆弧半径为a，圆心位于O点，弧所对的圆心角为。求z轴上任一点的电场强度的各分量、及。[华中科技大学2002研]

图2-3

解：设z轴上任一点坐标为（0，0，z），设电场。

由点电荷电场公式可得

 

所以电场强度的各分量

，

8．沿z轴的长直电流I₁旁边有一正方形线框，边长为2a，载有电流I₂，方向如图2-4所示。线框中心到z轴的距离为r₀，线框可绕平行于z轴的轴线O₁O₂转动，当线框平面与x轴的夹角为α时，试求：

（1）长直导线与线框间的互感M；

（2）线框所受的转矩。[西安交通大学2006研]

图2-4

解：（1）根据安培环路定律，可以得出直电流产生的磁场为

线框沿着垂直于该磁场方向的投影区域的横坐标为

，

因此，通过线框的磁通量

所以有

（2）线框上下两边不受力，左右两边受力。

左边受力大小为：

方向：垂直于磁场和电流向内。

右边受力大小为：

方向：垂直于磁场和电流向外。

因此线框受到的力矩大小为：

其中是力的方向与上下两边的夹角。

通过正弦定理，可以求得：

代入计算，得到转矩大小为：（方向向下）

9．一半径为a的导体球上带有电荷Q，在其外部有一厚度为d，介电常数为的介质层（如图2-5），试求：（1）导体球内_内，介质中_介，及介质外电场强度_外；（2）电介质与空气分界面上束缚面电荷密度；（3）球的电位与电容。[南京航空航天大学2008研]

图2-5

解：（1）球内电场强度，电位移矢量，介质中电场强度，介质外电场强度

。

（2）分界面上束缚面电荷密度：E_介＝

（3）球电位为：

球电容为：

10．两个无限长的和（）的同轴圆柱表面分别带有电荷密度和（1）计算各处的电场；（2）要使处，则和应具有什么关系？[中科院2003研]

解：（1）用高斯定理，可知：

时，；

时，；

时，。

（2）要使处，则和的关系为。

11．利用麦克斯韦方程组的得数形式（又称频域形式）

（1）讨论动态矢量位和动态标量位的定义和洛仑兹规范；

（2）推导动态矢量位和动态标量位的非齐次亥姆霍兹方程。提示：。

解：（1）麦克斯韦方程组的复数形式为

由，定义动态矢量位为。

代入，定义动态标量位为。

将和分别代入并整理，得

利用矢量恒等式，得

选洛仑兹规范为。

（2）利用洛仑兹规范，简化为

再将分别代入，并整理，得

利用洛仓兹规范，上式简化为

。

12．已知半径为a、介电常数为ε的介质球带电荷为q，球外为空气。分别在下列情况下求空间各点的电场和介质中的极化电荷分布:

（1）电荷q均匀分布在球体内;

（2）电荷q集中在球心;

（3）电荷q均匀分布在球面上。

解:（1）电荷q均匀分布在球体内时，根据高斯定理，可得电场分布为

介质球内的极化电荷体密度为

　 ＝－

　  ＝－

r＝a的球面上，极化电荷面密度为

（2）电荷q集中在球心时，根据高斯定理，可得电场分布为

介质球内r≠0处的极化电荷体密度为

  ＝

r＝0是电场E₁的奇异点，该处应有一极化点电荷。设此极化点电荷为q_P，根据高斯定理，有

取S为以介质球心为中心、r（r<a）为半径的球面，则得到

由此求得

r＝a的球面上，极化电荷面密度为

（3）电荷q均匀分布在球面上时，电场分布为

极化电荷分布为

13．圆柱形电容器外导体的内半径为b，内导体半径为a。当外加电压U固定时，在b一定的条件下，求使电容器中的最大电场强度取极小值E_min的内导体半径a的值和这个E_min的值。

解：设内导体单位长度带电荷为ρ_l，利用高斯定理求得圆柱形电容器中的电场强度为

由内外导体间的电压

得到。

由此得到圆柱形电容器中的电场强度与电压的关系式，则有

在圆柱形电容器中，r＝a处的电场强度最大，即

令E（a）对a的导数为零，即

由此得到

故有