第2章　线性时不变系统

2.1　复习笔记

一、离散时间线性时不变系统：卷积和

1用脉冲表示离散时间信号

把任意一个序列表示成一串移位的单位脉冲序列δ[n－k]的线性组合，而这个线性组合式中的权因子就是x[k]。

2．线性系统的卷积和

（1）输入x[n]表示为一组移位单位脉冲的线性组合。

（2）h_k[n]为该线性系统对移位单位脉冲δ[n－k]的响应。

（3）线性系统对输入x[n]的响应y[n]就是系统对这些单个移位脉冲响应的加权线性组合，即

3．线性时不变系统的卷积和或叠加和

用符号记为

意义：

既然一个线性时不变系统对任意输入的响应可以用系统对单位脉冲的响应来表示，那么线性时不变系统的单位脉冲响应就完全刻画了系统的特征。

4．用图解的方法来计算卷积和

（1）对某一n值，比如n＝n₀，已求得y[n]

画出了信号h[n₀－k]，将它与x[k]相乘，并对所有的k值将乘积相加。

（2）求下一个n值，即n＝ n₀＋1时的y[n]

画出信号h[(n₀＋1)－k]，即将信号h[n₀－k]右移一点即可；

（3）对于接下来的每一个n值，继续上面的过程

把h[n－k]一点一点地向右移，再与x[k]相乘，并对所有的k将全部乘积相加。

二、连续时间线性时不变系统：卷积积分

1用冲激表示持续时间信号

任意信号x(t)可表示成了一个加权的移位冲激函数的和

上式为连续时间冲激函数的筛选性质。

2．连续时间线性时不变系统的单位冲激响应及卷积积分表示

（1）单位冲激响应h(t)

也就是h(t)是系统对δ(t)的响应。

（2）卷积积分或叠加积分

意义：

一个连续时间线性时不变系统的特性可以用它的单位冲激响应来刻画。

两个信号x(t)和h(t)的卷积标记为

3．求解连续时间信号的卷积的步骤

（1）在任意时刻t的输出y(t)是输入的加权积分，对x（τ）其权是h（t－τ）。

（2）为了求出对某一给定t时的这个积分值，首先需要得到h（t－τ）。

（3）h（t－τ）是τ的函数，t为某一固定值，利用h（τ）的反转再加上平移（t＞0时就向右移t；t＜0时就向左移|t|），就可以求得h（t－τ）。

（4）将x（τ）与h（t－τ）相乘，将陔乘积在τ＝－∞到τ＝＋∞区间内积分就得到y(t)。

三、线性时不变系统的性质

1交换律性质

（1）在离散时间情况下

（2）在连续时间情况下

2．分配律性质

卷积的分配律：卷积可以在相加项上进行分配。

（1）在离散时间情况下有

  （2）在连续时间情况下有

（3）卷积运算的分配律的意义

线性时不变系统的并联可以用一个单一的线性时不变系统来代替，而该系统的单位冲激响应就是并联时各个单位冲激响应的和。

（4）由于交换律和分配律，有

和

上两式说明：线性时不变系统对两个输入和的响应一定等于系统对单个输入响应的和。

3．结合律性质

（1）在离散时间情况下有

（2）在连续时间情况下有

4．有记忆和无记忆线性时不变系统

（1）对离散时间线性时不变系统

①无记忆条件

只有当n≠0，单位脉冲响应h[n]＝0时，系统才是无记忆系统。

a．这时其单位脉冲响应为

其中K＝h[0]是一个常数。

b．卷积和就变为：

②有记忆的条件

系统单位脉冲响应h[n]对于n≠0不全为零，这个系统就是有记忆的。

（2）对于连续时间线性时不变系统

①无记忆条件

只有当t≠0，系统单位冲激响应h(t)＝0时，该系统就是无记忆的。

a．这时其单位冲激响应为

其中K为某一常数。

b．卷积和变为

 

（3）K的取值

若K＝1，那么这些系统就变成恒等系统，其输出等于输入，单位冲激响应等于单位冲激。这时，卷积和与卷积积分公式就意味着

这两个式子就是离散时间和连续时间单位冲激函数的筛选性质，即

  5．线性时不变系统的可逆性

（1）在连续时间情况下

一个线性时不变系统的冲激响应为h(t)，另一个线性时不变系统的冲激响应是h₁(t)，如果h(t)*h₁(t)＝δ(t)，那么这两个系统互为逆系统。

（2）在离散时间情况下

一个冲激响应为h[n]的线性时不变系统的逆系统的冲激响应h₁[n]也必须满足

6．线性时不变系统的因果性

一个线性系统的因果性等效于初始松弛的条件，即：如果一个因果系统的输入在某个时刻点以前是零，那么其输出在那个时刻以前也必须是零。

一个线性时不变系统的因果性就等效于它的冲激响应是一个因果信号。

（1）离散时间情况下

因果离散时间线性时不变系统的单位冲激响应满足

此时卷积和变为

（2）连续时间情况下

因果连续时间线性时不变系统的单位冲激响应满足：

此时卷积积分变为

7．线性时不变系统的稳定性

（1）离散时间的情况下

线性时不变离散系统稳定的条件为：单位脉冲响应是绝对可和，即

（2）连续时间情况下

线性时不变连续系统稳定的条件为：单位冲激响应是绝对可积的，即

8．线性时不变系统的单位阶跃响应

（1）离散时间线性时不变系统中

①阶跃响应就是单位阶跃序列与单位脉冲响应的卷积

②u[n]是一个累加器的单位脉冲响应，因此有

即一个离散时间线性时不变系统的单位阶跃响应是其单位脉冲响应的求和函数。那么s[n]可以依据从s[n]中恢复出来。

（2）连续时间线性时不变系统中

①单位冲激响应为h(t)的一个线性时不变系统的单位阶跃响应

s(t)＝u(t)*h(t)

②s(t)是一个积分器，其单位冲激响应为u(t)，对输入h(t)的响应。

即一个连续时间线性时不变系统的单位阶跃响应是其单位冲激响应的积分函数。

③单位冲激响应是其单位阶跃响应的一阶导数，即

四、用微分和差分方程描述的因果线性时不变系统

1线性常系数微分方程

N阶线性常系数微分方程：

阶次指的是出现在这个方程中输出y(t)的最高阶导数。

（1）当N＝0时，上式变为

此时y(t)就是输入x(t)及其导数的一个明确的函数。

（2）当N≥1，微分方程就以隐含的形式用输入来给出输出。

①解的组成

y(t)的解由两部分组成：原微分方程的特解＋如下齐次微分方程的解：

这个方程的解称为该系统的自然响应。

②初始条件：

原微分方程不能完全用输入来表征输出，而需要给出附加条件以完全确定系统的输入输出关系。

对于初始松弛条件，即若t≤t₀时x(t)＝0，则假设t≤t₀时y(t)＝0。因此，对t＞t0的响应可以用初始条件

2．线性常系数差分方程

  N阶线性常系数差分方程

（1）方程的解

y[n]的解＝上式的一个的特解＋下面齐次方程的解。

该齐次方程的解称为由原线性常系数差分方程所描述的系统的自然响应。

（2）初始条件

与连续时间情况下一样，原线性常系数差分方程不能用输入来完全表征输出，而是必须给出某些附加条件。

对于初始松弛条件，即若n＜n₀时x[n]＝0，那么n＜x₀时y[n]＝0。在初始松弛条件下原线性常系数差分方程描述的系统就是线性时不变的，并且是因果的。

（3）原线性常系数差分方程可以重新写成递归方程的形式：

上式就把n时刻的输出直接用以前的输入和输出值来表示；可立即看出需要附加条件。

（4）在N＝0的特殊情况下，上式就演变成

对于N＝0的情况不要求附加条件。该系统的单位脉冲响应是

其单位脉冲响应是有限长的；即，仅仅在一个有限的时间间隔内是非零的。因此该系统往往称为有限脉冲响应（FIR）系统。

3．用微分和差分方程描述的一阶系统的方框图表示

（1）描述离散系统的方框图

①基本单元

a．相加器（图2-1（a））

b．乘以系数（图2-1（b））

c．单位延迟（图2-1（c））

图2-1　系统方框图表示的基本单元

（a）相加器；（b）乘以系数；（c）单位延迟

②反馈系统

对于一阶差分方程

可以改写为

该系统的方框图表示为

图2-2　简单离散时间记忆系统的方框图表示

这是一个反馈系统，因为输出经由一个延迟并乘以一个系数反馈回来，然后与bx[n]相加。反馈的存在是递归性质的一个直接结果。

（2）描述连续系统的方框图

①基本单元

a．相加器（图2-3（a））

b．乘以系数（图2-3（a））

c．微分器（图2-3（a））

图2-3　描述的连续时间系统方框图表示中的的基本单元

（a）相加器；（b）乘以系数；（c）微分器

d．积分器（图2-4）

在连续吋间情况下，积分器就代表了该系统的记忆存储单元。

图2-4　积分器的方框图表示

②反馈系统

对于一阶微分方程描述的因果连续时间系统：

方程可以改写为

方框图表示为

图2-5　利用相加器、乘以系数和微分

器的简单连续记忆系统的方框图表示

③积分表示法

原一阶微分方程可改写为

然后从－∞到t积分。若假设由上式描述的系统是初始松弛的，那么dy(t)/dt从－∞到t的积分就是y(t)，因为y（－∞）的值是零，结果可得

方框图表示为

图2-6　利用相加器、乘以系数和积分器的

简单连续记忆系统的方框图表示

五、奇异函数

1作为理想化短脉冲的单位冲激

（1）定义

（a）　　　　　　　　　 （b）

图2-7　（a）u_Δ(t)的导数（b）理想化短脉冲单位冲激

设想将δ_Δ(t)看成一个短形脉冲的极限形式，令δ_Δ(t)相应于图2-7（a）所定义的矩形脉冲，并设r_Δ(t)＝δ_Δ(t)*δ_Δ(t)；那么r_Δ(t)就如图2-7（b）所示。

若将δ(t)解释为δ_Δ(t)在Δ→＞0下的极限，那么由于δ(t)＝δ(t)*δ(t)，r_Δ(t)在Δ→0时的极限也一定是一个单位冲激。

（2）其他类似冲激形式

r_Δ(t)*r_Δ(t)或者r_Δ(t)*δ_Δ(t)等在Δ→0时都是单位冲激。如果将单位冲激定义为某信号的极限形式，那么事实上就存在着无限多个看起来很不相同的信号，但在极限之下其表现都像一个冲激。

2．通过卷积定义单位冲激

（1）定义

定义δ(t)为一个信号，其对任何x(t)都有x(t)＝x(t)*δ(t)。

（2）此定义下的δ_Δ(t)和r_Δ(t)

δ_Δ(t)和r_Δ(t)等这些信号都对应一些短脉冲，持续期随Δ→0而逐渐消失，如果用这些信号代替δ_Δ(t)后，作极限子下，x(t)＝x(t)*δ(t)仍然成立，那么这些信号在极限之下的表现全像一个单位冲激。

3．单位冲激偶

（1）定义

考虑输出是输入的导数的线性时不变系统，即

单位冲激偶u1(t）就是指这个系统的单位冲激响应是单位冲激的导数。

（2）根据线性时不变系统的卷积表示，对任何信号x(t)应有

（3）δ(t)的二阶导数u₂(t)

取输入的二阶导数的线性时不变系统的冲激响应为

因此，

（4）一般情况下，k＞0时，u_k(t)就是δ(t)的k次导数，因此是一个取输入k次导数系统的单位冲激响应。因为该系统可以由k个微分器级联得到，所以就有

4．积分器和微分器

（1）单位阶跃是一个积分器的单位冲激响应：

因此，

那么u(t)可用如下运算定义：

（2）由两个积分器的级联所组成的系统的单位冲激响应记为u_-2(t)，这就是一个积分器的单位冲激响应u(t)与自身的卷积：

（3）单位斜坡函数

因为t＜0时u(t)＝0，t＞0时u(t)＝1，所以

（4）δ(t)的高阶积分的定义：

多个积分器级联的单位冲激响应：

并可得

（5）δ(t)和u(t)的另一种符号，即

δ(t)＝u_o(t)

u(t)＝u_-1(t)

①k＞0时，u_k(t)，就记为k个微分器级联的单位冲激响应；

②k＝0时，u₀(t)就是恒等系统的单位冲激响应；

③k＜0时，u_k(t)就是｜k｜个积分器级联的单位冲激响应。

（6）微分器是积分器的逆系统．

或者用另一种符号表示：

（7）对任何整数k和r有

①若k和r都是正的，上式就是k个微分器的级联，再接着r个微分器，产生的输出就是输入的（k＋r）次微分。

②若k和r都是负的，那就是｜k｜个积分器的级联，再跟着另外的｜r｜个积分器。

③若k是负的，而r为正的，则是｜k｜个积分器的级联，再跟着r个微分器。

整个系统就等效于：

a．若k＋r＜0则｜k＋r｜个积分器级联；

b．若k＋r＞0则k＋r个微分器级联；

c．若k＋r＝0则是一个恒等系统。