第一部分 历年真题
2014年成人高等高中起点升专科、本科《数学》（文科）真题及详解
一、选择题：本大题共17小题，每小题5分，共85分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，将所选项前的字母填涂在答题卡相应题号的信息点上。
1．设集合M＝
，N＝
，则集合M∩N＝（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】M∩N表示既属于M又属于N的元素，依题意有－1≤x≤1．
2．函数y＝
的定义域为（ ）．
A．（－∞，5）
B．（－∞，＋∞）
C．（5，＋∞）
D．（－∞，5）∪（5，＋∞）
【答案】D
【解析】要使函数y＝成立，需满足分母不能为0，即x－5≠0，则x≠5，则x的定义域为x∈（－∞，5）∪（5，＋∞）．
3．函数y＝2sin6x的最小正周期为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】令t＝6x，sin（t）为正弦函数，其最小周期是T＝2π，即t＝6x的最小正周期为2π，得x＝．
4．下列函数为奇函数的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】A项，
为对数函数，是非奇非偶函数；B项，
为正弦函数，是奇函数，其图象关于原点对称；C项，，（－x）2＝x2是偶函数；D项，为指数函数，是非奇非偶函数．
5．拋物线
的准线方程为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】已知抛物线
的焦点坐标为（
，0），准线方程为
；题中，则p＝
，其准线方程为
.
6．已知一次函数y＝2x＋b的图像经过点（－2，1），则该图像也经过点（ ）．
A．（1，－3）
B．（1，－1）
C．（1，7）
D．（1，5）
【答案】
【解析】一次函数y＝2x＋b的图像经过点（－2，1），将（－2，1）代入式中，得b＝3，即该一次方程为y＝2x＋3．D项，（1，5）代入式中，有y＝2×1＋3，符合方程.
7．若a，b，c为实数，且a≠0，
设甲：
；乙：
，则（ ）．
A．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件
B．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件
C．甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件
D．甲是乙的充分必要条件
【答案】D
【解析】当成立，由二次函数性质可知，存在解使得成立，故甲是乙的充分条件；当的解存在，由解的存在定理，则必有
，故甲是乙的必要条件；综合所述，甲是乙的充分必要条件.
8．二次函数
的图像与x轴的交点坐标为（ ）．
A．（-2，0）和（1，0）
B．（-2，0）和（-1，0）
C．（2，0）和（1，0）
D．（2，0）和（-1，0）
【答案】A
【解析】令y等于0，则有：x2＋x－2＝0，解方程，得x1＝－2，x2＝1；故交点坐标为（-2，0）和（1，0）.
9．不等式
的解集是（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】为绝对值不等式，由绝对值不等式性质，得x－3＞2或x－3＜－2，解得x＞5或x＜1，则不等式的解集是
．
10．已知圆
，经过点P（1，0）作该圆的切线，切点为Q，则线段PQ的长为（ ）．
A．4
B．8
C．10
D．16
【答案】A
【解析】将圆方程改写为（x＋2）2＋（ｙ－4）2＝9，则可知该圆圆心为（－2，4），半径为3；点P到圆心的距离为
＝5，由圆的性质及勾股定理，得PQ＝4.
11．已知平面向量a＝（1，1），b＝（1，－1），则两向量的夹角为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】两向量的乘积ab＝1×1＋1×（－1）＝0，则两向量垂直，即ab两向量的夹角为90°．
12．若
，则（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】将此不等式分解为：0＜
＜2；0＜
＜2；
．解不等式组，得1＜a＜b＜100．
13．设函数
，则
（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】令x＝y－1，代入函数，得：f（y－1）＝
，由函数性质，可知：
．
14．设两个正数a，b满足a＋b＝20，则ab的极大值为（ ）．
A．400
B．200
C．100
D．50
【答案】C
【解析】已知a，b为正数，则a＋b＞
，又a＋b＝20，即：20＞，解得ab＜100，则ab的极大值应为100．
15．将5本不同的历史书和2本不同的数学书排成一行，则2本数学书恰好在两端的概率为（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】D
【解析】七本书总共的排列顺序有
＝5040种，两本数学书恰好在两端的排列顺序有
＝240种，则2本数学书恰好在两端的概率为
＝．
16．在等腰三角形ABC中，A是顶角，且
，则cosB＝（ ）．
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由题意知，
＝120°，又A是顶角且为等腰三角形，故
＝30°，则cosB＝
．
17．从1，2，3，4，5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共有（ ）．
A．80个
B．60个
C．40个
D．30个
【答案】B
【解析】从五个数中任取不同的三个数共有
＝10种方式，将其排列成一个三位数有
＝6种排列方法，则从1，2，3，4，5中任取3个数，组成的没有重复数字的三位数共＝60个．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案写在答题卡相应题号后。
18．计算
＝______
【答案】7
【解析】
，
，则原式＝9－2＝7．
19．曲线
在点（1，－1）处的切线方程为_____
【答案】y＝x－2
【解析】对曲线方程求导得
，故得出在点（1，－1）处切线斜率为1，则设切线方程为y＝x＋b，将点（1，－1）代入，得y＝x－2．
20．等比数列
中，若
，公比为
，则
______
【答案】
【解析】由题意可知，，公比为，则
＝32，该等比数列通式为
，将n＝5代入，得
＝32×
＝．
21．某运动员射击10次，成绩（单位：环）如下：
则该运动员的平均成绩是_____环.
【答案】8.7
【解析】将十次成绩相加，再除以10，得该运动员的平均成绩为8.7．
三、解答题：本大题共4小题，共49分。解答应写出推理、演算步骤并将其写在答题卡相应题号后。
22．已知△ABC中A＝110°，AB＝5，AC＝6，求BC（精确到0.01）（本小题满分12分）
解：根据余弦定理
23．已知数列
的前n项和
，求
（Ⅰ）
的前三项；
（Ⅱ）的通项公式
解：（Ⅰ）因为
，则
（Ⅱ）当n≥2时，
当n＝1时，
，满足公式
则数列
的通项公式为
．
24．设函数
，（本小题满分12分）
（I）函数f（x）的导数；
（Ⅱ）函数f（x）在区间[1，4]的最大值与最小值
解：（1）因为函数
，则
（Ⅱ）令
，解得x＝3或x＝－1；比较f（1），f（3），f（4）的大小，有
f（1）＝1－3－9＝－11；
f（3）＝27－27－27＝－27；
f（4）＝64－48－36＝－20；
则函数
在区间[1，4]的最大值为－11，最小值为－27．
25．设椭圆的焦点为
，其长轴长为4.（本小题满分13分）
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）设直线
与椭圆有两个不同的交点，其中一个交点的坐标是（0，1），求另一个交点的坐标
解：（Ⅰ）椭圆的标准方程为
；已知椭圆的焦点为
，则其焦距
；椭圆的长轴长2a＝4，则a＝2；其短半轴长b为
则椭圆的方程为
（Ⅱ）已知直线与椭圆的一个交点为（0，1），将该交点坐标代入直线方程，得m＝1，即
将直线与椭圆的方程联立得
解得另一交点坐标为 
．