第1部分 高等数学
第1章 函数、极限、连续
一、函数
1．函数的概念
设数集
，则称映射
为定义在D上的函数，简记为
，其中x称为自变量，y称为因变量，D称为定义域．记作
，即
．函数值
的全体所构成的集合称为函数
的值域，记作
或
，即
．
2．函数的表示法
表格法、图形法、解析法（公式法）
二、函数的性质
1．有界性
（1）上界：若
，对
，有
，则称函数在I上有上界，而
称为函数在I上的一个上界．
（2）下界：若
，对有
，则称函数在I上有下界，而
称为函数在I上的一个下界．
（3）有界：若对，
，总有
，则称在I上有界．
2．单调性
（1）单调递增：当
时，
．
（2）单调递减：当时，
．
3．周期性
（1）定义：
（
为正数）．
（2）最小正周期：函数所有周期中最小的周期称为最小正周期．
4．奇偶性
的定义域关于原点对称，则：
（1）偶函数：
，图形关于
轴对称．
（2）奇函数：
，图形关于原点对称．
三、特殊函数
1．复合函数
形如
（其中
）的函数称为复合函数．复合函数要注意其定义域．
2．分段函数
对于自变量
的不同取值范围，对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数．
3．反函数
（1）定义
设函数
是单射，则它存在逆映射
，映射
称为函数的反函数．
（2）性质
①当在D上是单调递增函数，在上也是单调递增函数；
②当在D上是单调递减函数，在上也是单调递减函数；
③的图像和的图像关于直线
对称．
4．隐函数
如果变量
满足一个方程
，在一定条件下，当取区间I任一值时，相应地总有满足该方程的唯一的存在，则称方程在区间I确定了一个隐函数．
四、初等函数
1．基本初等函数的性质和图像
（1）幂函数
①表达式：
；
②定义域：使
有意义的全体实数构成的集合；
③单调性：
a．当n＞0时，图象过点（0，0）和（1，1），在区间
上是增函数；
b．当n＜0时，图象过点（1，1），在区间上是减函数．
（2）指数函数
①表达式：
；
②定义域：R；
③值域：
；
④过定点：（0，1）；
⑤单调性：
a．当
时，
在R单调递增；
b．当
时，在R上单调递减．
⑥图像
图1-1 指数函数图像
（3）对数函数
①表达式：
；
②定义域：
；
③值域：R；
④过定点：（1，0）；
⑤当
时，
；
⑥单调性：
a．当
时，
是
上的增函数；
b．当时，是上的减函数．
⑦反函数：
．
⑧运算公式
⑨图像
图1-2 对数函数图像
（4）三角函数
表1-1 三角函数的性质和图像
（5）反三角函数
表1-2 反三角函数的性质和图像
2．初等函数定义
由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数，称为初等函数．
五、极限
1．数列极限
（1）定义
．
（2）性质
①唯一性
如果数列收敛，则它的极限唯一．
②有界性
如果数列收敛，则数列一定有界．
③保号性
如果
且a＞0（或a＜0），则存在正整数N＞0，当n＞N时，都有
（或
）．
④收敛数列与其子数列间的关系
如果数列
收敛于a，则它的任一子数列也收敛，且极限也是a．
（3）四则运算
如果
，则：
①
；
②
；
③当
；
且
时，有
．
（4）极限存在两个准则
①夹逼准则
若存在N，当n＞N时，
，且
，则
存在，且等于
．
②单调有界准则
单调有界数列必有极限．
2．函数极限
（1）定义
（2）左、右极限
①左极限：
；
②右极限：
．
（3）极限存在和左、右极限的关系
．
（4）极限的性质
①唯一性
如果
存在，则这极限唯一．
②局部有界性
如果
，则存在常数M＞0和
，使得当
时，有．
③局部保号性
a．如果，且A＞0（或A＜0），则存在常数，使得当时，有
（或
）；
b．如果
，则存在
的某一去心邻域
，当
时，有
．
（5）极限的四则运算
如果
，则：
①
；
②
；
③若又有，则
（6）极限存在两个准则
①夹逼准则1
如果数列
、
及
满足下列条件：
a．从某项起，即
，当
时，有；
b．，
则数列的极限存在，且．
②夹逼准则2
如果
a．当
（或
）时，
；
b．
，
则
存在，且等于
．
（7）两个重要极限
及
．
六、无穷小与无穷大
1．无穷小
当
（或
）时，函数f(x)的极限为零，则函数f(x)称为当（或）时的无穷小．
2．无穷大
若
（或
），则f(x)称为x→x0（或）时的无穷大．
3．无穷小的比较
设α、β是在同一个自变量的变化过程中的无穷小，则：
（1）高阶无穷小：如果
，则就说
是比
高阶的无穷小，记作
．
（2）低阶无穷小：如果
，则就说是比低阶的无穷小．
（3）同阶无穷小：如果
，则就说与是同阶无穷小．
（4）k阶无穷小：如果
，则就说是关于的
阶无穷小．
（5）等价无穷小：如果
，则就说与是等价无穷小，记作
．
4．一些常用的等价无穷小量
七、函数连续性与间断点
1．函数的连续性
设函数y＝f(x)在点x0的某一邻域内有定义，如果
则称函数y＝f(x)在点x0连续．
2．左连续与右连续
（1）左连续
如果存在且等于
，即
，则称函数f(x)在点左连续．
（2）右连续
如果存在且等于，即
，则称函数f(x)在点右连续．
3．间断点
（1）函数间断点的定义
函数f(x)在点处不连续，则称点为函数f(x)的不连续点或间断点．如果是函数f(x)的间断点，但左极限
及右极限
都存在，则称为函数f(x)的第一类间断点．不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点．
（2）函数间断点的类型
①第一类间断点
a．可去间断点：在间断点函数左右极限相等．
b．跳跃间断点：在间断点函数左右极限不相等．
②第二类间断点
a．无穷间断点：在间断点函数极限为无穷大（无穷小）．
b．振荡间断点：在间断点函数值在一个区间变化．
八、连续函数的性质和初等函数的连续性
1．连续函数的和、差、积、商的连续性
设函数f(x)和g(x)在点连续，则它们的和（差）
、积
及商
（当
时）都在点连续．
2．反函数与复合函数的连续性
（1）反函数的连续性
如果函数
在区间
上单调增加（或单调减少）且连续，则它的反函数
也在对应的区间
上单调增加（或单调减少）且连续．
（2）复合函数的连续性
①定理1
设函数
由函数与函数
复合而成，
．若
，而函数在
连续，则
②定理2
设函数是由函数与函数复合而成，
．若函数在
连续，且
，而函数在连续，则复合函数在也连续．
3．初等函数的连续性
（1）基本初等函数在它们的定义域内都是连续的．
（2）一切初等函数在其定义区间内都是连续的．
注：定义区间，就是包含在定义域内的区间．
4．闭区间上连续函数的性质
（1）最大值、最小值定理
①定理
在闭区间上连续的函数在该区间上有界且一定能取得它的最大值和最小值．
②最大值
对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有
，使得对于任一
都有
则称是函数f(x)在区间I上的最大值．
③最小值
对于在区间I上有定义的函数f(x)，如果有，使得对于任一都有
则称是函数f(x)在区间I上的最小值．
（2）零点定理
①零点
如果存在使
，则
即为函数f(x)的零点．
②零点定理
设函数f(x)在闭区间
上连续，且f(a)与f(b)异号（即
），则在开区间
内至少有一点
，使
．
（3）介值定理
设函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，且在区间的端点取不同的函数值
及
，则对于A与B之间的任意一个数C，在开区间（a，b）内至少有一点ξ，使得
