第2章　连续系统的时域分析

2.1　复习笔记

一、LTI连续系统的响应

1．微分方程的经典解

该微分方程的全解由齐次解y_h（t）和特解y_p（t）组成，即

齐次解y_h（t）是微分方程的解。y_h（t）的函数形式仅与系统本身的特性有关，而与激励f（t）的函数形式无关，称为系统的固有响应或自由响应。

特解y_p（t）的函数形式由激励信号确定，称为强迫响应。

2．零输入响应

激励为零时，仅由系统的初始状态所引起的响应称为零输入响应，用表示。在零输入条件下，（2.1）式右端为零，化为齐次方程，即

若其特征根都为单根，则零输入响应为

式中为待定系数。由于激励为零，故有初始值为

3．零状态响应

系统的初始状态为零时，仅由输入信号所引起的响应称为零状态响应，用表示。此时（2.1）式如下

初始状态。若微分方程特征根都为单根，则零状态响应为

式中为待定系数，为方程的特解。

4．全响应

如果系统的初始状态不为零，在激励f（t）的作用下，LTI系统的响应称为全响应，它是零输入响应和零状态响应之和，即。

二、关于初始状态的讨论

10_－状态和0_＋状态

0_－状态称为零输入时的初始状态，即初始值是由系统的储能产生的；0_＋状态称为加入输入后的初始状态，即初始值不仅有系统的储能，还受激励的影响。

2．从0_－状态到0_＋状态的跃变

（1）当系统已经用微分方程表示时，系统的初始值从0_－状态到0_＋状态有没有跳变决定于微分方程右端自由项是否包含δ（t）及其各阶导数。

（2）如果包含有δ（t）及其各阶导数，说明相应的0_－状态到0_＋状态发生了跳变。

3．0_＋状态的确定

（1）已知0_－状态求0_＋状态的值，可用冲激函数匹配法。

（2）求0_＋状态的值还可以用拉普拉斯变换中的初值定理求出，见第5章内容。

三、冲激响应和阶跃响应

1冲激响应

由单位冲激函数δ（t）所引起的零状态响应称为单位冲激响应，记为h（t），即h（t）＝T[{0},δ（t）]。

2．阶跃响应

输入信号为单位阶跃函数ε（t）时系统的零状态响应，称为阶跃响应，即g（t）＝T[{0},ε（t）]。

四、卷积积分

1卷积积分的定义

已知定义在区间（–∞，＋∞）上的两个函数f₁（t）和f₂（t），则定义积分

为f₁（t）与f₂（t）的卷积，记为f（t）＝f₁（t）*f₂（t）。

2．卷积的计算

（1）图解法的步骤为:换元→反转→平移→相乘→积分。

（2）解析法：利用定义式和性质计算。

五、卷积积分的性质

1卷积的代数运算：满足交换律、分配律、结合律。

2．微分性质

3．积分性质

4．微积分性质

5．奇异函数的卷积

6．时移性质

若，则。