第四篇　生产与供给

第9章　生产函数

1．动力山羊草坪公司使用两种大小不同的割草机割草。较小的割草机有一个22英尺长的刀片，并被用于有许多树和障碍物的草地上。较大的割草机是小割草机的两倍大小并被用于机器性能发挥比较好的开阔草坪上。动力山羊的两个生产函数如下表：

a．画出第一个生产函数q＝40000平方英尺的等产量线。如果不产生浪费，应该投入多少k和l？

b．对第二个生产函数回答问题a。

c．如果40000平方英尺草地中的一半由第一种生产函数来完成，另一半由第二种生产函数来完成，为了不浪费，应该使用多少k和l？如果第一种方法割1/4，第二种方法割3/4，应该使用多少k和l？k和l是分数意味着什么？

d．在你对问题c的回答的基础上，画出结合两种生产函数的q＝40000的等产量线。

解：对于每一种除草机，由于它们需要的资本投入和劳动投入的比例是固定的，所以生产函数是固定比例型的生产函数，即：

a．对于第一种生产函数，q＝40000平方英尺的等产量线如图9-1所示。将q＝F₁＝40000代入大型除草机的生产函数，得：

由此可知最优投入为k₁＝10，l₁＝5。

图9-1　等产量线

b．对于第二种生产函数，q＝40000平方英尺的等产量线如图9-1所示。把q＝F₂＝40000代入小型除草机的生产函数，得：

由此可知最优投入为k₂＝8，l₂＝8。

c．如果40000平方英尺中的一半由第一种生产函数完成，一半由第二种生产函数完成，则把F₁＝20000，F₂＝20000分别代入大型除草机和小型除草机的生产函数，得到：

，

解得：k₁＝5，l₁＝2.5；k₂＝4，l₂＝4。从而得到：

如果3/4的草坪由第一种生产函数完成，而1/4的草坪由第二种生产函数完成，则采用类似的方法可得：k＝9.5，l＝5.75。

d．假设大型除草机完成40000平方英尺草坪中的S份，其余的由小型除草机完成，则：

从而可以解得：

因而有：k＝k₁＋k₂＝8＋2S，l＝l₁＋l₂＝8－3S。

进而可得：3k＋2l＝40即为所求的等产量线，如图9-2所示。

图9-2　同时使用两种除草机时的等产量线

2．假设小饰品的生产函数是：

q＝kl－0.8k²－0.2l²

其中，q表示每年生产的小饰品总量，k表示每年的资本投入量，l表示劳动投入量。

a．假设k＝10，画出劳动的总产量线和平均产量线。劳动投入什么时候能使平均产量最大？此时生产了多少小饰品？

b．同样假设k＝10，画出MP_l曲线。在哪一点劳动投入使得MP_l＝0.7？

c．假设资本投入增加到k＝20。a、b中的答案如何变化？

d．小饰品生产函数是规模报酬不变、递增还是递减的？

解：a．当k＝10时，总产出函数为，总产出最大化的一阶条件为：

解得：l＝25，又因为，所以总产出曲线是凹的，使总产量最大化的劳动投入为l＝25，劳动的总产出曲线如图9-3（a）所示。

图9-3　劳动的总产出、平均产出和边际产出曲线

劳动投入的平均产出为：，如图9-3（b）所示。

从而可以解得使平均产量最大的劳动投入量为：l＝20。平均产出曲线如图9-3（b）所示。此时总产量TP＝l×AP_l＝40。

b．当k＝10时，劳动的边际产出为：MP_l＝10－0.4l，边际产出曲线如图9-3（b）所示。由10－0.4l＝0可以解得：l＝25。

c．当k＝20时，生产函数为：；

因而劳动的平均产量为：，在l＝40，q＝160处达到最大；

边际产量为：MP_l＝20－0.4l，在l＝50处为零。

d．因为：

所以，该函数是规模报酬递增的。

3．山姆·马龙正在考虑改良切尔斯酒吧的座椅。新座椅的生产函数是：q＝0.1k^0.2l^0.8。

其中，q是在改良的一周内生产的座椅的数量，k表示在这一周内生产座椅的车床的使用时间（小时），l表示这段时间内雇用的工人数量。山姆想生产10把新的酒吧座椅，并且他为这一工程做出了10000美元的预算。

a．山姆考虑到使用一台座椅加工车床和雇用一个熟练的技术工人的成本是相等的（每小时50美元），因此他打算使用同样多的这两种投入。如果这样生产，他对这两种要素的投入各是多少？改良工程的成本是多少？

b．诺姆（对于酒吧座椅有一些了解）认为山姆又一次忘记了微观经济学。他断言山姆应该选择两种投入的数量使其边际（而非平均）生产率相等。如果山姆选择了这个计划，每种投入要素应该各是多少？整个改良工程的成本是多少？

c．因为听说采用诺姆的方案后会剩余一部分钱，克里夫建议山姆用剩余的钱添置更多的座椅，以便为他在邮政署的同事提供更多的座位。如果山姆采用诺姆的建议，他用预算内的钱能够多添置几把座椅？

d．卡拉担心克里夫的建议会增加她为客人送食物的工作量。她如何说服山姆坚持他起初只改良10把座椅的计划呢？

解：a．由于山姆所使用的车床和工人工作的时长一样，即k＝l，且，则可得k＝100，l＝100。

此时，总成本为：100×50＋100×50＝10000（美元）。

b．，，令可得：l/k＝4；

再由，可以解得：k＝33，l＝132。

因而此时的总支出为：50×（33＋132）＝8250（美元）。

c．由于该生产函数是规模报酬不变的，所以所有要素同时增加，产出将按比例增加，增加的比例为：10000÷8250＝1.21。因此q＝12.1。

d．卡拉影响山姆计划的能力取决于她对于切尔斯酒吧而言是否能视为一个惟一的投入。

4．假设蜡笔（q）的生产在两个地点进行，并且劳动（l）是唯一的投入要素。地点1的生产函数是，地点2的生产函数是。

a．假设只有一个工厂，该工厂在两个地点都可以生产，并且希望在给定劳动投入的条件下产量越多越好。那么，工厂将如何分配劳动量？请准确解释l₁和l₂的关系。

b．假设工厂按a中的高效率方式运营着，总产量q将如何依赖于劳动总投入l？

解：a．设工厂的劳动投入为l，则工厂产量最大化问题为：

构造朗格朗日函数：

一阶条件：

解得：

为使在给定劳动投入为l的条件下，产量越多越好。工厂将分配劳动量，两者的关系为。

b．假设工厂按a中的高效率方式运营着，此时，工厂的生产函数为：

5．如我们在许多地方看到的，两种投入的柯布—道格拉斯生产函数的一般形式为：

其中，0＜α＜1，0＜β＜1。

对于此生产函数：

a．证明：。

b．证明：，。

c．在本章脚注5中，我们将规模弹性定义为：

在t＝1时估计表达式的值。证明，对于柯布一道格拉斯函数。也就是说在这个例子中，规模弹性和生产函数的规模报酬是一致的。

d．证明此函数的图形是拟凹的。

e．证明当α＋β＜1时，该函数图形是凹的，当α＋β≥1则不是。

证明：a．由生产函数可得：

b．由产出弹性的定义可得：

c．对于，由规模弹性的定义可得：

d．由a可知，由于柯布—道格拉斯生产函数的海塞矩阵是负定的，即：

所以，该函数是拟凹的。

e．根据函数凸凹性判定定理：

如果α＋β＜1，则上式将为正，从而该函数是凹的；

如果α＋β≥1，则上式为负，该函数则不是凹的。

6．对于规模报酬不变的CES生产函数

a．证明：，。

b．证明：，并利用此来证明。

c．求出k与l的产出弹性，并证明它们的和等于1。

d．证明，因此得到：。

注意：后一个等式在实证中很有用，因为我们将通过既定的、竞争性的工资率来估算的近似值。因此，σ的值可通过ln（q/l）对lnw的回归估计出来。

解：a．l的边际产出为：

同理可得：。

b．技术替代率为：

从而有：

c．k与l的产出弹性分别为：

从而有：

d．因为，所以有：

，

7．考虑例9.3中生产函数的一般形式：

其中，，i＝0，…，3。

a．如果该函数是规模报酬不变的，对于参数β₀，…，β₃有何约束？

b．证明在规模报酬不变的情形下，该函数边际生产率递减且其边际生产率函数是零阶齐次函数。

c．计算此时的σ值。尽管σ不是普通常数，当β取什么值时σ＝0，1或∞？

解：a．生产函数呈现规模报酬不变是指当所有的生产要素的数量增加为原来的t（t＞1）倍时，产出也会同比例增长。对本题的生产函数而言，规模报酬不变就意味着下式成立：

即：

解得β₀＝tβ₀，由于t＞1，所以β₀＝0。即β₀＝0时，本题的生产函数是规模报酬不变的。

b．规模报酬不变时，边际生产函数为：

又由于：

所以MP_l递减，即：

所以MP_k递减。此外，

所以是零齐次的；

同样

所以是零次齐次的。

c．

显然随着k、l值的不同，σ的值也将不同。

当δ＝0时，生产函数为固定投入比例生产函数，此时β₁＝0，且β₂＝β₃＝0，即k和l的边际产出为零。

当δ＝1时，生产函数一般为科布—道格拉斯型的，所以有：β₀＝0，β₂＝β₃＝0。

当时，生产函数为线性，所以有：β₁＝0。

8．证明：欧拉定理表明对于规模报酬不变的生产函数，存在：

使用该结论证明对于该生产函数，如果，MP_k一定是负值。这对于生产在何处进行有什么启示？一个厂商可能在AP_l处于上升阶段的点上组织生产吗？

证明：（1）由题意知：，对该式变形得：

由于，所以，即MP_k为负数。

（2）这意味着企业应该在MP_k＞0时，即，也即劳动力的平均产出递减的产量处生产。

（3）由（1）﹑（2）可知，一个企业不能够在AP_l递增的点进行生产，因为AP_l递增就意味着，从而MP_k为负数，此时增加要素投入量反而会导致产量下降。

9．局部规模报酬

规模弹性在t＝1时的值给出了局部测算生产函数规模报酬的方法。

a．证明生产函数规模报酬不变时，。

b．我们将投入k和l的产出弹性定义为：

证明：e_q，t＝e_q，k＋e_q，l。

c．一个规模弹性是变量的函数：

q＝（1＋k^－1l^－1）^－1

证明对此函数，当q＜0.5时，；当q＞0.5时，。

d．从直观上解释你从c中得到的结果。提示：生产函数的q是否有上限？

证明：a．由题意得生产函数呈现规模报酬不变时，即对任意的t＞1，有：

生产函数规模报酬不变时有：

b．令K＝tk，L＝tl，则由规模弹性公式可知：

c．若生产函数为，则两种生产要素的边际产出分别为：

此时的规模弹性为：

所以，当q＜0.5时，；当q＞0.5时，。

d．关于规模弹性的直观解释是这个生产函数的q有上限l，并且从增加投入所获得的收益会随着q不断接近这个上限而下降。

10．尽管我们对各种不同的生产函数的替代弹性进行测度时，都假设其是规模报酬不变的，但在很多情况下这种假设是不必要的。本问题阐述其中的一些情况。

a．从本章脚注6我们看到，在规模报酬不变的情况下，两种投入生产函数的替代弹性是：

我们现在假定一个齐次生产函数F，F（k，l）＝[f（k，l）]^γ。

其中，f（k，l）是规模报酬不变的生产函数，γ是正指数。证明该生产函数的替代弹性和函数f的替代弹性相同。

b．说明如何将此结果应用于柯布一道格拉斯生产函数和CES生产函数。

解：a．单调变换并不影响RTS，即：

因此，由定义可知，两个函数的σ都是相同的。

b．对于柯布—道格拉斯函数而言，有：

经过单调变化可得：

从而有：

因此，对于科布—道格拉斯函数而言，经过单调变换后，其RTS没有改变，所以其替代弹性也不会发生改变。

类似的，对于CES函数而言，其RTS为：（参见本章第6题），不受单调变化的影响。因而其替代弹性也不会受单调变换的影响。

11．欧拉定理的进一步讨论

假设生产函数是k次齐次的。运用欧拉定理，可证明。

利用这个结果，可以证明f的偏导数是k－1次齐次的。

a．证明。

b．当n＝2，k＝1时，a中的结果会给二阶偏导数f₁₂带来什么限制？当k＞1或k＜1时，结论会发生什么变化？

c．如何将b部分的结论推广到任意种要素投入的生产函数？

d．该问题对多变量的柯布—道格拉斯生产函数的参数α_i有何启示？

解：a．由其次函数的定义可知，对于任意的t＞0，有：

　①

①式两边同时对t求一阶导数得：

　②

对于②式再对t求导得：

　③

又由于f的偏导数是k－1次齐次的，即：

代入③式整理得：

b．将n＝2，k＝1代入a中表达式，得。

根据边际生产率是递减的，有f₁₁＜0，f₂₂＜0，因为x₁，x₂表示数量，都是大于0的，要保证上述等式成立，则有f₁₂＞0，即在规模报酬不变的情况下，随着一种要素投入的增加，另一种要素的边际产出会增加。

当k＞1时，生产函数是规模报酬递增的，此时，因为f₁₁＜0，f₂₂＜0，所以f₁₂＞0，即在规模报酬递增的情况下，随着一种要素投入的增加，另一种要素的边际产出会增加。

当时，生产函数是规模报酬递减的，此时，因为f₁₁＜0，f₂₂＜0，此时f₁₂的符号不能确定，因此在规模报酬递减的情况下，随着一种要素投入的增加，另一种要素的边际产出状况不确定。

c．当投入的生产要素大于2种时，在边际生产率递减规律的假设下，，，此时并不能确定任何偏导数的符号。当k＝1或k＞1时，，此时至少有一个偏导数是大于0的；当k＜1时，与两种投入要素的情况一样，偏导数的符号是不能确定的。

d．，对于任意的t＞0，有

因此多变量的柯布—道格拉斯生产函数的规模报酬取决于。

对函数求偏导可得：

由a中证明可知对f的偏导数是k－1次齐次的，即

故当k＞1时，；

当k＝1时，；

当k＜1时，。