第4章　效用最大化与选择

1．三年级学生保罗每天在校用餐，它只喜欢奶油小蛋糕（t）和橘子汁（s），他从中得到的效用为：

a．如果每份奶油小蛋糕为0.1美元，每杯橘子汁0.25美元，为了使效用最大化，保罗应该如何将妈妈给他的1美元伙食费分配在这两种食物上？

b．学校为了减少奶油小蛋糕的消费，将其价格提高到每份0.4美元，那么为了让保罗得到与a中相同的效用，妈妈要多给他多少美元伙食费？

解：a．对效用函数进行单调变换，令V（t，s）＝[U（t，s）]²＝ts，这并不改变偏好次序。

保罗效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：



解得：s＝2，t＝5。

因此，他所获得的效用：。

b．消费品奶油小蛋糕价格提高了，但效用水平却保持不变，则保罗面临如下的支出最小化问题：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

　（1）

　（2）

　（3）

由上述三式解得t＝2.5，s＝4，则最小支出为：m₁＝0.4×2.5＋0.25×4＝2，所以妈妈现在要多给他1美元伙食费（即给他2美元伙食费）使他的效用水平保持不变。

2．a．一位年轻的品酒师欲支出600美元建一座小酒窖，他特别喜欢两种酒：一种是1997年生产的法国波尔多白葡萄酒（w_F），每瓶价格为40美元；另一种是稍微便宜的2005年产的加利福利亚葡萄酒，每瓶8美元。如果他的效用函数如下式所示，则他应该在每种酒上花多少钱？

b．当他来到酒店时，我们年轻的品酒师发现由于法郎贬值，法国波多尔白葡萄酒（w_F）已经降到每瓶20美元，如果加利福尼亚葡萄酒依旧是每瓶8美元，此时，在价格已变的条件下，为达到最大效用，每种酒的购买量应为多少？

c．解释为什么这个品酒师在b的情况下要比a更好。你如何用货币值来衡量这个效用的增加？

解：a．由题意得，该酒品师的效用最大化问题为：

根据消费者均衡条件得：

联立预算方程解得：

此时，消费者效用最大化时两种酒上的花费分别为：

即在法国波尔多白葡萄酒和加利福尼亚葡萄酒上的花费分别为400美元和200美元，此时该调酒师的效用达到最大化。

b．法国波多尔白葡萄酒（w_F）已经降到每瓶20美元，此时的预算约束方程可写为：

利用a中的方法可得：

联立预算约束方程解得：

即调酒师效用最大化的每种酒的购买量分别为20，25。

c．在a中，效用，在b中，效用；

因此u（10，25）＜u（20，25），即这个品酒师在b的情况下要比a更好。法国波多尔白葡萄酒（w_F）降价，使得该调酒师对波多尔白葡萄酒的实际购买力增加，此时，货币的边际效用变得更大。

3．a．在某一个晚上，J.P.以下列函数的形式享用雪茄（c）和白兰地（b）：U（c，b）＝20c－c²＋18b－3b²，那么他这天晚上要抽多少支雪茄，喝多少瓶白兰地酒才能得到最大效用（假定他不受预算约束）？

b．后来，J.P.的医生告诫他：每天喝的白兰地与抽的雪茄加起来不能超出5单位。在这一条件约束下，他会喝多少白兰地，抽多少雪茄呢？

解：a．在无约束下，J.P.的效用最大化问题为：

一阶条件为：

从而可知J.P.所获得的最大效用为：U＝127。

b．J.P.所受的约束为：b＋c＝5，此时他的效用最大化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：b＝1，c＝4，U＝79。

4．a．Ball先生享用商品x和y所得的效用函数为：

如果P_X＝3美元，P_Y＝4美元，而他的总收入为50美元，求他所能获得的最大效用？

提示：求U²的最大值要比求U的最大值方便得多，但这种方法为什么不影响计算结果呢？

b．画出Ball的无差异曲线，并指出无差异曲线与预算线的切点，图形是如何描述Ball的行为的？你找到真正的最大值了吗？

解：a．因为U²可由U经过单调变换得到，所以，最大化U²同时也就使U最大化的。因此，Ball的效用最大化问题可以表述为：

最优化问题的拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：x＝6，y＝8，U＝10。

b．Ball的无差异曲线如图4-1所示，显然该无差异曲线没有递减的MRS。无差异曲线与预算线的切点如图4-1中的A点所示。在A点处，仅满足效用最大化的必要条件，但是不满足充分条件，因而A点不是一个局部最优点，效用最大化的点应该是B点，奥德鲍尔将其所有的收入用于购买x，而y商品的购买为零。在这里，他的效用函数不是凸的，而是凹的。在偏好为凹的情况下，效用最大化点一定在边界上取得。

图4-1　Ball的无差异曲线图

5．A先生从马丁尼酒（m）中所得的效用与马丁尼酒的消耗量成正比：U（m）＝m。A先生特别喜欢他的马丁尼，但他只喜欢喝将杜松子酒（g）与苦艾酒（v）按2︰l的固定比例混合而成的马丁尼酒，因此，我们可以将A先生的效用函数改写为：

U（m）＝U（g，v）＝min（g/2，v）

a．画出A先生以g与v为变量的各种效用水平的无差异曲线，请说明无论这两种配料酒的价格如何，A先生永远不会改变他配制马丁泥酒的方法。

b．求出对g与v的需求函数。

c．利用b的结论，求出A先生的间接效用函数。

d．试计算A先生的支出函数；对于每一种效用水平，将支出表示成p_g和p_v的函数。

提示：这个问题涉及固定比例的效用函数，因此你不能使用微积分来求解效用最大化的决策。

解：a．A先生的无差异曲线如图4-2所示。无论商品g与v的相对价格（即预算线的斜率）如何，效用最大化的点始终是无差异曲线的折点，即满足g/2＝v也即g＝2v的点。

图4-2　A先生的无差异曲线

b．将g＝2v代入预算约束可得：

从而可以解得：，。

c．因为U＝g/2＝v，将或代入效用函数中，得间接效用函数为

d．利用对偶性可得，支出函数为：

6．假设一位快餐爱好者的效用取决于三种商品：软饮料（x），汉堡包（y）和冰淇淋圣代（z），根据柯布—道格拉斯效用函数，有

U（x，y，z）＝x^0.5y^0.5（1＋z）^0.5

同时假设这些商品的价格分别为：p_x＝1，p_y＝4，p_z＝8，该消费者的收入为I＝8。

a．证明：当z＝0，效用最大化得到的的最优选择与例4.1相同。同时证明z＞0（哪怕z非常小）时的任何选择都会使效用减少。

b．你如何解释z＝0时达到最优这一事实？

c．为了购买z，这个人的收入要有多高？

解：a．当z＝0时，效用函数为，根据柯布—道格拉斯效用函数的性质可得：

此时效用U＝（4）^0.5（1）^0.5＝2，与例4.1结果相同。

如果z＝1，则U＝0，因为x＝y＝0。

如果z略大于0（不妨设z＝0.1），则利用柯布—道格拉斯效用函数的性质可得：

因而效用为：

b．在x＝4，y＝1，z＝0处，有：

因而在z＝0处，从z获得的边际效用“不值”商品的价格。效用函数中的“1”导致了z在任何正的数量时已经具有递减的边际效用。商品z满足“互补松弛”原理。

c．如果收入I＝48，则最优选择为：x＝16，y＝4，z＝1（可以利用拉格朗日方法求解，此处略去）。为了找到在任何处的购买量，可以利用柯布－道格拉斯函数的性质，即：

从而可得：或，因此，对于z＞0，必有I＞2P_z＝4。

7．图4-3中所示的一次总付原则不仅可以应用于税收，也可以应用于转移支付。这个问题研究该原则在此政策下的应用。

图4-3　税收中的一次总付原则

a．用与图4-3类似的图解释在政府花费相同的情况下，对一个人进行收入补贴比对物品x进行补贴提供了更多的效用。

b．利用柯布－道格拉斯支出函数，计算需要多少额外购买力才能将这个人的效用从U＝2提高至U＝3。

c．再次使用，估算为了将这个人的效用从U＝2提升至U＝3，需要对商品x进行补贴的程度，并和b中得到的结果进行比较。

d．习题4.10要求你计算的支出函数是与比例4.4的情形更一般化的柯布—道格拉斯效用函数相对应的。当a＝0.3（这个数字接近于低收入的人花费在食物上的收入份额）时，再次使用这个支出函数，回答b和c的问题。

e．如果使用所示的固定比例情况下的支出函数，你应该如何修改对本问题的计算？

解：a．如图4-4所示，收入补贴可以使消费者预算线向右平行移动，在新的最优点C处消费者的效用要大于对商品x进行补贴后消费者达到最优点B处的效用，因此，相同数额的收入补贴比对商品x的补贴能够消费者带来更大的效用。

图4-4　一次性收入补贴与对商品x补贴下消费者境况的比较

b．商品价格P_x＝1，P_y＝4。对于方程4.52中的柯布—道格拉斯函数而言，其支出函数为：

当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×1^0.5×4^0.5×2＝8；

当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝2×1^0.5×4^0.5×3＝12；

要使这个人的效用从U＝2提高至U＝3所需要增加的支出为：

c．当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝2×1^0.5×4^0.5×2＝8，设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：

解得，对每单位x的补贴r＝5/9。

在此补贴价格下，消费者将选择购买：

此时的总补贴金额为，比b中的补贴额高5－4＝1。

d．当α＝0.3时，效用函数，最优的x和y的取值为：

将其带入效用函数，可求出对应的支出函数：

当个人的效用从U＝2提高到U＝3时，所需要增加的支出为：

同理可设在此条件下，对x的补贴为r时才能达到U＝3的效用水平。即有：

解得，对每单位x的补贴r≈0.74。

在此补贴价格下，消费者将选择购买：

此时的总补贴金额为0.74×16.81≈12.44，比b中的补贴额高12.44－4.86＝7.58。

e．方程4.54中的柯布—道格拉斯函数，其支出函数为：

当效用为U＝2时，支出E（1，4，2）＝（1＋0.25×4）×2＝4；

当效用为U＝3时，支出E（1，4，3）＝（1＋0.25×4）×3＝6；

因而所需要增加的支出为2。

在支出为4时，要满足效用水平为3，需要政府对价格进行补贴，假设补贴后

解得r＝2/3，故每单位需要补贴2/3。

在此价格下，消费者选择购买3个单位的x，政府补贴金额为2，价格补贴金额与在一次总付补贴下一致，因为固定比例下，消费者需求是固定比例，价格变化没有扭曲消费者行为。

8．考虑以下两个最简单的效用函数：

1．固定比例效用函数：U（x，y）＝min[x，y]

2．完全替代效用函数：U（x，y）＝x＋y

a．分别对以上两个效用函数，计算：对于x和y的需求函数、间接效用函数和支出函数。

b．根据a中的计算结果，解释它们为什么会是那样的形式。

解：a．设两种商品的价格分别为p_x，p_y，收入为m。

1．对于固定比例效用函数U（x，y）＝min[x，y]，均衡的消费满足：

解得两种商品的需求函数分别为：

将上式代入效用函数可得间接效用函数：

反解间接效用函数可得支出函数：

2．对于完全替代效用函数U（x，y）＝x＋y，分三种情况讨论均衡的消费：

（1）当p_x＞p_y时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费y，不消费x。

此时的需求函数：

间接效用函数：

支出函数：

（2）当p_x＜p_y时，由于x和y相互替代，此时消费者只消费x，不消费y。

此时的需求函数：

间接效用函数：

支出函数：

（3）当p_x＝p_y时，x和y无差异。

需求函数：

间接效用函数：

支出函数：

b．对于完全互补的两种商品来说，两种商品间按固定的比例进行消费，超出比例多消费任何一种商品都不会带来效用的增加，如果按1:1比例进行消费的两种商品，那么其效用函数为U（x，y）＝min{ x，y }，如图4-5所示；而对于对于完全替代的两种商品来说，两种商品间相互替代的比率是不变的，其效用函数为U（x，y）＝x＋y，如图4-6所示；

图4-5　完全互补

图4-6　完全替代

9．考虑包含两种商品的线性效用函数：U（x，y）＝ax＋by。计算与之对应的支出函数。提示：不同的价格比例会造成支出函数的扭曲。

解：由于两种商品的效用函数U（x，y）＝ax＋by，即此两种商品为完全替代品。设两种商品的价格分别为p_x，p_y，收入为m，预算约束方程为。下面分三种情况进行讨论：

（1）当时，此时商品x比y昂贵，最优选择满足：

此时的支出函数为：

（2）当时，此时商品x比y便宜，最优选择满足：

此时的支出函数为：

（3）当时，此时商品x与y无差异。此时的支出函数为：

分析问题

10．柯布—道格拉斯效用函数

在例4.1中，我们用到了柯布—道格拉斯效用函数U（x，y）＝x^αy^1－α，其中0≤α≤1这个问题说明了该函数的一些其他属性。

a．计算柯布－道格拉斯情况下的间接效用函数。

b．计算这种情况下的支出函数。

c．明确解释当x价格上升时，为了抵消其影响所需的补偿是如何与指数α的大小相关的。

解：a．对于柯布—道格拉斯效用函数，其相应的需求函数为：

将需求函数代入效用函数中，得间接效用函数为：

其中，。

b．利用对偶原理，可以从间接效用函数中解出支出函数为：

c．支出关于价格P_x的弹性值为：

即：x在效用函数中越重要，则支出份额中用于补偿其价格上涨的比例也越大。

11．CES效用函数

一般的CES效用函数可以表示为：

a．证明上述函数在约束条件下，效用最大化的一阶条件是消费者按一定比例选择商品，这个比例式为：

b．前面在讨论一些问题时已经说过：对于柯布—道格拉斯函数（δ＝0），消费者将在x与y之间平等分配费用，证明a中的结论也包含了这种情况。

c．p_xx/p_yy的值与δ的值有什么关系？直观地解释你的结论。（如果要对此函数进行更深入的探讨，参见本章扩展E4.3）

d．推导这种情况下的间接效用函数和支出函数，并运用齐次函数的性质加以检验。

解：a．对于此CES效用函数而言，在效用最大化时，有：

，

从而可以解得：

其中，σ＝1/（1－δ）。

b．如果δ＝0，则有x/y＝p_y/p_x，因而有，其中m为消费者收入，即消费者将在x与y之间平等分配费用。

c．由a可知，所以，当δ＜1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格正相关；当δ＞1时，收入中用于购买x的相对份额与其相对价格负相关。

d．支出最小化问题为：

设拉格朗日函数为：

一阶条件为：

从而可以解得：

所以，支出函数为：

由齐次函数的性质，对于任意的t＞0，可得：

所以，此支出函数是t的齐次函数。

12．Stone—Geary效用函数

消费者需要一定量的食品（x）来维持生存，假设这个量为x₀。一旦购买x₀的食品，消费者将从x₀与其他商品（y）得到效用：

其中，α＋β＝1。

a．证明：如果，则为了取得最大效用，消费者将会在食品x上花费，在商品y上花费。解释这一结果。

b．在这个问题上，如果收入增加，，的比值将会怎样变化？（有关此函数的进一步讨论请参见本章扩展EA.2。）

解：a．如果x＜x₀，则效用值为负，因而消费者将会首先支出。对于剩余的收入，这是一个标准的柯布—道格拉斯效用函数最大化问题，从而有：

b．由a以及预算约束条件可得：

对I取极限可得：

13．CES间接效用函数和支出函数

现在，我们讨论形式更标准的CES效用函数的间接效用函数和支出函数，函数形式如下：

该函数的替代弹性

a．证明此函数的间接效用函数为：

其中。

b．证明a中计算出的函数是关于价格和收入的零次齐次函数。

c．证明此函数是收入的严格递增函数。

d．证明对于任何价格，该函数都是严格递减的。

e．证明此种情况下的CES效用函数的支出函数为：

f．证明e中计算出的函数是关于商品价格的一次齐次函数。

g．证明支出函数是关于任何价格的递增函数。

h．证明函数是任何价格的凹函数。

解：a．设两种商品的价格分别为p_x，p_y，收入为I，则消费者效用最大化问题：

构造拉格朗日函数：

一阶条件：

解得：

将上式代入，得间接效用函数：

（其中）

b．对于任意正数t＞0，有：

所以说，函数是关于价格和收入的0次齐次函数。

c．，所以说此函数是收入的严格递增函数。

d．，所以说，对于任何价格，此函数是严格递减的。

e．反解间接效用函数得此函数的支出函数：

f．对于任意正数t＞0，有：

所以说，函数是关于商品价格的一次齐次函数。

g．，所以说支出函数是关于任何价格的递增函数。

h．对支出函数关于p_x求二阶偏导数得：

所以说，此函数是任何价格的凹函数。

14．利他主义

米歇尔有一个相对高的收入I，并且他十分同情生活贫困、收入很低的索菲亚。假设米歇尔的偏好可由以下效用函数表示：

此处c₁，c₂分别表示米歇尔和索菲亚的消费水平，函数形式和两商品的柯布一道格拉斯效用函数类似。假设米歇尔可以随意支配自己的收入，既可花在自己身上，也可花在索菲亚身上（通过慈善捐赠），并且1美元收入可为米歇尔或索菲亚带来1单位相等的效用（也就是说，消费的价格p₁＝p₂＝1）。

a．说明通过讨论a＝0和a＝1时的极端情况，指数a可用于衡量“利他”程度。当a的值为多少时，米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要）？

b．求解米歇尔的最优化选择，并说明其如何随着a的变化而变化。

c．假设所得税为t，求解此时米歇尔的最优化选择。在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税）的情况下，米歇尔的选择会发生怎样的变化？对于利他主义程度高和程度低的两种人，慈善捐款扣除对哪一种人的激励作用更大？

d．回到没有税收的简单情况下，假设米歇尔的利他主义可由以下效用函数表示：

该式和扩展E3.4相似，根据定义，米歇尔直接关心索菲亚的效用水平，间接关心索菲亚的消费水平。

1．若索菲亚的效用函数和米歇尔是对称的，即，计算米歇尔的最优选择，并和b中的结果加以对比，米歇尔的利他主义程度是更大还是更小？解释这一结果。

2．若索菲亚的效用函数为，重新分析上述问题。

解：a．当a＝0和a＝1时，此时米歇尔的效用函数分别为：

即当a＝0时，米歇尔效用大小只取决于自己的消费，她是一个纯粹的利己主义者；而当a＝1时，其效用大小完全取决于索菲亚的消费，她是一个纯粹的利他主义者。

当时米歇尔会是一个完美的利他主义者（把别人看作和自己同等重要），其效用函数为：

b．设米歇尔的收入为m，利用柯布—道格拉斯效用函数的性质可得米歇尔的最优选择为：

进一步可求得：

所以，随着a的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。

c．如果所得税为t，此时米歇尔的最优化选择为：

设慈善捐款额为s（0＜s＜m），在慈善捐款可税前扣除（用于慈善捐款的那部分收入不用缴纳所得税）的情况下米歇尔的最优化选择为：

此时有：

为一常数，与a无关。

所以，对于利他主义程度（a）高和程度低的两种人来说，慈善捐款扣除对两种人的激励作用一样大。

d．1．若米歇尔的效用函数，且索菲亚的效用函数，由此可以推出米歇尔的效用函数：

米歇尔的最优选择：

所以，随着a的提高，在米歇尔的最优选择处，米歇尔的消费水平会降低而索菲亚的消费水平会增加。

2．若索菲亚的效用函数为，此时米歇尔的效用函数为。和b中的情况相同。