1.2 课后习题详解
1-1 分别判断图1-2-1所示各波形是连续时间信号还是离散时间信号，若是离散时间信号是否为数字信号?
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
图1-2-1
解：（a）连续时间信号（模拟信号）；（b）连续时间信号（量化信号）；（c）离散时间信号（数字信号）；（d）离散时间信号（抽样信号）；（e）离散时间信号（数字信号）；（f）离散时间信号（数字信号）。
1-2 分别判断下列各函数式属于何种信号。（重复习题1-1题所问。）
（1）e－αtsin（ωt）；
（2）e－nT；
（3）cos（nπ）；
（4）sin（nω0）（ω0为任意值）；
（5）（1/2）n。
以上各式中n为正整数。
解：（1）e－αtsin（ωt）时间、幅值均连续取值，故为连续时间信号（模拟信号）；
（2）e－nT时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（3）cos（nπ）时间、幅值均离散，故为离散时间信号（数字信号）；
（4）sin（nω0）时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）；
（5）（1/2）n时间离散、幅值连续，故为离散时间信号（抽样信号）。
1-3 分别求下列各周期信号的周期T。
（1）cos（10t）－cos（30t）；
（2）ej10t；
（3）[5sin（8t）]2；
（4）
解：（1）分量cos（10t）的周期T1＝2π/10＝π/5，分量cos（30t）的周期T2＝π/15，两者的最小公倍数是π/5，所以此信号的周期T＝π/5。
（2）因为ej10t＝cos（10t）＋jsin（10t），所以此信号周期为T＝2π/10＝π/5。
（3）因为[5sin（8t）]2＝25sin2（8t）＝25×{[1－cos（16t）]/2}＝12.5－12.5cos（16t），所以此信号的周期为T＝2π/16＝π/8。
（4）原式可整理为
其中n为正整数。所以此信号的周期为2T。
1-4 对于教材例1-1所示信号，由f（t）求f（－3t－2），但改变运算顺序，先求f（3t）或先求f（－t），讨论所得结果是否与原例之结果一致。
解法一：f（t）→f（3t）→f（－3t）→f（－3t－2）
图1-2-2
解法二：f（t）→f（－t）→f（－3t）→f（－3t－2）
图1-2-3
所得结果一致。
1-5 已知f（t），为求f（t0－at）应按下列哪种运算求得正确结果（式中t0，a都为正值）?
（1）f（－at）左移t0；
（2）f（at）右移t0；
（3）f（at）左移t0/a；
（4）f（－at）右移t0/a。
解：正确答案是（4）。
（1）
（2）
（3）
（4）
1-6 绘出下列各信号的波形：
（1）[1＋sin（Ωt）/2] sin（8Ωt）；
（2）[1＋sin（Ωt）]sin（8Ωt）。
解：（1）高频信号sin（8Ωt）的周期T＝2π/（8Ω），与其相乘的信号作为信号包络，波形如图1-2-4（a）所示。
（2）高频信号的周期T＝2π/（8Ω），波形如图1-2-4（b）所示。
图1-2-4
1-7 绘出下列各信号的波形。
（1）[u（t）－u（t－T）]sin（4πt/T）；
（2）[u（t）－2u（t－T）＋u（t－2T）]sin（4πt/T）。
解：（1）由于
而信号sin（4πt/T）的周期为T/2，故只需画出信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形如图1-2-5（a）所示。
（2）原式＝{u（t）－u（t－T）－[u（t－T）－u（t－2T）]}sin（4πt/T），信号sin（4πt/T）的周期为T/2，截取信号sin（4πt/T）在区间[0，T]上的波形，在区间[T，2T]上将其反相，所得波形如图1-2-5（b）所示。
（a）
（b）
图1-2-5
1-8 试将描述图1-2-6所示波形的教材表达式（1-16）和（1-17）改用阶跃信号表示。
图1-2-6
解：（1）表达式（1-16）为
改用阶跃函数可表示为
（2）表达式（1-17）为
改用阶跃信号可表示为
1-9 粗略绘出下列各函数式的波形图。
（1）f（t）＝（2－e－t）u（t）；
（2）f（t）＝（3e－t＋6e－2t）u（t）；
（3）f（t）＝（5e－t－5e－3t）u（t）；
（4）f（t）＝e－tcos（10πt）[u（t－1）－u（t－2）]。
解：题（1）、（2）、（3）、（4）信号波形，分别如图1-2-7（a）、（b）、（c）、（d）所示。
（a）
（b）
（c）
（d）
图1-2-7
1-10 写出图1-2-8（a）、（b）、（c）所示各波形的函数式。
（a）
（b）
（c）
图1-2-8
解：（1）由图1-2-8（a）可得
（2）由图1-2-8（b）可得
（3）由图1-2-8（c）可得
1-11 绘出下列各时间函数的波形图。
（1）te－tu（t）；
（2）e－（t－1）[u（t－1）－u（t－2）]；
（3）[1＋cos（πt）][u（t）－u（t－2）]；
（4）[u（t）－2u（t－1）＋u（t－2）]；
（5）
（6）d[e－t（sint）u（t）]/dt。
解：各时间函数的波形图如图1-2-9（a）～（f）所示。
（a）
（b）
（c）
（d）
（e）
（f）
图1-2-9
1-12 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。
（1）t[u（t）－u（t－1）]；
（2）tu（t－1）；
（3）t[u（t）－u（t－1）]＋u（t－1）；
（4）（t－1）u（t－1）；
（5）－（t－1）[u（t）－u（t－1）]；
（6）t[u（t－2）－u（t－3）]；
（7）（t－2）[u（t－2）－u（t－3）]。
解：信号的波形分别为图1-2-10（a）、（b）、（c）、（d）、（e）、（f）、（g）所示。
图1-2-10
1-13 绘出下列各时间函数的波形图，注意它们的区别。
（1）f1（t）＝sin（ωt）·u（t）；
（2）f2（t）＝sin[ω（t－t0）]·u（t）；
（3）f3（t）＝sin（ωt）·u（t－t0）；
（4）f4（t）＝sin[ω（t－t0）]·u（t－t0）。
解：信号波形分别为图1-2-11（a）、（b）、（c）、（d）所示。
图1-2-11
1-14 应用冲激信号的抽样特性，求下列表示式的函数值。
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
解：利用性质
得：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
（7）
1-15 电容C1与C2串联，以阶跃电压源v（t）＝Eu（t）串联接入，试分别写出回路中的电流i（t）、每个电容两端电压vC1（t）、vC2（t）的表示式。
解：根据题意可知，电容C1、C2和电压源v（t）串联，可得回路电流
则电容两端电压vC1（t）、vC2（t）分别为
1-16 电感L1与L2并联，以阶跃电流源i（t）＝Iu（t）并联接入，试分别写出电感两端电压v（t）、每个电感支路电流iL1（t）、iL2（t）的表示式。
解：根据题意可知，电感L1、L2和电流源i（t）并联，可得电感两端电压
则电感支路电流iL1（t）、iL2（t）分别为
1-17 分别指出下列各波形的直流分量等于多少，
（1）全波整流f（t）＝|sin（ωt）|；
（2）f（t）＝sin2（ωt）；
（3）f（t）＝cos（ωt）＋sin（ωt）；
（4）升余弦f（t）＝K[1＋cos（ωt）]。
解：（1）信号sin（ωt）的周期为2π/ω，则信号|sin（ωt）|的周期为T＝π/ω，所以直流分量
（2）由f（t）＝sin2（ωt）＝[1－cos（2ωt）]/2可知，周期T＝π/ω。
因为cos（2ωt）在一个周期内的平均值为零，所以直流分量
（3）f（t）的周期T＝2π/ω，而在[0，2π/ω]内cos（ωt）和sin（ωt）的积分均为零，所以fD＝0。
（4）f（t）的周期T＝2π/ω，在[0，2π/ω]内cos（ωt）积分为零，所以fD＝K。
1-18 粗略绘出图1-2-12所示各波形的偶分量和奇分量。
图1-2-12
解：信号的偶分量fe（t）＝[f（t）＋f（－t）]/2，奇分量fo（t）＝[f（t）－f（－t）]/2。
（a）由图1-2-12（a）可知，fe（t）和fo（t）的波形如图1-2-13（a）所示。
图1-2-13（a）
（b）由图1-2-12（b）可知，信号f（t）为偶函数，即f（t）＝f（－t），所以其fe（t）＝f（t），fo（t）＝0，即偶分量为其本身，奇分量为0，fe（t）的波形如图1-2-13（b）所示。
图1-2-13（b）
（c）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（c1）所示。
图1-2-13（c1）
则可得fe（t）和fo（t）的波形如图1-2-13（c2）所示。
图1-2-13（c2）
（d）先作出f（－t）的波形如图1-2-13（d1）所示。
图1-2-13（d1）
则可得fe（t）和fo（t）的波形如图1-2-13（d2）所示。
图1-2-13（d2）
1-19 绘出下列系统的仿真框图。
（1）d[r（t）]/dt＋a0r（t）＝b0e（t）＋b1{d[e（t）]/dt}；
（2）d2[r（t）]/dt2＋a1{d[r（t）]/dt}＋a0r（t）＝b0e（t）＋b1{d[e（t）]/dt}。
解：（1）取中间变量q（t），使：d[q（t）]/dt＋a0q（t）＝e（t）①
激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-14所示。
图1-2-14
将①代入原方程，得
②
对比等式两边，可知r（t）＝b0q（t）＋b1{d[q（t）]/dt}
从而得到系统仿真框图，如图1-2-15所示。
图1-2-15
（2）取中间变量q（t），使：d2[q（t）]/dt2＋a1{d[q（t）]/dt}＋a0q（t）＝e（t）①
激励信号e（t）与中间变量q（t）的关系，如图1-2-16所示。
图1-2-16
将式①代入原方程，可得r（t）＝b0q（t）＋b1{d[q（t）]/dt}。
从而得到系统仿真框图，如图1-2-17所示。
图1-2-17
1-20 判断下列系统是否为线性的、时不变的、因果的。
（1）r（t）＝d[e（t）]/dt；
（2）r（t）＝e（t）u（t）；
（3）r（t）＝sin[e（t）]u（t）；
（4）r（t）＝e（1－t）；
（5）r（t）＝e（2t）；
（6）r（t）＝e2（t）；
（7）
（8）
解：（1）令r1（t）＝d[e1（t）]/dt，r2（t）＝d[e2（t）]/dt，则
系统满足线性关系。
又
满足时不变性。
由r（t）＝d[e（t）]/dt可知，系统在t0时刻的响应与t＞t0时的输入无关，因此系统满足因果性。
综上，系统是线性、时不变、因果的。
（2）令r1（t）＝e1（t）u（t），r2（t）＝e2（t）u（t），则c1r1（t）＋c2r2（t）＝c1e1（t）u（t）＋c2e2（t）u（t）＝[c1e1（t）＋c2e2（t）]u（t），系统满足线性关系。
又r（t－t0）＝e（t－t0）u（t－t0）≠e（t－t0）u（t），故系统时变。
由r（t）＝e（t）u（t）知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。
综上，系统是线性、时变、因果的。
（3）令r1（t）＝sin[e1（t）]u（t），r2（t）＝sin[e2（t）]u（t），则c1r1（t）＋c2r2（t）＝c1sin[e1（t）]u（t）＋c2sin[e2（t）]u（t）≠sin[c1e1（t）＋c2e2（t）]u（t）。
系统不满足线性关系。
又r（t－t0）＝sin[e（t－t0）]u（t－t0）≠sin[e（t－t0）]u（t），故系统时变。
由r（t）＝sin[e（t）]u（t）可知，系统响应只与当前激励有关，因此系统满足因果性。
综上，系统是非线性、时变、因果的。
（4）令r1（t）＝e1（1－t），r2（t）＝e2（1－t），则c1r1（t）＋c2r2（t）＝c1e1（1－t）＋c2e2（1－t），系统满足线性关系。
由r（t）＝e（1－t）知，激励信号e（t）反褶后再右移1个单位可得响应信号r（t）。
因为
故系统时变。
当t＝0时，r（0）＝e（1－0）＝e（1），0时刻的响应取决于将来输入，故系统不满足因果条件。
综上，系统是线性、时变、非因果的。
（5）令r1（t）＝e1（2t），r2（t）＝e2（2t），则c1r1（t）＋c2r2（t）＝c1e1（2t）＋c2 e2（2t），系统满足线性关系。
又r（t－t0）＝e[2（t－t0）]≠f[e（t－t0）]＝e（2t－t0），故系统时变。
因为t＝1时，r（1）＝e（2），响应取决于将来值，不满足因果要求，所以系统为非因果系统。
综上，系统是线性、时变、非因果的。
（6）令r1（t）＝e12（t），r2（t）＝e22（t），则：c1r1（t）＋c2r2（t）＝c1e21（t）＋c2e22（t）≠[c1e1（t）＋c2 e2（t）]2
系统不满足线性关系。
又r（t－t0）＝e2（t－t0），故系统为时不变系统。
因为响应r（t）＝e2（t）只与输入的当前值有关，所以系统是因果的。
综上，系统是非线性、时不变、因果的。
（7）令
则
系统满足线性关系。
作替换有
则
故系统满足时不变特性。
由
知，响应只与当前及以前的输入有关，故系统满足因果性。
综上，系统是线性、时不变、因果的。
（8）令
则
系统满足线性关系。
又
故系统时变。
当t＝1时
响应与未来输入有关，因此系统不满足因果特性。
综上，系统是线性、时变、非因果的。
1-21 判断下列系统是否是可逆的。若可逆，给出它的逆系统；若不可逆，指出使该系统产生相同输出的两个输入信号。
（1）r（t）＝e（t－5）；
（2）r（t）＝d[e（t）]/dt；
（3）
；
（4）r（t）＝e（2t）。
解：若系统在不同激励信号作用下产生不同的响应，则该系统可逆。
（1）可逆，逆系统为r（t）＝e（t＋5）；
（2）不可逆，因为若e1（t）＝t＋1，e2（t）＝t，则r（t）＝d[e1（t）]/dt＝d[e2（t）]/dt＝1，不同激励产生相同的响应，系统不可逆；
（3）可逆，逆系统为r（t）＝d[e（t）]/dt；
（4）可逆，逆系统为r（t）＝e（t/2）。
1-22 若输入信号为cos（ω0t），为使输出信号中分别包含以下频率成分：
（1）cos（2ω0t）；
（2）cos（3ω0t）；
（3）直流。
请你分别设计相应的系统（尽可能简单）满足此要求，给出系统输出与输入的约束关系式。讨论这三种要求有何共同性、相应的系统有何共同性。
解：（1）系统模型为：r（t）＝e（2t）；
（2）系统模型为：r（t）＝e（3t）；
（3）系统模型为：r（t）＝e（t）＋c（c为非零常数）。
三个要求的共性是：输入信号经过系统后，有新的频率分量产生。
三个系统的共性是：都可以改变输入信号的频率或增加新的频率分量。
1-23 有一线性时不变系统，当激励e1（t）＝u（t）时，响应r1（t）＝e－atu（t），试求当激励e2（t）＝δ（t）时，响应r2（t）的表示式（假定起始时刻系统无储能）。
解：由于该系统为线性时不变系统，起始时刻系统无储能，故系统的响应为零状态响应。又因为
利用线性时不变系统的微分特性知
1-24 证明δ函数的尺度运算特性满足δ（at）＝δ（t）/|a|。（提示：利用教材图1-28，当以t为自变量时脉冲底宽为τ，而改以at为自变量时底宽变成τ/a，借此关系以及偶函数特性即可求出以上结果。）
证明：首先以t为横轴，脉冲底宽为τ，高度为1/τ，作δ（t）的矩形逼近图形，如图1-2-18所示。
图1-2-18
再以at（假设a＞0）为横轴作相同的图形时，底宽变成τ/a，但是要保证矩形的高度保持不变，则有矩形的面积变为原来的1/a倍，即δ（at）＝δ（t）/a。因为δ（t）是偶函数，所以当a＜0时有δ（at）＝δ（－at）＝－δ（t）/a。即从作用效果上来讲：δ（at）＝δ（t）/|a|。命题得证。