2.2　课后习题详解

2-1　试求图2-5（a）、（b）示各杆1-1和2-2横截面上的轴力，并作轴力图。

图2-5（a）

图2-5（b）

解：（1）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑F_x＝0，可得F_N1＝＋2F；同理可以计算2-2截面右段，根据其平衡方程∑F_x＝0，可得F_N2＝＋F。

轴力图如图2-6（a）所示。

图2-6（a）

（2）使用截面法，沿1-1截面将杆分成两段，取出右段，根据其平衡方程∑F_x＝0，可得F_N1＝＋F；同理可以计算2-2截面右段，根据其平衡方程∑F_x＝0，可得F_N2＝－2F。

轴力图如图2-6（b）所示。

图2-6（b）

2-2　一打入地基内的木桩如图2-7所示，沿杆轴单位长度的摩擦力为f＝kx2（k为常数），试作木桩的轴力图。

图2-7

解：根据整体平衡方程

可得常数k＝3F/l3。

使用截面法，沿m-m截面将杆分成两段，取其下部分，根据其平衡方程

可得木桩的轴力F_N＝－F（x₁/l）3。

轴力图略。

2-3　石砌桥墩的墩身高l＝10m，其横截面尺寸如图2-8所示。荷载F＝1000kN，材料的密度ρ＝2.35×103kg/m3。试求墩身底部横截面上的压应力。

图2-8

解：墩身底部截面内的轴力为：

F_N＝－（F＋G）＝－F－Alρg＝－1000kN－（3×2＋3.14×12）×10×2.35×9.8kN＝－3104.942kN

墩身横截面面积为：A＝3×2m2＋3.14×12m2＝9.14m2

因为墩为轴向压缩构件，所以其底面上的正应力均匀分布，且压应力为：

σ＝F_N/A＝－3104.942kN/9.14m2＝－339.71kPa＝－0.34MPa

2-4　图2-9为一混合屋架结构的计算简图。屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成，其截面均为两个75mm×8mm的等边角钢。已知屋面承受集度为q＝20kN/m的竖直均布荷载。试求拉杆AE和EG横截面上的应力。

图2-9

解：（1）求支反力

由结构的对称性可知：F_Ay＝F_By＝（1/2）ql＝0.5×20×（2×4.37＋9）＝177.4kN

（2）求AE和EG杆的轴力

①用假想的垂直截面把C铰和EG杆同时切断，取左部分为研究对象，其受力图如图2-10（a）所示，由平衡条件：

∑M_C＝0

F_NG×（1＋1.2）＋20×（4.37＋4.5）×（8.87/2）－177.4×8.87＝0

解得：F_NG＝357.62kN。

图2-10（a）

②以节点E为研究对象，其受力图如图2-10（b）所示。

由平衡条件∑F_x＝0可得：F_NG－F_NAcosα＝0

解得：

图2-10（b）

（3）求各拉杆应力

查型钢表得单个75mm×8mm等边角钢的面积为

A＝11.503cm2＝1150.3mm2，故

σ_AE＝F_NA/2A＝（366.86×103N）/（2×1150.3mm2）＝159.5Mpa

σ_EG＝F_NG/2A＝（357.62×103N）/（2×1150.3mm2）＝155.5MPa

2-5　图2-11所示拉杆承受轴向拉力F＝10kN，杆的横截面面积A＝100mm2。如以α表示斜截面与横截面的夹角，试求：

（1）当α＝0°，30°，－60°时各斜面上的正应力和切应力，并用图表示其方向；

（2）拉杆的最大正应力和最大切应力及其作用的截面。

图2-11

解：（1）斜截面上的正应力与切应力为：σ_α＝σ₀cos2α，τ_α＝（σ₀/2）sin2α。

其中，拉杆横截面上的应力

σ₀＝F/A＝10000N/100mm2＝100MPa，则：

①当α＝0°时σ_0°＝σ₀＝100MPa，τ_0°＝0

②当α＝30°时

σ_30°＝σ₀cos230°＝100×（3/4）＝75MPa，τ_30°＝（σ₀/2）sin（2×30°）＝43.3MPa

③当α＝－60°时

σ_－60°＝σ₀cos2（－60°）＝100cos2（－60°）＝25MPa

τ_－60°＝（σ₀/2）sin（－120°）＝（100/2）sin（－120°）＝－43.3MPa

图略。

（2）斜面上正应力σ_α＝σ₀cos2α，故当cosα＝1，即α＝0°时，有σ_max＝100MPa；

斜面上切应力τ_α＝（σ₀/2）sin2α，故当sin2α＝1，即α＝45°时，有τ_max＝50MPa。

2-6　一木桩受力如图2-12所示。柱的横截面为边长200mm的正方形，材料可认为符合胡克定律，其弹性模量E＝10GPa。如不计柱的自重，试求：

（1）作轴力图；

（2）各段柱横截面上的应力；

（3）各段柱的纵向线应变；

（4）柱的总变形。

图2-12

解：（1）利用截面法，根据平衡条件可得木桩各段柱的轴力分别为：

F_NAC＝－100kN，F_NCB＝－100－160＝－260kN

作该木桩的轴力图，如图2.9所示。

图2-13

（2）各段柱横截面的应力：

σ_AC＝F_NAC/A＝－100×103/（2002×10－6）Pa＝－2.5MPa

σ_CB＝F_NCB/A＝－260×103/（2002×10－6）Pa＝－6.5MPa

（3）根据胡克定律，各段柱的纵向线应变：

ε_AC＝σ_AC/E＝－2.5MPa/（10×103）MPa＝－2.5×10－4

ε_CB＝σ_CB/E＝－6.5MPa/（10×103）MPa＝－6.5×10－4

（4）柱的总变形

∆l_AC＝ε_AC·l_AC＋ε_CB·l_CB＝（－2.5×1500－6.5×1500）×10－4mm＝－1.35mm

2-7　图2-14所示圆锥形杆受轴向拉力作用，试求杆的伸长。

图2-14

解：设距左端截面x处的横截面的直径为：d＝d₁＋（d₂－d₁）（x/l）。

即该截面的面积

则积分可得到在轴向拉力F作用下轴的伸长量

2-8　（1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变ε_s等于直径方向的线应变ε_d。

（2）一根直径为d＝10mm的圆截面杆，在轴向拉力F作用下，直径减小0.0025mm。如材料的弹性模量E＝210GPa，泊松比ν＝0.3。试求轴向拉力F。

（3）空心圆截面钢杆，外直径D＝120mm，内直径d＝60mm，材料的泊松比ν＝0.3。当其受轴向拉伸时，已知纵向线变ε＝0.001，试求其变形后的壁厚δ。

解：（1）设杆横截面的直径为d，其周线的长度s＝πd

由线应变的定义可知，圆截面杆沿直径方向的线应变为ε_d＝∆d/d，当直径的改变量为Δd时，圆周线的长度为s₁＝π（d＋Δd）。

因此，沿圆周方向的线应变为：ε_s＝∆s/s＝（s₁－s）/s＝[π（d＋∆d）－πd]/πd＝∆d/d＝ε_d

即受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变ε_s等于沿直径方向的线应变ε_d。

（2）杆件横向线应变为：ε′＝∆d/d＝－0.0025/10＝－2.5×10－4

由泊松比的定义式可知ε′＝－νε，则杆件的纵向应变为：

ε＝－（ε′/v）＝－（－2.5×10－4）/0.3＝（25/3）×10－4

又由胡克定律σ＝Eε，则轴向拉力为：

F＝AEε＝0.25×3.14×102×210×103×（25/3）×10－4＝13.74kN

（3）由泊松比的定义及线应变的定义可知：ε_d＝∆D/D＝－vε。

则圆截面杆件直径的变化量：

∆D＝－vε（D－d）＝－0.3×0.001×（120－60）×10－3m＝－0.018×10－3m

故其变形后的壁厚：

δ＝（D－d＋∆D）/2＝（120×10－3－60×10－3－0.018×10－3）/2m＝29.99×10－3m＝29.99mm

2-9　如图2-15所示，一内半径为r，厚度为δ（δ≤r/10），宽度为b的薄壁圆环。在圆环的内表面承受均匀分布的压力p（如图2-15），试求：

（1）由内压力引起的圆环径向截面上的应力；

（2）由内压力引起的圆环半径的伸长。

图2-15

解：（1）如图2-16所示，将圆环沿直径切开，取下半部分进行分析。

根据平衡条件可得：

　①

其中，圆环横截面上的内力可近似认为沿壁厚方向均匀分布，即F_N＝σδb。

代入式①积分可得：2σδb－2prb＝0。

由内压力引起的圆环径向截面上的应力σ＝pr/δ。

图2-16

（2）根据胡克定律σ＝Eε可得，由内压引起的圆环径向伸长量：∆_r＝σr/E＝pr2/Eδ。

2-10　受轴向拉力F作用的箱形薄壁杆如图2-17所示。已知该杆材料的弹性常数为E，ν，试求C与D两点间的距离改变量Δ_CD。

图2-17

解：由泊松比的定义可知，杆的横向线应变：

其中，杆的横截面积：A＝（a＋δ）2－（a－δ）2＝4aδ，故ε′＝－（Fv/4Eaδ）。

又变形前C、D两点间的距离：

故变形后两点间距离的改变量：

2-11　图2-18所示结构中，AB为水平放置的刚性杆，杆1，2，3材料相同，其弹性模量E＝210GPa，已知l＝1m，A₁＝A₂＝100mm2，A₃＝150mm2，F＝20kN。试求C点的水平位移和铅垂位移。

图2-18

解：（1）求各杆轴力

对杆AB进行受力分析，如图2-19（a）所示，由平衡条件：

∑F_x＝0，F_N3cos45°＝0

∑F_y＝0，F_N1＋F_N2＋F_N3sin45°－F＝0

∑M_A＝0，F_N2l－F（l/2）＝0

可得各杆轴力：F_N1＝F_N2＝10kN，F_N3＝0。

（2）计算各杆变形量

根据胡克定律可得各杆的伸长量：

∆l₁＝∆l₂＝F_N1l/EA＝10×103×1/（210×109×100×10－6）mm＝0.476mm，∆l₃＝0

图2-19（a）

（3）各杆的变形关系如图2-19（b）所示。杆1和杆2变形时，刚性杆AB平动，故其上C点的位移与A点相同，根据几何关系即可得到C点：

水平位移：∆_Cx＝∆l₁＝0.476mm（→）；

铅垂位移：∆_Cy＝∆l₁＝0.476mm（↓）。

图2-19（b）

2-12　图2-20所示实心圆钢杆AB和AC在A点以铰相连接，在A点作用有铅垂向下的力F＝35kN。已知杆AB和AC的直径分别为d₁＝12mm和d₂＝15mm，钢的弹性模量E＝210Gpa。试求A点在铅垂方向的位移。

图2-20

解：（1）求AB、AC杆的轴力

以节点A为研究对象，其受力图如图2-21所示。由平衡条件：

∑F_x＝0，F_ACsin30°－F_ABsin45°＝0

∑F_y＝0，F_ACcos30°＋F_ABcos45°－F＝0

联立解得：F_AB＝18.1kN，F_AC＝25.6kN。

图2-21

（2）由变形能原理求A点的铅垂位移

由

可得A点铅垂位移：

　①

其中，杆AB长l₁＝1000/sin45°＝1414mm，横截面积A₁＝0.25×3.14×122mm2＝113mm2。杆BC长l₂＝800/sin30°＝1600mm，横截面积A₂＝0.25×3.14×152mm2＝177mm2。

代入式①可得，A点铅垂位移：

2-13　图2-22所示A和B两点之间原有水平方向的一根直径d＝1mm的钢丝，在钢丝的中点C加一竖直荷载F。已知钢丝产生的线应变为ε＝0.0035，其材料的弹性模量E＝210GPa，钢丝的自重不计。试求：

（1）钢丝横截面上的应力（假设钢丝经过冷拉，在断裂前可认为符合胡克定律）；

（2）钢丝在C点下降的距离Δ；

（3）荷载F的值。

图2-22

解：（1）根据胡克定律可得到钢丝横截面上的应力：

σ＝Eε＝210×109×0.0035Pa＝735MPa

（2）根据线应变的定义可得钢丝的伸长量：

Δl＝lε＝2×0.0035＝7mm

根据几何关系即可得到C点下降的距离：

（3）对节点C进行受力分析，如图2-23所示。

可得平衡方程：∑F_Y＝0，2F_Nsinα－F＝0①

其中，F_N＝σA＝735×106×（πd2/4）＝735×106×（π/4）×10－6N＝577.3N

sinα＝∆/AC＝83.7×10－3/（2.007/2）＝0.0834

代入式①得载荷F＝2×577.3×0.0834N＝96.3N。

图2-23

2-14　如图2-24（a）、（b）所示，两根杆A₁B₁和A₂B₂的材料相同，其长度和横截面面积也相同。杆A₁B₁承受作用在端点的集中荷载F；杆A₂B₂承受沿杆长均匀分布的荷载，其集度为f＝F/l，试比较这两根杆内积蓄的应变能。

图2-24

解：设两根杆的弹性模量为E，横截面面积为A，则：

杆A₁B₁内积蓄的应变能V_ε1＝（F2l）/2EA①

杆A₂B₂内积蓄的应变能

　②

其中，在距离A₂为x处的轴力F_N（x）＝f（l－x）＝（l－x）F/l

代入式②积分可得：

　③

故两杆的应变能为：V_ε1/V_ε2＝（F2l/2EA）/（F2l/6EA）＝3，即：V_ε1＝3V_ε2。

2-15水平刚性杆AB由三根钢杆BC、BD和ED支承，如图2-25所示。在杆的A端承受铅垂荷载F＝20kN，三根钢杆的横截面面积分别为A₁＝12mm2，A₂＝6mm2，A₃＝9mm2，钢的弹性模量E＝210GPa，试求：

（1）端点A的水平和铅垂位移；

（2）应用功能原理，即教材式（2-8），核算端点A的铅垂位移。

图2-25

解：（1）对刚性杆AB进行受力分析，由平衡条件求得各杆内力：

F₁＝－60kN，F₂＝40kN，F₃＝0kN

由此可得到各杆的变形量：

∆l₁＝F₁l₁/EA₁＝3.57mm（缩短）

∆l₂＝F₂l₂/EA₂＝4.76mm（伸长）

∆l₃＝0

根据图2-26所示的变形协调关系图，可知：

且`

则

由几何关系可得：

解得A点铅垂位移：∆_Ay＝20.23mm

水平位移：

图2-26

（2）应用虚功原理核算

根据虚功原理可得：

代入数据可得：

解得：∆_Ay＝20.23mm

因此（1）中求得的A点铅垂位移是正确的。

2-16　简易起重设备的计算简图如图2-27所示。已知斜杆AB用两根63mm×40mm×4mm不等边角钢组成，钢的许用应力[σ]＝170MPa。当提起重量为P＝15kN的重物时，试校核斜杆AB的强度？

图2-27

解：（1）求AB杆的轴力

对滑轮A进行受力分析，如图2-28所示，由平衡方程：

∑F_Y＝0，F_NBsin30°－F－P＝0

可得：F_NB＝4P＝4×15＝60kN。

图2-28

（2）应力校核

查型钢表得到单个63mm×40mm×4mm不等边角钢的面积为4.058cm2。

则杆AB的应力：σ_max＝F_NB/2A＝60×103/（2×4.058×10－4）Pa＝74MPa＜[σ]＝170MPa

杆AB强度满足要求，是安全的。

2-17　简单桁架及其受力如图2-29所示，水平杆BC的长度l保持不变，斜杆AB的长度可随夹角θ的变化而改变。两杆由同一材料制造，且材料的许用拉应力与许用压力相等。要求两杆内的应力同时达到许用应力，且结构的总重量为最小时，试求：

（1）两杆的夹角θ值；

（2）两杆横截面面积的比值。

图2-29

解：（1）对节点B进行受力分析，如图2-30所示。

图2-30

得到平衡方程：

∑F_x＝0，F_NC－F_NAcosθ＝0

∑F_y＝0，F_NAsinθ－F＝0

解得：F_NA＝F/sinθ，F_NC＝Fcotθ。

①两杆应力同时达到许用应力σ_AB＝σ_BC＝[σ]，即F_NA/A_AB＝F_NC/A_BC＝[σ]

代入数据得：A_AB＝F/（sinθ[σ]），A_BC＝Fcotθ/[σ]。

②要使得结构总重量最小，即使整个结构的体积最小，该结构的总体积：

令

得sin2θ－2cos2θ＝0

故tan2θ＝2，θ＝54.74°。

综上，即两杆夹角为54.74°时，该结构总重量最小。

（2）两杆横截面面积的比：A_AB/A_BC＝（F/sinθ[σ]）/Fcotθ[σ]＝1/cosθ＝1.732

2-18　一桁架受力如图2-31所示。各杆都由两个等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ]＝170MPa，试选择杆AC和CD的角钢型号。

图2-31

解：（1）求支反力和各杆轴力

分析桁架受力，如图2-32（a）所示，根据结构对称性可知：

F_Ay＝F_By＝220kN（↑），F_Ax＝0

图2-32（a）

对节点A进行受力分析，如图2-32（b）所示，由平衡方程：

∑F_y＝0，F_Ay－F_NAC·（3/5）＝0

解得：

图2-32（b）

对节点C进行受力分析，如图2-32（c）所示，由平衡方程：

∑F_x＝0，F_NCD－F_NAC·（4/5）＝0

解得：F_NCD＝F_NAC·（4/5）＝366.7×（4/5）kN＝293.3kN

图2-32（c）

（2）根据强度条件选择角钢型号

A_AC≥F_NAC/[σ]＝（366.7×103）/（170×106）m2＝2.157×10－3m2＝21.57cm2

A_CD≥F_NCD/[σ]＝（293.4×103）/（170×106）m2＝1.726×10－3m2＝17.26cm2

由于各杆均有两个等边角钢组成，查型钢表得：杆AC可选用两根80mm×7mm等边角钢，其横截面积为10.86cm2；杆CD可选用两根75mm×6mm的等边角钢，其横截面积为8.797cm2。

2-19　一结构受力如图2-33所示，杆件AB、CD、EF、GH都是由两根不等边角钢组成。已知材料的许用应力[σ]＝170MPa，材料的弹性模量E＝210GPa，杆AC及EG可视为刚性的。试选择各杆的角钢型号，并分别求点D、C、A处的铅垂位移Δ_D，Δ_C，Δ_A。

图2-33

解：（1）求各杆轴力

对AC杆进行受力分析，如图2-34（a）所示，得：

F_NAB＝（3.2/4）×300＝240kN，F_NCD＝（0.8/4）×300＝60kN

图2-34（a）

对EG杆进行受力分析，如图2-34（b）所示，由平衡方程：

∑M_F＝0，F_NGH×3－300×1.5－60×1.2＝0

∑F_y＝0，F_NEF＋F_NGH－60－300＝0

得：F_NGH＝（1/3）×（450＋72）＝174kN，F_NEF＝186kN

图2-34（b）

（2）由强度条件确定各杆所用角钢型号

AB杆：A_AB≥F_NAB/[σ]＝（240×103）/（170×106）m2＝14.12cm2

CD杆：A_CD≥F_NCD/[σ]＝（60×103）/（170×106）m2＝3.529cm2

EF杆：A_EF≥F_NEF/[σ]＝（186×103）/（170×106）m2＝10.412cm2

GH杆：A_GH≥F_NGH/[σ]＝（174×103）/（170×106）m2＝10.353cm2

查型钢表可得：

AB杆选用两根型号为90mm×56mm×5mm的不等边角钢，其横截面积为7.212cm2；

CD杆选用两根型号为40mm×25mm×3mm的不等边角钢，其横截面积为1.89cm2；

EF杆和GH杆均可选用两根型号为70mm×45mm×5mm的不等边角钢，其横截面积为5.609cm2。

（3）求D、C、A各点铅垂位移

各杆的变形量：

故Δ_A＝Δl_AB＝2.7mm。

如图2-34（c）所示根据EG杆的变形协调关系可得：

（∆_D－∆l_GH）/（∆l_EF－∆l_GH）＝1.8/3

代入数据得：Δ_D＝1.54mm

故Δ_C＝Δ_D＋Δl_CD＝1.54＋0.907＝2.447mm。

图2-34（c）

2-20　已知混凝土的密度ρ＝2.25×103kg/m3，许用压应力[σ]＝2MPa。试按强度条件确定图2-35所示混凝土柱所需的横截面面积A₁和A₂。若混凝土的弹性模量E＝20GPa，试求柱顶A的位移。

图2-35

解：（1）①AC段：该段内的最大轴力产生在C截面，最大值为

F_N1＝1000＋ρglA₁＝1000＋2.25×103×9.8×12×A₁＝1000＋264.6A₁（kN）

根据强度条件可得：[（1000＋264.6A₁）/A₁]kPa≤[σ]＝2000kPa

解得：A₁≥0.576m2，故取A₁＝0.576m2。

②BC段：该段内的最大轴力产生在B截面，最大值为

F_N2＝1000＋ρgl（A₁＋A₂）＝1000＋2.25×103×9.8×12×（0.576＋A₂）＝1152.41＋264.6A₂（kN）

根据强度条件可得：（1152.41＋264.6A₂）/A₂kPa≤[σ]＝2000kPa

解得：A₂≥0.664m2，故取A₂＝0.664m2。

（2）①AC段柱的变形量：

AC段内距A点x处横截面的轴向压力：F_N1（x）＝1000×103＋ρgxA₁，

则

②BC段内距A点x处横截面的轴向载荷压力为：

F_N2（x）＝1000×103＋ρgA₁×12＋（x－12）×ρgA₂

则

综上可得A点的位移：ΔA＝Δl_AC＋Δl_BC＝1.121＋1.120＝2.241mm。

2-21　（1）刚性梁AB用两根钢杆AC、BD悬挂着，其受力如图2-36所示。已知钢杆AC和BD的直径分别为d₁＝25mm和d₂＝18mm，钢的许用应用[σ]＝170MPa，弹性模量E＝210GPa。试校核钢杆的强度，并计算钢杆的变形Δl_AC、Δl_DB及A、B两点的竖直位移Δ_A、Δ_B。

（2）若荷载F＝100kN作用于A点处，试求F点的竖直位移Δ_F。（计算结果表明，Δ_F＝Δ_A，事实上这是线性弹性体中普遍存在的关系，称为位移互等定理。）

图2-36

解：（1）①计算各拉杆轴力

对刚性杆AB进行受力分析，由平衡条件可得：

F_NAC＝66.67kN，F_NBD＝33.33kN

②强度校核

σ_AC＝F_NAC/A_AC＝66.67×103/（0.25×3.14×252×10－6）Pa＝135.88MPa≤[σ]＝170MPa

σ_BD＝F_NBD/A_BD＝33.33×103/（0.25×3.14×182×10－6）Pa＝131.056MPa≤[σ]＝170MPa

两杆的强度均满足要求。

③两钢杆变形

④A、B两点的铅垂位移∆_A＝∆l_AC＝1.618mm，∆_B＝∆l_BD＝1.560mm

（2）此时BD杆内的轴力为零，杆AC内的轴力为100kN。此时，A点的竖直位移就等于杆AC的伸长量，即

由于B点的位移为零，由几何关系，可得

2-22　一宽度b＝50mm、厚度δ＝10mm的金属杆由两段杆沿m-m面胶合而成（如图2-37所示），胶合面的角度α可在0°～60°的范围内变化。假设杆的承载能力取决于粘胶的强度，且可分别考虑粘胶的正应力和切应力强度。已知胶的许用正应力[σ]＝100MPa，许用切应力[τ]＝50MPa。为使杆能承受尽可能大的拉力，试求胶合面的角度α，以及此时的许可荷载。（提示：当胶合面上的正应力和切应力同时分别达到其许用正应力和许用切应力时，所承受的拉力F为最大。）

图2-37

解：杆能承受的拉力为最大时，有胶合面上的正应力和切应力同时达到许用值。

即σ_α/τ_α＝[σ]/[τ]，根据斜截面上应力计算公式可得到：

则cotα＝2，α＝26.57°。

此时有正应力σ_α＝σ₀cos226.57°＝[σ]＝100MPa，故横截面上的正应力σ₀＝125MPa。

则许可载荷：[F]＝σ₀A＝125×106×50×10－3×10×10－3N＝62.5kN