三、简答题
1某消费者的效用函数为u（x，y）＝xa＋yb，a，b＞0。请问，需对两个系数a和b分别增加什么额外约束才能满足以下偏好？
（1）偏好是拟线性偏好，且无差异曲线呈凸性。
（2）偏好是相似偏好。
（3）偏好是相似偏好，且无差异曲线呈凸性。
（4）商品x和y是完全替代的。
答：（1）拟线性偏好的方程一定采取x＝k－v（y）的形式，其中k是对不同的无差异曲线取不同值的常数。因此，当a＝1，0＜b＜1时，u（x，y）＝xa＋yb＝x＋yb是拟线性偏好；当b＝1，0＜a＜1时，u（x，y）＝xa＋yb＝xa＋y是拟线性偏好。
（2）如果偏好是相似的，就意味着当收入按任意的比例t递增或递减，需求束也会按相同的比例递增或递减，那么此时a＝b。
（3）如果偏好是相似的，则a＝b，则效用函数为u（x，y）＝xa＋ya。
无差异曲线呈凸性等价于边际替代率的绝对值递减。由效用函数可得：
|MRSxy|＝axa－1/（aya－1）＝xa－1y1－a
要使∂|MRSxy|/∂x＝（a－1）xa－2y1－a＜0，需a＜1。
综上所述，当0＜a＝b＜1时，偏好是相似偏好，且无差异曲线呈凸性。
（4）当a＝b＝1时，u（x，y）＝x＋y，由此可知商品x和y是完全替代的。
2某消费者喜欢拥有等量的商品x和商品y。他的效用函数是u（x，y）＝min{2x－y，2y－x}。
（1）画出经过点（0，0）的无差异曲线，以及经过点（4，4）的无差异曲线。
（2）如果该消费者具有比（0，0）更好的消费束，现在他对两种商品的消费都增加一倍，问他的状况是不是变好了？
（3）对这两种商品该消费者是不是偏好拥有更多数量的某种商品？
答：（1）消费者的效用函数是：
所以，其无差异曲线由斜率分别为2和1/2的两条直线组成，如图4-9所示。
（2）消费者状况变好了，因为若消费者对两种商品的消费都增加一倍，2x－y和2y－x都增加了一倍，效用变为原来的两倍。
图4-9 u（x，y）＝min{2x－y，2y－x}的无差异曲线
（3）不是。当x＞y时，y不变只增加x会使其境况变差；当y＞x时，x不变只增加y也会使其境况变差。
3小王喜欢吃苹果和香蕉。他对苹果和香蕉的偏好如下：如果苹果超过香蕉2倍，他愿意用2个苹果换1个香蕉（或者1个香蕉换2个苹果）；如果苹果不到香蕉的2倍，他愿意用1个苹果换2个香蕉（或者2个香蕉换1个苹果）。在以横轴（x1）表示苹果，纵轴（x2）表示香蕉的消费空间中，画出小王的无差异曲线；写出小王的效用函数；并指出小王的偏好是否为良性？
答：无差异曲线如图4-10所示。
图4-10 小王的无差异曲线
效用函数为：
当x2＝x1/2时，k（x1＋2x2）＝λ（2x1＋x2），即2kx1＝5λx1/2，k∶λ＝5∶4，效用函数可写成：u（x1，x2）＝min{8x1＋4x2，5x1＋10x2}。
此时，消费者偏好满足越多越好，且无差异曲线凸向原点，故喜欢平均消费，所以该偏好为良性偏好。
4分别画出以下效用函数所对应的无差异曲线。
（1）u（x，y）＝x＋y＋min{x，y}；
（2）u（x，y）＝y＋min{x，y}；
（3）u（x，y）＝min{4x＋y，2x＋2y，x＋4y}。
答：（1）当x≥y时，效用函数为u（x，y）＝x＋2y，对应无差异曲线边际替代率等于－1/2；当y≥x时，效用函数为u（x，y）＝2x＋y，对应无差异曲线边际替代率等于－2；无差异曲线相交于y＝x。
无差异曲线如图4-11所示。
图4-11 u（x，y）＝x＋y＋min{x，y}的无差异曲线
（2）当x≥y时，效用函数为u（x，y）＝2y，无差异曲线是垂直于y轴的直线；当y≥x时，效用函数为u（x，y）＝x＋y，对应无差异曲线边际替代率等于－1；无差异曲线相交于y＝x。
无差异曲线如图4-12所示。
图4-12 u（x，y）＝y＋min{x，y}的无差异曲线
（3）①解4x＋y≤2x＋2y得y≥2x；解4x＋y≤x＋4y得y≥x；效用函数为u（x，y）＝4x＋y，对应无差异曲线边际替代率等于－4。
②解2x＋2y≤4x＋y得y≤2x；解2x＋2y≤x＋4y得y≥x/2；效用函数为u（x，y）＝2x＋2y，对应无差异曲线边际替代率等于－1。
③解x＋4y≤4x＋y得y≤x；解x＋4y≤2x＋2y得y≤x/2；效用函数为u（x，y）＝x＋4y，对应无差异曲线边际替代率等于－1/4。
无差异曲线如图4-13所示。
图4-13 u（x，y）＝min{4x＋y，2x＋2y，x＋4y}的无差异曲线