5.3　强化习题详解

1（税收对消费者福利的影响）假设政府要征收一定总额的税收T，一种方法是征收从量税，另一种方法是征收所得税，并假设这两种方法征收的总税额相等，即：tx₁^*＝R＝T，那么消费者在哪种税收下的境况更好？

答：消费者在课征所得税时的境况更好。理由如下：首先分析从量税的征收。假定原来的预算约束为：

p₁x₁＋p₂x₂＝m①

那么按税率t对商品1的消费者课税，他的预算约束变为：

（p₁＋t）x₁＋p₂x₂＝m②

商品的从量税提高了消费者价格，于是消费者的最优选择（x₁^*，x₂^*）必然满足预算约束：

（p₁＋t）x₁^*＋p₂x₂^*＝m③

通过这种课税，政府的收入增加为R^*＝tx₁^*。

当政府征收相同数量的所得税时，消费者的预算约束就为：

p₁x₁＋p₂x₂＝m－R^*④

把①式中的R^*用tx₁^*替换掉，得到：

p₁x₁＋p₂x₂＝m－tx₁^*⑤

显然⑤式描述的预算线与①式描述的预算线具有相同的斜率－p₁/p₂，且该预算线经过点（x₁^*，x₂^*）。

这就证实了（x₁^*，x₂^*）位于所得税的预算线上：它是消费者能够负担得起的选择。但它并非消费者的最优选择。这是因为在（x₁^*，x₂^*）点上，边际替代率为－（p₁＋t）/p₂，不等于⑤式的斜率。这样，预算线与无差异曲线就在（x₁^*，x₂^*）相交。这意味着预算线上可能有一些点比（x₁^*，x₂^*）更受到消费者偏好，无差异曲线继续向右上方移动直至与预算线相切，此时达成边际替代率等于交换比率的最适条件，实现效用最大化的均衡。因此，消费者的生活将比在课征从量税的情况下更好，从这个意义上说，所得税肯定优于从量税。如图5-12所示。

结论：在政府得到相同税收的情况下，征所得税时消费者的生活比在征数量税时过得更好。此结论具有三个局限性：仅仅适用于一个消费者的情况；假定征收所得税不会使消费者的收入发生变化；没有考虑供给对税收的反应。

图5-12　所得税与从量税的福利比较

2写出下列情形的效用函数，画出无差异曲线，并求最优解。

（1）x₁＝一支铅笔；x₂＝一对铅笔。

（2）一杯咖啡加两勺糖一起消费。

答：（1）x₁完全替代x₂，2单位的x₁和1单位的x₂能够带来相同的效用。最简单的效用函数形式：

u（x₁，x₂）＝x₁/2＋x₂

假设两种商品的价格分别为p₁和p₂，消费者的总财富为m，问题可以写成如下：

分三种情况进行求解（如图5-13所示）。

图5-13　消费者的选择

①如果p₁＜p₂/2，全部财富用于购买x₁，即x₁＝m/p₁，x₂＝0；

②如果p₁＞p₂/2，全部财富用于购买x₂，即x₁＝0，x₂＝m/p₂；

③如果p₁＝p₂/2，那么（x₁，x₂）的组合满足预算约束p₁x₁＋p₂x₂＝m，是问题的解。

（2）一杯咖啡需要两勺糖，为完全互补品，x₁和x₂分别代表这两种商品的量，效用函数如下：

u（x₁，x₂）＝min{x₁，x₂/2}

消费者的问题是：

任何解都应该满足x₁＝x₂/2和预算约束。因此，将x₁＝x₂/2代入预算约束式，可以得到x₂＝2m/（p₁＋2p₂），x₁＝m/（p₁＋2p₂）。

3求解如下效用函数的最优选择

（1）u（x₁，x₂）＝x₁²x₂

（2）

答：（1）问题可以写成：

构造拉格朗日方程如下：

L＝x₁²x₂＋λ（m－p₁x₁－p₂x₂）

其中，λ是拉格朗日乘数。

因为u（·）对（x₁，x₂）是凹函数，且预算约束是线性的，一阶条件对求最大化问题是必要条件。对其求偏导并令偏导为0可得：

2x₁x₂－λp₁＝0①

x₁²－λp₂＝0②

m－p₁x₁－p₂x₂＝0③

从①和②可得：

x₁＝2p₂x₂/p₁

将其代入③可得其最优选择为：

x₂＝m/（3p₂），x₁＝2m/（3p₁）

（2）问题是：

构造拉格朗日方程如下：

其中λ是拉格朗日乘数。

因为u（·）对（x₁，x₂）是凹函数，预算约束是线性的，一阶条件对求最大化问题是必要条件。对其求各偏导并令偏导为0可得：

　④

1－λp₂＝0⑤

m－p₁x₁－p₂x₂＝0⑥

从④和⑤可得：x₁＝p₂²/（4p₁²）。

然后将其代入⑥可得：

当m/p₂－p₂/（4p₁）≥0，即m≥p₂²/（4p₁）时，x₂≥0，此时问题的解即为x₁＝p₂²/（4p₁²），x₂＝m/p₂－p₂/（4p₁）（内部解）。

当m/p₂－p₂/（4p₁）＜0，即m＜p₂²/（4p₁）时，x₂＝0，此时问题的解即为x₁＝m/p₁，x₂＝0（角点解）。

4消费者对（x₁，x₂）的效用函数是拟线性的效用函数

x₁的价格为1，x₂的价格为p₂，消费者的收入是m。

（1）求x₁，x₂的需求函数（注意分情况讨论，比如角点和内部解）。

（2）设m＝100，此时收入变化是否影响对x₁，x₂的消费？

（3）设m＝100，p₂从1变到2，计算该消费者从消费x₂这种商品获得的消费者剩余的变化。

解：（1）消费者的效用最大化问题为：

从而可知：

当m＞1/（4p₂）时，

解得x₂＝1/（4p₂²），x₁＝m－1/（4p₂）（内部解）；

当m≤1/（4p₂）时，x₁＝0，x₂＝m/p₂（角点解）。

（2）令m＝100。如果p₂＞1/（4m），那么：

于是∂x₁/∂m＝1＞0，∂x₂/∂m＝0，即收入变化对x₁的消费有正的影响，对x₂的消费没有影响。

如果p₂≤1/（4m），那么（x₁，x₂）＝（0，m/p₂），于是∂x₁/∂m＝0，∂x₂/∂m＝1/p₂＞0，即收入变化对x₁的消费没有影响，对x₂的消费有正的影响。

（3）无论p₂等于1或2，都有p₂＞1/（4m）＝1/400，所以消费者剩余的变化为：

5唐纳只消费两种商品，胡萝卜（Q_c）和坚果（Q_d）。他的效用函数为V（Q_c，Q_d）＝Q_c·Q_d，胡萝卜和坚果的边际效用分别为MV_c和MV_d，而且MV_c＝Q_d，MV_d＝Q_c。唐纳的收入（I）是120元，胡萝卜的价格（P_c）和坚果的价格（P_d）都是1元。

（1）求唐纳的预算线。

（2）求唐纳的收入消费曲线。

（3）要使唐纳的效用最大，应分别消费多少Q_c和Q_d？

（4）假定唐纳的收入固定在120元，P_d固定在1元，求唐纳消费胡萝卜的需求曲线。

（5）假定对每单位坚果收1元的税，要使效用最大，唐纳需要做何改变？

（6）假定用总量税来代替每单位的税，要使效用最大，唐纳需要做何改变？

（7）第（5）问和第（6）问的措施使政府获得了同样多的收入，但对于唐纳来说，他更喜欢哪种方式？定量地进行说明。

解：（1）唐纳的预算线为：Q_c＋Q_d＝120。

（2）要使消费者的效用达到最大，必须有：

MV_c/P_c＝MV_d/P_d

将MV_c＝Q_d，MV_d＝Q_c，P_c＝P_d＝1代入上式就得到Q_c＝Q_d，这正是唐纳的收入提供曲线，也称收入扩展线，其代表了不同收入水平上的需求束。

（3）由（1）和（2）可知：

解得Q_c＝60，Q_d＝60。

（4）由120＝P_c·Q_c＋P_d·Q_d和Q_d＝P_cQ_c可得Q_c＝60/P_c。

（5）1元的税使坚果的税后价格变为2元，则MV_d/MV_c＝P_d/P_c＝2。

再利用MV_d＝Q_c，MV_c＝Q_d可得：

Q_c/Q_d＝2①

另外唐纳的预算线为：

120＝Q_c＋2Q_d②

①和②两式联立求解，可得Q_c＝60，Q_d＝30，即胡萝卜的需求不变，仍为60，但是坚果的需求降低，数量为30。

（6）在（5）问中，唐纳买了30个坚果，应纳税30×1＝30元，因此除去30元税后，唐纳的净收入为120－30＝90元，因此如果征30元的总量税，那么唐纳的最优消费量必须满足：

Q_c＋Q_d＝90

Q_c/Q_d＝MV_d/MV_c＝P_d/P_c＝1

解得Q_c＝45，Q_d＝45。同征收价格税时的消费组合相比，胡萝卜的需求量减少，坚果的需求量增加。

（7）唐纳的效用函数为V（Q_c，Q_d）＝Q_c·Q_d。

实行从量税后他的效用为V＝60×30＝1800；实行总量税后他的效用为V＝45×45＝2025。

由于2025＞1800，唐纳更倾向于实行总量税。

6已知某消费者每月用于购买X商品和Y商品的货币收入为M＝9000美元，这两种商品的价格分别为P_X＝30美元、P_Y＝40美元，该消费者的效用函数为U＝2XY²，试求该消费者每月购买这两种商品的数量分别是多少？他每月从中获得的总效用是多少？

解：消费者的效用最大化问题为：

从约束条件中反解出X的表达式，代入目标函数中就有：

目标函数关于Y求导得，dU/dY＝1200Y－8Y²，令该一阶导函数等于零，解得Y＝150，从而X＝300－（4/3）×150＝100，消费者的效用为U＝2×100×150²＝4500000。

故该消费者每月购买100单位X商品与150单位Y商品可实现效用最大化，他每月可获得450万单位总效用。

7假设食物需求的收入弹性是0.5，需求价格弹性是－1.0，再假设一名妇女每年花在食物上是10000美元，食物价格是2美元，她的收入是25000美元。

（1）如果一项2美元的食物销售税使食物的价格翻一番，那么她的食物消费会有什么变化？

（2）假设她得到5000美元的退税以缓解税收的影响。她现在的食物消费又将如何呢？

（3）当她得到的退税数额等于销售税的支付数额时，她的情况是改善还是变糟了？

解：（1）由题意知：

食物价格翻一番，即P/ΔP＝1，从而Q/ΔQ＝－1；

即ΔQ＝－Q；

故她不再进行食物消费。

（2）由题意知：

且

Q＝10000/2＝5000

（ΔQ/5000）·（25000/5000）＝0.5

解得：ΔQ＝500。

即食物消费会增加500。

（3）因为收入弹性小于1，当退税额等于销售税的支付额时，她的情况变糟了。具体证明如下：

情形1：局部均衡的分析方法：

假设征税前食品的价格为p，消费者的收入为m，消费者的食品消费量为Q。再假设税率为t，那么根据弹性的定义，征税后食品消费的减少量为：ΔQ₁＝tQ/p。

这时政府实际征收到的税额为t（Q－ΔQ₁），这正是消费者可以得到的退税额，再根据收入弹性的定义，可知退税使得食品消费的增加量为：

由于p（Q－ΔQ₁）/m＜1，E_m＜1，所以ΔQ₂＜tQ/p，这就说明退税不能使得消费者对食品的消费量回到征税之前的水平上，所以从局部均衡的角度考虑（因为一般均衡会有替代效应的作用，而这里只是用局部均衡的方法分析，不考虑替代效应），消费者的境况变差。

情形2：一般均衡的分析方法：

假设税后食品价格从p上升到p′＝p＋t，消费者对此做出的反应是把她的消费从x减少到x′。因为消费者对每单位食品都将多支付t元，而且征税后她的食品消费是x′，所以通过征税从消费者身上得到的收入将是：

R＝tx′＝（p′－p）x′

特别地，税收收入取决于消费者最终消费的食品数量x′，而不取决于她最初的消费量x。

若令y为消费者在其他商品上的支出，并规定它的价格为1，则初始的预算约束将是：

px＋y＝m①

而实行退税计划后的预算约束将是：

（p＋t）x＋y＝m＋tx′②

如果令方程②左边的x和y分别取值x′和y′，然后再消去等号两边的tx′就可以得到：

px′＋y′＝m

因此，（x′，y′）是这样一个消费束，它在原来的预算约束下是可以支付得起的，但消费者没有选择它而选择了（x，y）。因此可以断定消费者对于（x，y）的偏好超过对（x′，y′）的偏好，换句话说，由于实施退税，消费者的境况将变坏。同局部均衡的结论一样，如图5-14所示。

图5-14　退税对消费者福利的影响