第8章　斯勒茨基方程

8.1　复习笔记

1总论

某种商品价格的上升可能会产生两方面的影响：

（1）使该商品相对于其替代商品而言变得更昂贵了，这会导致消费者减少对该商品的消费量，而增加对该商品替代品的消费量，即由于两种商品之间的交换比率发生变化从而引起需求变化，这种效应称为价格变化的替代效应。

（2）使得消费者的实际收入（或购买力）下降，这也会导致该消费者减少（或增加）对商品的消费量，这种效应称为价格变化的收入效应。

斯勒茨基方程的作用在于它可以分解出某商品价格变动所引起该商品需求量的变动中有多少是替代效应所导致，而又有多少是收入效应所导致的。

2替代效应

（1）替代效应的含义

替代效应指在保持购买力不变的情况下，仅由于相对价格的变动而导致的消费者需求量的变动量。

（2）替代效应的图示

图8-1　替代效应和收入效应

一种商品的价格变动后，在新的相对价格水平下，消费者的实际收入刚好能够支付得起价格变动之前的那个均衡商品束，这种情况即为斯勒茨基方程中的购买力不变，即消费者购买力在价格变动前或价格变动后是一样的。图8-1中SE为替代效应。

（3）替代效应的符号

如图8-1所示，如果一种商品的价格下降，那么，因替代效应而导致的这种商品的需求变动一定是非负的。对这个论点的证明如下：

假设消费者总是选择他能够支付的最优消费束，那么，消费者对消费束X的偏好，一定超过他对转动后的预算线上位于原预算集内的所有消费束的偏好。这说明，转动后的预算线上的最优选择必定是X，或者是X右侧的某个点。在新的最优选择中商品1的消费量，至少将与原先的消费量一样多，而这正是要证明的结论。

由此得出：替代效应总是与价格的变动方向相反。

（4）替代效应的计算

首先调整货币收入以保持实际购买力不变。由于在初始均衡点：价格水平为（p₁，p₂），均衡商品束为（x₁，x₂），支付的货币为：

m＝p₁x₁＋p₂x₂

价格变动后：价格水平为（p₁′，p₂），均衡商品束为（x₁′，x₂′），要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该为：

m′＝p₁′x₁＋p₂x₂

则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为：

Δm＝m′－m＝x₁（p₁′－p₁）＝x₁Δp₁

所以替代效应就应当为：

Δx₁^s＝x₁（p₁′，p₂，m′）－x₁（p₁，p₂，m）

3收入效应

（1）收入效应的含义

收入效应指在新的相对价格水平（p₁′/p₂）下，仅仅由于实际购买力（或实际收入）的变化而导致的消费者需求量的变动量。

（2）收入效应的图示

参见图8-1，图中IE为收入效应。

（3）收入效应的计算

Δx₁ⁿ＝x₁（p₁′，p₂，m）－x₁（p₁′，p₂，m′）

4价格变动的总效应（需求的总变动）

（1）斯勒茨基方程（斯勒茨基恒等式）

Δx₁＝Δx₁^s＋Δx₁ⁿ＝x₁（p₁′，p₂，m）－x₁（p₁，p₂，m）＝[x₁（p₁′，p₂，m′）－x₁（p₁，p₂，m）]－[x₁（p₁′，p₂，m′）－x₁（p₁′，p₂，m）]

（2）不同类型商品的价格变动的效应分析

在以下分析中，商品1均为所研究对象。图8-2是正常商品价格变动（下降）的效应；图8-3是低档（非吉芬）商品价格变动（下降）的效应；图8-4是低档（吉芬）商品价格变动（下降）的效应。

图8-2　正常商品价格变动的效应

图8-3　低档（非吉芬）商品的价格变动效应

图8-4　吉芬品的价格变动效应

5变动率

反映价格变动引起需求量变化率的斯勒茨基方程：

令Δx₁^m＝x₁（p₁′，p₂，m′）－x₁（p₁′，p₂，m）＝－Δx₁ⁿ，则：Δx₁＝Δx₁^s－Δx₁^m。

于是：

由于：Δm＝x₁Δp₁，所以：Δp₁＝Δm/x₁，从而用变化率表示的斯勒茨基方程为：

其中，用变化率表示的替代效应为：

用变化率表示的收入效应为：

6需求法则

如果一种商品的需求随着收入的增加而增加，那么，这种商品的需求一定会随着价格的上升而下降。

7特定偏好情形下的替代效应和收入效应

（1）完全互补品价格变动的替代效应和收入效应如图8-5所示。

图8-5　完全互补品价格变动效应

（2）完全替代品价格变动的替代效应和收入效应如图8-6所示。

图8-6　完全替代品价格变动的效应

（3）拟线性偏好品价格变动的替代效应和收入效应如图8-7所示。

图8-7　拟线性偏好品价格变动效应

（4）利用替代效应和收入效应研究偏好的总结，见表8-1。

表8-1　利用替代效应和收入效应研究偏好的总结

8希克斯替代效应

（1）希克斯替代效应的含义

希克斯替代效应考虑的是给予消费者足够多的货币使他恰好能回到原先的无差异曲线。

在价格变化对需求的影响中，希克斯分解与斯勒茨基分解的区别在于替代效应的不同。

希克斯替代效应不是保持购买力不变而是保持效用不变（即在同一条无差异曲线上）。斯勒茨基替代效应给予消费者足够多的货币使他恰好能恢复到原先的消费水平，而希克斯替代效应则给予消费者足够多的货币使他恰好能回到原先的无差异曲线。这在图形中的表现就是价格变化后的预算线辅助线的画法不同，希克斯分解中的预算线辅助线是与原来的无差异曲线相切，而斯勒茨基分解中的辅助线是经过价格变化前的需求束。希克斯替代效应如图8-8所示。

图8-8　希克斯替代效应

（2）希克斯替代效应为负的证明

可以通过显示偏好来证明希克斯替代效应一定是负的。令（x₁，x₂）为按价格（p₁，p₂）选择的需求束，令（y₁，y₂）为按另一组价格（q₁，q₂）选择的需求束。假设收入使得消费者对于（x₁，x₂）和（y₁，y₂）无差异，所以其中任何一个需求束都不会被显示偏好于另一个需求束。

利用显示偏好的定义，这意味着以下两个不等式不成立：

p₁x₁＋p₂x₂＞p₁y₁＋p₂y₂

q₁y₁＋q₂y₂＞q₁x₁＋q₂x₂

由此可知下面两个不等式是成立的：

p₁x₁＋p₂x₂≤p₁y₁＋p₂y₂

q₁y₁＋q₂y₂≤q₁x₁＋q₂x₂

将这两个不等式相加并整理后有：

（q₁－p₁）（y₁－x₁）＋（q₂－p₂）（y₂－x₂）≤0

只让第一种商品的价格发生变化，因此q₂＝p₂，从而有（q₁－p₁）（y₁－x₁）≤0。这个方程表明，需求数量的变动一定与价格变动的方向相反，而这正是要证明的结论。

按照希克斯分解定义的替代效应，斯勒茨基方程可以写成：

9三种需求曲线

在三种不同的框架下（收入保持不变（标准情形）、购买力保持不变（斯勒茨基效应）、效用保持不变（希克斯效应）），产生了三种不同的需求曲线：

（1）标准需求曲线：对于正常商品来说，标准需求曲线是向下倾斜的；对吉芬商品来说，标准需求曲线向上倾斜在理论上是可能的。

（2）斯勒茨基需求曲线：斯勒茨基需求曲线总是向下倾斜的。

（3）希克斯需求曲线：希克斯需求曲线有时也称作补偿需求曲线，希克斯需求曲线总是向下倾斜的。