8.3　强化习题详解

120世纪70年代末，为了减少汽油消费，卡特政府计划对汽油进行征税，采取的政策措施是：对汽油消费进行征税，然后政府再把征税带来的收入退还给消费者。该项政策措施受到了当时总统候选人里根的严厉批评，认为退税会使汽油税政策起不到作用，试分析这一政策的影响（假设汽油税最终会全部转嫁到汽油消费者身上）。

答：该政策会引起汽油需求量的下降，但同时也会使消费者的境况变差。分析如下：

假设税后汽油价格从p上升到p′＝p＋t，某代表性消费者对此作出的反应是把他的消费从x减少到x′。因为该消费者对每加仑汽油都将多支付t美元，而且他征税后的汽油消费是x′加仑，所以通过征税从平均消费者身上得到的收入是：R＝tx′＝（p′－p）x′。

令y为消费者在其他所有商品上的支出，并规定它的价格为1，则初始的预算约束是：

px＋y＝m①

而实行退税计划后的预算约束将是：

（p＋t）x′＋y′＝m＋tx′②

消去方程②等号两边的tx′，得到：px′＋y′＝m。

因此，（x′，y′）在原来的预算约束下是可以支付得起的，但消费者没有选择它而选择了（x，y）。所以断言，消费者对（x，y）的偏好超过对（x′，y′）的偏好，换句话说，由于实施这项计划，消费者的境况将变坏。相应的图形见图8-12。

图8-12　退税对消费者的影响

2当偏好为完全替代时，计算当价格变化时的收入效应和替代效应（注意分情况讨论）。

答：假设效用函数为：u（x₁，x₂）＝x₁＋ax₂，a＞0，两种商品的初始价格为p₁和p₂，消费者的收入为m。

首先，假设p₁/p₂＜1/a，所以初始的消费组合为（m/p₁，0）。然后当价格改变，不妨假设商品1的价格从p₁变到p₁′。

（1）当p₁′/p₂＜1/a时，最后的消费组合为（m/p₁′，0）。由于在后来的价格水平下原来的消费组合也是可以达到的，所以商品1的替代效应为0，收入效应为m/p₁′－m/p₁，如果商品1的价格下降则收入效应为正值。如图8-13所示。

图8-13　替代效应和收入效应

（2）当p₁′/p₂＝1/a时，预算约束为p₁′x₁＋p₂x₂＝m。假设最后的选择为x(＿)₁。在新的价格下，原来的消费组合是可以达到的。假设消费者的选择是（x(＿)₁′，x(＿)₂′），则商品1的替代效应为x(＿)₁′－m/p₁，收入效应为x(＿)₁－x(＿)₁′。如图8-14所示。

图8-14　替代效应和收入效应

（3）当p₁′/p₂＞1/a时，则消费者最后的选择为（0，m/p₂）。由于在新的价格下原来的消费组合可以达到，因此消费者的选择为（0，mp₁′/（p₁p₂）），所以商品1的替代效应为－m/p₁，收入效应为0。如图8-15所示。

图8-15　替代效应和收入效应

现在再假定p₁/p₂＞1/a，那么初始的消费组合为（0，m/p₂），则商品1的价格变为p₁′。

同理有下列情况成立：

（4）当p₁′/p₂＜1/a时，最后的消费组合为（m/p₁′，0）。商品1的替代效应为m/p₁′，收入效应为0，如图8-16所示。

图8-16　替代效应和收入效应

（5）当p₁′/p₂＝1/a时，假设消费者的最后选择为（x(＿)₁，x(＿)₂），则商品1的替代效应为x(＿)₁，收入效应为0，如图8-17所示。

图8-17　替代效应和收入效应

（6）当p₁′/p₂＞1/a时，最后的选择即为初始选择。所以商品1替代效应和收入效应都为0。

假设初始p₁/p₂＝1/a，选择（x(＿)₁，x(＿)₂），则预算约束为p₁x₁＋p₂x₂＝m。

（7）当p₁′/p₂＜1/a时，则最后的消费组合为（m/p₁′，0）。商品1的替代效应为

收入效应为m/p₁′－p₂x(＿)₂/p₁′，如图8-18所示。

注意，不可能存在p₁′/p₂＝1/a，否则商品1的价格不会发生变化。

图8-18　替代效应和收入效应

（8）当p₁′/p₂＞1/a时，消费组合为（0，m/p₂）。则替代效应为－x(＿)₁，收入效应为0。

3用显示偏好的弱公理说明为什么斯勒茨基替代效应为负。

答：如图8-19所示，例如，假设商品1的价格上升，商品2的价格不变，任何一个位于虚线左侧预算约束上的组合都可以是初始组合，如果这个组合在新的预算约束条件下被消费者选中，那么就背离了WARP。所以只有虚线右侧的组合才符合要求，即商品1的价格上升，替代效应为负。

图8-19　斯勒茨基替代效应为负

注意：严格地说，替代效用的符号应是非正的。因为当偏好极为特殊（比如完全互补的偏好等）的时候，替代效用为零。当然，一般情况下，替代效用的符号是负的。

4假设工人的工资率为w＝9元/小时，他可以通过工作赚取工资购买消费品。此外工人每天可用于休息和工作的总的时间为R(＿)＝18小时，其初始财富为m＝16元，他关于休息和消费的效用函数为u（R，c）＝cR，求：

（1）工人效用最大化的工作时间L^*，休息时间R^*和消费量c^*。

（2）如果工资率上升到w′＝12元/小时，求工人效用最大化的工作时间L^*，休息时间R^*。

解：（1）工人的选择问题用下面的数学表达式表述为：

已知w＝9，R(＿)＝18，m＝16，建立如下的拉格朗日函数：

L＝cR＋λ（16＋9×18－9R－c）＝cR＋λ（178－9R－c）

由一阶条件得：

R－λ＝0①

c－9λ＝0②

178－9R－c＝0③

由①②得：R＝λ，c＝9λ，代入③，可得：R^*＝λ＝89/9，c^*＝89，L^*＝18－R^*＝73/9。

（2）如果w′＝12，则拉格朗日函数为：

L＝cR＋λ（16＋12×18－12R－c）＝cR＋λ（232－12R－c）

由一阶条件得：

R－λ＝0④

c－12λ＝0⑤

232－12R－c＝0⑥

由④⑤得：R＝λ，c＝12λ，代入⑥，解得：R^*＝λ＝29/3，c^*＝116，所以L^*＝18－29/3＝25/3。

5设消费者对（x₁，x₂）的效用函数是U＝x₁＋x₂，x₁的价格为2，x₂的价格为1，消费者的收入是m＝100。

（1）计算当p₁从2变到1/2时对x₁的需求的变化。

（2）计算该变化的斯勒茨基替代效应和收入效应，并画图表示出来。

解：（1）由题可知，该效用函数为完全替代情形，因为p₁＝2＞1＝p₂，所以x₁＝0；因为p₁′＝1/2＜1＝p₂，所以x₁′＝m/p₁′＝200。从而当商品1的价格从2变化到1/2时：Δx₁＝x₁′－x₁＝200。

（2）价格变化前的消费束是（0，100），价格变化后要使消费者仍消费原来的消费束，收入应为：m′＝0×1/2＋100×1＝100。

所以斯勒茨基替代效应为：Δx₁^s＝x₁（1/2，1，m′）－x₁（2，1，m）＝200；

收入效应为：Δx₁^m＝Δx₁－Δx₁^s＝0；

如图8-20所示。

图8-20　替代效应和收入效应

6以横轴代表劳动供给量，纵轴代表工资率，建立劳动供给曲线图。如果闲暇为劣等品，那么劳动供给曲线向上倾斜；如果闲暇是正常品，那么劳动供给曲线仍向上倾斜。这个说法对吗？

答：前一句判断正确，后一句不正确。理由如下：

工资率上升给劳动供给带来两方面的效应：一方面使得闲暇的相对价格提高从而减少闲暇，增加劳动供给（替代效应）；另一方面工资上涨使得总收入增加（收入效应）。对劳动供给来说，如果闲暇是劣等品，则工资升高的收入效应与替代效应是同向的，即收入上升会使闲暇减少，从而劳动的供给上升，这样劳动供给曲线一定是向上倾斜的。如果闲暇是正常品，则收入效应和替代效应是反向的，劳动供给曲线的方向不能确定。因此，前一句判断正确，后一句不正确。

7如果对x₁与x₂的需求函数为x₁（p，y）＝a₁y/p₁，x₂（p，y）＝a₂y/p₂（这里a₁＋a₂＝1，y是收入），由于∂x₁/∂p₂＝∂x₂/∂p₁＝0，那么x₁与x₂之间不是相互替代的。这个说法对吗？

答：这个说法错误。理由如下：

根据柯布-道格拉斯效用函数的性质以及已知的需求函数可以得出其效用函数为：

可以得到（求希克斯需求函数或简单地用图象判断）x₁与x₂之间是相互替代的（注意总替代和替代的区别）。

8王五爱喝红酒。当其他商品价格不变时，他对红酒的需求函数为Q＝0.03M－4P，其收入为M＝7000元，红酒价格为40元。当红酒价格上升为50元时，价格总效应是多少瓶红酒？其中替代效应与收入效应分别是多少？当价格降为30元时，价格总效应、替代效应和收入效应分别是多少？

解：已知Q＝0.03M－4P，M＝7000，P₁＝40，P₂＝50，P₃＝30。

（1）先求出价格变动前的需求量：Q₁＝0.03M－4P₁＝0.03×7000－4×40＝210－160＝50（瓶）；

再求出价格变动后的需求量：Q₂＝0.03M－4P₂＝0.03×7000－4×50＝210－200＝10（瓶）；

总效应可由价格变动前后的需求量相减求得：TE＝Q₂－Q₁＝10－50＝－40（瓶）；

求替代效应先要算出维持价格变动前的需求量所需收入：M₂＝7000＋（50－40）×50＝7000＋500＝7500（元）；

再算出这种收入在红酒提价后的需求量：Q₃＝0.03M₂－4P₂＝0.03×7500－4×50＝225－200＝25（瓶）；

替代效应可由Q₃与Q₁相减而得：SE＝Q₃－Q₁＝25－50＝－25（瓶）；

收入效应可由Q₂与Q₃相减而得：IE＝Q₂－Q₃＝10－25＝－15（瓶），或者由总效应与替代效应相减而得：IE＝TE－SE＝－40－（－25）＝－15（瓶）。

（2）如果红酒降价为30元1瓶，计算方法同上。

Q₁＝0.03×7000－4×40＝210－160＝50（瓶）

Q₂＝0.03×7000－4×30＝210－120＝90（瓶）

总效应TE＝90－50＝40（瓶）

M₃＝7000＋（30－40）×50＝7000－500＝6500（元）

Q₃＝0.03×6500－4×30＝195－120＝75（瓶）

替代效应SE＝Q₃－Q₁＝75－50＝25（瓶）

收入效应IE＝Q₂－Q₃＝90－75＝15（瓶）

所以，红酒提价后，总效应TE为－40瓶，替代效应SE为－25瓶，收入效应为－15瓶；红酒降价后，总效应TE为40瓶，替代效应SE为25瓶，收入效应为15瓶。