2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解_考研数学（一）历年真题与模拟试题详解-QQ阅读男生都市网

上QQ阅读APP看本书，新人免费读10天

设备和账号都新为新人

2009年全国硕士研究生入学统一考试考研数学一真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1当x→0时，f（x）＝x－sinax与g（x）＝x²ln（1－bx）为等价无穷小，则（　　）。

A．a＝1，b＝－1/6

B．a＝1，b＝1/6

C．a＝－1，b＝－1/6

D．a＝－1，b＝1/6

【答案】A

【考点】等价无穷小的定义

【解析】根据泰勒展开得

f（x）＝x－sinax＝x－[ax－（ax）³/3!＋o（x³）]＝（1－a）x＋（ax）³/3!－o（x³）

又g（x）＝x²ln（1－bx）～－bx³。

由于f（x）＝x－sinax与g（x）＝x²ln（1－bx）为等价无穷小，故

即a＝1，b＝－1/6。

2如图1所示，正方形{（x，y）||x|≤1，|y|≤1}被其对角线划分为四个区域D_k（k＝1，2，3，4），

则（　　）。

图1

A．I₁

B．I₂

C．I₃

D．I₄

【答案】A

【考点】二重积分的性质

【解析】被积函数ycosx关于y为奇函数，关于x为偶函数，而D₂，D₄均关于x轴对称，所以

D₁，D₃均关于y轴对称，所以

3设函数y＝f（x）在区间[－1，3]上的图形如图2所示。

图2

则的图形为（　　）。

【答案】D

【考点】考查函数的数形结合法

【解析】①在区间（－1，0）上，f（x）＞0，则F（x）在此区间上单调递增，排除A项。②F（0）＝0，排除C项。③F（x）为连续函数，排除B项。

4设有两个数列{a_n}，{b_n}，若

则（　　）。

A．当收敛时，收敛

B．当发散时，发散

C．当收敛时，收敛

D．当发散时，发散

【答案】C

【考查】级数收敛的判别

【解析】取

则收敛，发散，排除A项；取a_n＝b_n＝1/n，则发散，收敛，收敛，排除B、D两项。

5设α₁，α₂，α₃是三维向量空间R³的一组基，则由基α₁，α₂/2，α₃/3到α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃＋α₁的过渡矩阵为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【考点】考查过渡矩阵的求法

【解析】设α₁，α₂/2，α₃/3到α₁，α₂，α₃的过渡矩阵为P₁，α₁，α₂，α₃到α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃＋α₁的过渡矩阵为P₂，则

（α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃＋α₁）＝（α₁，α₂，α₃）P₂＝（α₁，α₂/2，α₃/3）P₁P₂

又

即

又有

即

故由基α₁，α₂/2，α₃/3到α₁＋α₂，α₂＋α₃，α₃＋α₁的过渡矩阵为

6设A，B均为二阶矩阵，A^*，B^*分别为A，B的伴随矩阵，若|A|＝2，|B|＝3，则分块矩阵的伴随矩阵为（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】B

【考点】伴随矩阵的定义，分块矩阵的性质

【解析】对任一n级矩阵A，有AA^*＝|A|E代入选项，例如

而

知B项正确。

7设随机变量X的分布函数为F（x）＝0.3Φ（x）＋0.7Φ[（x－1）/2]，其中Φ（x）为标准正态分布的分布函数，则EX＝（　　）。

A．0

B．0.3

C．0.7

D．1

【答案】C

【考点】分布函数与密度函数的关系，期望的定义和性质及标准正态分布的定义

【解析】由题设可知X的密度函数为f（x）＝F′（x）＝0.3φ（x）＋0.35φ[（x－1）/2]，φ（x）为标准正态分布的密度函数。于是

8设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布N（0，1），Y的概率分布为P{Y＝0}＝P{Y＝1）＝1/2，记F_Z（x）为随机变量Z＝XY的分布函数，则函数F_Z（z）的间断点的个数为（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】B

【考点】分布函数的求法，随机变量相互独立的性质，函数间断点的定义和求法

【解析】随机变量Z＝XY的分布函数为

F_Z（z）＝P{Z≤z}＝P{XY≤z}＝P{XY≤z|Y＝0}P{Y＝0}＋P{XY≤z|Y＝1}P{Y＝1}＝P{XY≤z|Y＝0}/2＋P{XY≤z|Y＝1}/2

由于X与Y相互独立，故F_Z（z）＝P{0≤z}/2＋P{X≤z}/2。当z＜0时，F_Z（z）＝P{X≤z}/2＝Φ_X（z）/2；当z≥0时，F_Z（z）＝1/2＋P{X≤z}/2＝1/2＋Φ_X（z）/2。于是

故z＝0为F_Z（z）的间断点，选B。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9设函数f（u，v）具有二阶连续偏导数，z＝f（x，xy），则∂²z/∂x∂y＝______。

【答案】xf₁₂″＋xyf₂₂″＋f₂′

【考点】复合函数的偏导公式

【解析】∂z/∂x＝f₁′＋yf₂′＝f₁′·1＋yf₂′

∂²z/∂x∂y＝∂（f₁′＋yf₂′）/∂y＝f₁₁″·0＋f₁₂″·x＋f₂′＋yf₂₁″·0＋yf₂₂″·x＝xf₁₂″＋xyf₂₂″＋f₂′

10若二阶常系数线性齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的通解为y＝（C₁＋C₂x）e^x，则非齐次方程y″＋ay′＋by＝x满足条件y（0）＝2，y′（0）＝0的解为y＝______。

【答案】y＝x（1－e^x）＋2

【考点】齐次线性微分方程的通解与其特征值的关系，非齐次线性微分方程的特解的求法

【解析】由题设可知，λ＝1为齐次微分方程y″＋ay′＋by＝0的特征方程式λ²＋aλ＋by＝0的二重根，则a＝－2，b＝1，于是非齐次方程为y″－2y′＋y＝x。设其特解为y^*＝Ax＋B，代入得A＝1，B＝2。故非齐次方程的通解为y＝（C₁＋C₂x）e^x＋x＋2，C₁、C₂是任意常数。

由y（0）＝2可得C₁＝0。y′＝（C₂xe^x＋x＋2）′＝C₂（1＋x）e^x＋1，由y′（0）＝0可得C₂＝－1。所以满足条件的解为y＝x（1－e^x）＋2。

11已知曲线L：

则______。

【答案】13/6

【考点】第一型曲线积分的求解公式，定积分的求法

【解析】

12设Ω＝{（x，y，z）|x²＋y²＋z²≤1}，则______。

【答案】4π/15

【考点】利用球坐标系求三重积分

【解析】

13若三维列向量α，β满足α^Tβ＝2，其中α^T为α的转置，则矩阵βα^T的非零特征值为______。

【答案】2

【考点】矩阵乘法的性质，特征值的定义

【解析】由题设可知，βα^T·βα^T＝2βα^T，设βα^T的非零特征值为λ，则λ²＝2λ，得λ＝2，λ＝0（舍去）。

14设X₁，X₂，…，X_m为来自二项分布总体B（n，p）的简单随机样本，X(＿)和S²分别为样本均值和样本方差。若X(＿)＋kS²为np²的无偏估计量，则k＝______。

【答案】－1

【考点】考查样本均值，样本方差，无偏估计的定义及期望的性质

【解析】由题设可知，EX(＿)＝np，ES²＝np（1－p）。若X(＿)＋kS²为np²的无偏估计量，则E（X(＿)＋kS²）＝np²，即EX(＿)＋kES²＝np²。于是np＋knp（1－p）＝np²，解得k＝－1。

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15（本题满分9分）

求二元函数f（x，y）＝x²（2＋y²）＋ylny的极值。

【考点】函数极值点的定义和求法

解：令

解得唯一驻点为（0，1/e）。

由于A＝∂²f/∂x²＝2（2＋y²），B＝∂²f/∂x∂y＝4xy，C＝∂²f/∂y²＝2x²＋1/y。于是

且A＞0，故（0，1/e）为函数f（x，y）的极小值点，且极小值为f（0，1/e）＝－1/e。

16（本题满分9分）

设a_n为曲线y＝xⁿ与y＝xⁿ^＋¹（n＝1，2，…）所围成区域的面积，记

求S₁与S₂的值。

【考点】利用积分求面积，级数求和

解：曲线y＝xⁿ与y＝xⁿ^＋¹的交点为（0，0）和（1，1），所围区域的面积

于是

考查幂级数，知其收敛域为（－1，1]，和函数为－ln（1＋x）。

因此

令x＝1，可得S₂＝1－ln2。

17（本题满分11分）

椭球面S₁由椭圆x²/4＋y²/3＝1绕x轴旋转而成，圆锥面S₂由过点（4，0）且与椭圆x²/4＋y²/3＝1相切的直线绕x轴旋转而成。

（Ⅰ）求S₁及S₂的方程；

（Ⅱ）求S₁与S₂之间的立体体积。

【考点】（Ⅰ）考查旋转曲面方程及曲线的切线；（Ⅱ）考查旋转体的体积

解：（Ⅰ）利用旋转曲面的公式得椭球面S₁的方程为x²/4＋（y²＋z²）/3＝1。

设切点为（x₀，y₀），则x²/4＋y²/3＝1在（x₀，y₀）处的切线方程为[2x₀（x－x₀）]/4＋[2y₀（y－y₀）]/3＝0，即x₀x/4＋y₀y/3＝1。

故

解得x₀＝1，y₀＝±3/2。

故过点（4，0）且与椭圆x²/4＋y²/3＝1相切的直线L的方程为x/4±y/2＝1，即y＝±（x－4）/2。

故圆锥面S₂的方程为y²＋z²＝（x－4）²/4，即（x－4）²－4y²－4z²＝0。

（Ⅱ）S₁与S₂之间的立体体积等于一个底面半径为3/2、高为3的锥体体积9π/4与部分椭圆球体体积V之差，其中

故所求体积为9π/4－5π/4＝π。

【评注】本题综合考查了平面图形绕坐标轴旋转后所得的旋转曲面方程、直线绕坐标轴旋转的旋转曲面方程、旋转体的体积、曲线的切线等知识点。

18（本题满分11分）

（Ⅰ）证明拉格朗日中值定理：若函数f（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，则存在ξ∈（a，b），使得f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）；

（Ⅱ）证明：若函数f（x）在x＝0处连续，在（0，δ）（δ＞0）内可导，且

则f_＋′（0）存在，且f_＋′（0）＝A。

【考点】（Ⅰ）考查拉格朗日中值定理，利用辅助函数和罗尔定理证明；（Ⅱ）函数右导数的定义及连续函数的性质

证明：（Ⅰ）取F（x）＝f（x）－{[f（b）－f（a）]（x－a）}/（b－a）。

由题意知，F（x）在[a，b]上连续，在（a，b）内可导，且F（a）＝f（a）－{[f（b）－f（a）]（a－a）}/（b－a）＝f（a），F（b）＝f（b）－{[f（b）－f（a）]（b－a）}/（b－a）＝f（a）。

根据罗尔定理，存在ξ∈（a，b），使得F′（ξ）＝f′（ξ）－[f（b）－f（a）]/（b－a）＝0，即f（b）－f（a）＝f′（ξ）（b－a）。

（Ⅱ）对于任意的t∈（0，δ），f（x）在[0，t]上连续，在（0，t）内可导，由右导数定义及拉格朗日中值定理有

其中ξ∈（0，t）。

由于

且当t→0^＋时，ξ→0^＋，故

即f_＋′（0）存在，且f_＋′（0）＝A。

19（本题满分10分）

计算曲面积分

其中∑是曲面2x²＋2y²＋z²＝4的外侧。

【考点】高斯公式的条件及利用高斯公式求曲面积分

解：本题中曲面∑含奇点（0，0，0），不能直接利用高斯定理，根据被积函数的形式做一小球面，然后再计算。令

则

但是因为（0，0，0）包含在曲面2x²＋2y²＋z²＝4内，所以被积函数在所围区域偏导数不连续，不可以利用高斯定理。

作曲面∑₁：x²＋y²＋z²＝ε²（ε为一很小的正数），取Ω外侧，Ω为∑与∑₁之间的部分。

于是

再根据高斯公式有

故I＝4π。

【评注】高斯定理要求P（x，y，z），Q（x，y，z），R（x，y，z）在闭曲面∑所围成的空间域Ω中具有一阶连续的偏导数，否则不能利用该定理。

20（本题满分11分）

设

（Ⅰ）求满足Aξ₂＝ξ₁，A²ξ₃＝ξ₁的所有向量ξ₂，ξ₃；

（Ⅱ）对（Ⅰ）中的任意向量ξ₂，ξ₃，证明ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关。

【考点】（Ⅰ）考查矩阵的行初等变换，方程组解的判定方法；（Ⅱ）向量组线性无关的性质和判别方法

【分析】（Ⅰ）解非齐次线性方程组，利用矩阵初等行变换将A(＿)→阶梯形，然后利用A_m_×nx＝b有解⇔r（A）＝r（A(＿)）（其中A(＿)＝（A|b））进行判定并求解。（Ⅱ）可利用|ξ₁，ξ₂，ξ₃|≠0或向量组线性无关的定义证明。

解：（Ⅰ）

于是r（A）＝r（A(＿)）＝2，取x₂为自由变量，可得x₃＝－2x₂＋1，x₁＝－x₂。

故

设

则

于是r（B）＝r（B(＿)）＝1，取x₂，x₃为自由变量，则x₁＝－x₂－1/2，故

（Ⅱ）证法1：由（Ⅰ）知

故ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关。

证法2：

由题设可得Aξ₁＝0。设存在一组数k₁，k₂，k₃，使得k₁ξ₁＋k₂ξ₂＋k₃ξ₃＝0①。在等式两端左乘A，得k₁Aξ₁＋k₂Aξ₂＋k₃Aξ₃＝0，则k₂Aξ₂＋k₃Aξ₃＝0，即k₂ξ₁＋k₃Aξ₃＝0②。在等式两端再同乘A，得k₂Aξ₁＋k₃A²ξ₃＝0，即k₃ξ₁＝0，于是k₃＝0，代入②式得k₂ξ₁＝0，故k₂＝0。