2010年全国硕士研究生入学统一考试考研数学三真题及详解

一、选择题（1～8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求。）

1若

则a等于（　　）。

A．0

B．1

C．2

D．3

【答案】C

【考点】函数极限的计算

【解析】

故选C项。

2设y₁，y₂为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，若存在λ，μ使λy₁＋μy₂为该方程的解，λy₁－μy₂为该方程对应齐次微分方程的解，则（　　）。

A．λ＝1/2，μ＝1/2

B．λ＝－1/2，μ＝－1/2

C．λ＝2/3，μ＝1/3

D．λ＝2/3，μ＝2/3

【答案】A

【考点】一阶线性微分方程组求解

【解析】因为y₁，y₂为一阶非齐次线性微分方程y′＋p（x）y＝q（x）的两个特解，所以

y₁′＋p（x）y₁＝q（x），y₂′＋p（x）y₂＝q（x）①

λy₁＋μy₂为该方程的解，则（λy₁＋μy₂）′＋p（x）（λy₁＋μy₂）＝q（x）。将①代入上式可得λ＋μ＝1②，λy₁－μy₂为该方程对应齐次微分方程的解，则（λy₁－μy₂）′＋p（x）（λy₁－μy₂）＝0。将①代入上式可得λ－μ＝0③，由②和③可得λ＝μ＝1/2，故选A项。

3设函数f（x），g（x）具有二阶导数，且g″（x）＜0，g（x₀）＝a是g（x）的极值，则f（g（x））在x₀取到极大值的一个充分条件是（　　）。

A．f′（a）＜0

B．f′（a）＞0

C．f″（a）＜0

D．f″（a）＞0

【答案】B

【考点】判断极值的条件

【解析】

即x＝x₀是f（g（x））的驻点。

若想要f（g（x））在x₀取到极大值，只要f′（g（x₀））g″（x₀）＜0，即f′（g（x₀））＞0，于是f′（a）＞0是一个充分条件，故选B项。

4设f（x）＝ln¹⁰x，g（x）＝x，h（x）＝e^x/10，则当x充分大时，有（　　）。

A．g（x）＜h（x）＜f（x）

B．h（x）＜g（x）＜f（x）

C．f（x）＜g（x）＜h（x）

D．g（x）＜f（x）＜h（x）

【答案】C

【考点】函数的比较

【解析】

于是，当x充分大时，f（x）＜g（x）；

于是，当x充分大时，g（x）＜h（x）。故选C项。

5设向量组（Ⅰ）α₁，α₂，…α_r，可由向量组（Ⅱ）β₁，β₂，…β_s线性表示，则（　　）。

A．若向量组（Ⅰ）线性无关，则r≤s

B．若向量组（Ⅰ）线性相关，则r＞s

C．若向量组（Ⅱ）线性无关，则r≤s

D．若向量组（Ⅱ）线性相关，则r＞s

【答案】A

【考点】向量组的相关性判定

【解析】向量组（Ⅰ）α₁，α₂，…α_r，可由向量组（Ⅱ）β₁，β₂，…β_s线性表示，则

r（α₁，α₂，…α_r）≤r（β₁，β₂，…β_s）≤s

对选项A，若向量组（Ⅰ）线性无关，则r（α₁，α₂，…α_r）＝r，故r≤s，即选A项。

6设A为四阶实对称矩阵，且A²＋A＝O，若A的秩为3，则A相似于（　　）。

A．

B．

C．

D．

【答案】D

【考点】相似矩阵的性质及判定

【解析】因为A为4阶实对称矩阵，所以A必可相似对角化，且A的特征值全为实数。设λ为A的特征值，则λ²＋λ＝0⇒λ＝0或λ＝－1。又A的秩为3，则A的特征值为－1，－1，－1，0，故选D项。

7设随机变量X的分布函数为

则P{X＝1}＝（　　）。

A．0

B．1/2

C．1/2－e^－1

D．1－e^－1

【答案】C

【考点】概率的计算

【解析】P{X＝1}＝F（1）－F（1－0）＝1－e^－1－1/2＝1/2－e^－1，故选C项。

8设f₁（x）是标准正态分布的概率密度函数，f₂（x）是[－1，3]上均匀分布的概率密度，且

为概率密度，则a，b应满足（　　）。

A．2a＋3b＝4

B．3a＋2b＝4

C．a＋b＝1

D．a＋b＝2

【答案】A

【考点】概率密度的性质

【解析】

所以

于是2a＋3b＝4，故选A项。

二、填空题（9～14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在题中横线上。）

9设可导函数y＝y（x）由方程

确定，则______。

【答案】－1

【考点】函数的微分

【解析】由方程

可知，y（0）＝0，两边对x求导得

所以

解得y′|_x＝0＝－1。

10设有位于曲线

下方，x轴上方的无界区域G，则G绕x轴旋转一周所形成空间区域的体积为______。

【答案】π²/4

【考点】旋转体的体积

【解析】

11设某商品的收益函数为R（p），收益弹性为1＋p³，其中p为价格，且R（1）＝1，则R（p）＝______。

【答案】

【考点】导数的经济意义——收益弹性的概念及计算

【解析】由题设可知，1＋p³＝（dR/dp）·（p/R）⇒（dR/R）＝[（1＋p³）/p]dp⇒lnR＝lnp＋p³/3＋C，将R（1）＝1代入上式，则C＝－1/3，故

12曲线y＝x³＋ax²＋bx＋1有拐点（－1，0），则b＝______。

【答案】3

【考点】函数的拐点

【解析】拐点在曲线上，所以0＝－1＋a－b＋1；又y＝x³＋ax²＋bx＋1二阶可导，所以0＝y″（－1）＝（6x＋2a）|_x＝－1＝－6＋2a⇒a＝3，b＝a＝3。

13设A，B为3阶矩阵，且|A|＝3，|B|＝2，|A^－1＋B|＝2，则|A＋B^－1|＝______。

【答案】3

【考点】行列式的计算

【解析】|A＋B^－1||B|＝|AB＋E|，|A||A^－1＋B|＝|AB＋E|，所以|A||A^－1＋B|＝|A＋B^－1||B|⇒3×2＝|A＋B^－1|×2⇒|A＋B^－1|＝3。

14设X₁，X₂，…，X_n为来自总体X～N（μ，σ²）（σ＞0）的简单随机样本，统计量

则ET＝______。

【答案】σ²＋μ²

【考点】数学期望的计算

【解析】

三、解答题（15～23小题，共94分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15（本题满分10分）

求极限

【考点】极限的计算（洛必达法则）

解：

利用等价无穷小，由

得

故原极限＝1/e。

16（本题满分10分）

计算二重积分，其中D由曲线

与直线

所围成。

【考点】二重积分的计算

解：画出积分域草图如下图1所示。

图1

由上可知，积分域关于x轴对称，又被积函数（x＋y）³＝x³＋3x²y＋3xy²＋y³，其中3x²y＋y³是y的奇函数，x³＋3xy²是y的偶函数，所以

17（本题满分10分）

求函数M＝xy＋2yz在约束条件x²＋y²＋z²＝10下的最大值和最小值。

【考点】多元函数的极值问题

解：设L＝xy＋2yz＋λ（x²＋y²＋z²－10），令

解得

x＝1，

z＝2或x＝－1，

z＝－2或

y＝0，

因为

所以比较后可得最大值为，最小值为

18（本题满分10分）

（Ⅰ）比较与的大小，说明理由；

（Ⅱ）记，求极限

【考点】积分的比较和极限的计算

解：（Ⅰ）令f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ，f是连续函数。当n＝1，0＜t≤1时，f′（t）＝1/（1＋t）－1＜0，所以此时f（t）＝ln（1＋t）－t＜f（0）＝0，0＜ln（1＋t）＜t，从而有0＜[ln（1＋t）]ⁿ＜tⁿ（0＜t≤1），所以f（t）＝[ln（1＋t）]ⁿ－tⁿ＜0，即有|lnt|[ln（1＋t）]ⁿ＜tⁿ|lnt|，故

（Ⅱ）

又

所以由夹逼定理得

19（本题满分10分）

设函数f（x）在闭区间[0，3]上连续，在开区间（0，3）内存在二阶导数，且

（Ⅰ）证明：存在η∈（0，2），使得f（η）＝f（0）；

（Ⅱ）证明：存在ξ∈（0，3），使得f″（ξ）＝0。

【考点】拉格朗日中值定理和罗尔中值定理

证：（Ⅰ）令

则由拉格朗日中值定理可得存在η∈（0，2），使得F（2）－F（0）＝2f（η），而

即

又

所以f（0）＝f（η）。

（Ⅱ）f（x）在闭区间[2，3]上连续，从而在该区间存在最大值M和最小值m，于是m≤f（2）≤M，m≤f（3）≤M⇒m≤[f（2）＋f（3）]/2≤M。

由介值定理可得存在ζ∈[2，3]，使得f（ζ）＝[f（2）＋f（3）]/2，于是f（0）＝f（η）＝f（ζ），η∈（0，2），ζ∈[2，3]。函数f（x）在[0，η]，[η，ζ]均满足罗尔定理，所以存在ξ₁∈（0，η），ξ₂∈（η，ζ），使得f′（ξ₁）＝f′（ξ₂）＝0。函数f′（x）在[ξ₁，ξ₂]满足罗尔定理，故存在ξ∈（ξ₁，ξ₂）⊂（0，3），使得f″（ξ）＝0。

20（本题满分11分）

设

已知线性方程组Ax＝b有两个不同的解。

（Ⅰ）求λ，a；

（Ⅱ）求方程Ax＝b的通解。

【考点】方程组的求解和通解的表示

解：线性方程组Ax＝b有两个不同的解，则

可得λ＝1或λ＝－1。

当λ＝1时，

则r（A）＝2≠3＝r（A(＿)），所以λ＝1不成立。

当λ＝－1时，

因为Ax＝b有解，所以a＋2＝0⇒a＝－2。

（Ⅰ）综上，λ＝－1，a＝－2。

（Ⅱ）原方程与以下方程组同解

21（本题满分11分）

设

存在正交矩阵Q使得Q^TAQ为对角阵，若Q的第一列为，求a，Q。

【考点】矩阵的特征值特征向量和正交矩阵

解：由题设

于是

由于A的特征多项式|λE－A|＝（λ－2）（λ－5）（λ＋4）。所以A的特征值为2，5，－4。

属于特征值5的一个单位特征向量为

属于特征值4的一个单位特征向量为

令

则有

故Q为所求矩阵。

22（本题满分11分）

设二维随机变量（X，Y）的概率密度为

求常数A及条件概率密度f_Y|X（y|x）。

【考点】二维连续型随机变量条件概率密度的求解

解：根据已知条件，可得

所以A＝1/π。于是

X的边缘概率密度为

于是当－∞＜x＜＋∞时，条件概率密度

23（本题满分11分）

箱中装有6个球，其中红、白、黑球的个数分别为1，2，3个，现从箱中随机地取出2个球，记X为取出的红球个数，Y为取出的白球个数。

（Ⅰ）求随机变量（X，Y）的概率分布；

（Ⅱ）求Cov（X，Y）。

【考点】二维离散型随机变量的概率分布和数字特征

解：（Ⅰ）X的可能值为0，1；Y的可能值为0，1，2。于是

P{X＝0，Y＝0}＝C₃²/C₆²＝3/15，P{X＝1，Y＝0}＝C₃¹/C₆²＝3/15；

P{X＝0，Y＝1}＝C₂¹C₃¹/C₆²＝6/15，P{X＝1，Y＝1}＝C₂¹/C₆²＝2/15；

P{X＝0，Y＝2}＝C₂²/C₆²＝1/15，P{X＝1，Y＝2}＝0。

随机变量（X，Y）的概率分布如表1所示。

表1

（Ⅱ）由上可知X的概率分布和Y的概率分布分别如表2和表3所示。

表2

表3

所以EX＝1/3，EY＝2/3，EXY＝2/15。

故Cov（X，Y）＝EXY－EXEY＝（2/15）－（1/3）（2/3）＝－4/45。