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1.8 非线性方程组求解
方程组求解包括线性方程组求解和非线性方程组求解，非线性方程组求解包括线性规划求解和非线性规划求解方法。
1.8.1 线性规划求解
线性规划问题是目标函数和约束条件均为线性函数的问题，在MATLAB 2014a版中，线性规划问题解决函数为linprog，程序代码如下。
>> help linprog
linprog - Solve linear programming problems
This MATLAB function solves min f'*x such that A*x ≤ b.
x = linprog(f,A,b) % 求min f'x,x∊Rn
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq) % 等式约束Aeq·x=beq，若没有不等式约束A·x ≤ b，
则A=[ ]，b=[ ]。
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub) % 指定x的范围lb ≤ x ≤ ub，若没有等式约束
Aeq·x=beq，则Aeq=[ ]，beq=[ ]
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0) %设置初值x0
x = linprog(f,A,b,Aeq,beq,lb,ub,x0,options) % options为指定的优化参数
求解下面的优化问题：
其中：
编写MATLAB程序如下；
% Designed by Yu Shengwei From SWJTU University
% 2014年12月29日
clc,clear,close all % 清理命令区、清理工作区、关闭显示图形
warning off % 消除警告
feature jit off % 加速代码运行
format shortE
tic % 运算计时
f=[-25,-40,-61]; % 目标方程系数
A =[1 -1 1; % 不等式约束左侧系数
3 2 4;
3 2 0];
b = [20; 42; 30]; % b
lb = zeros(3,1); % 下限大于等于0
[x,object] = linprog(f,A,b,[],[],lb,[])
toc % 计时结束
运行程序结果如下：
Optimization terminated.
x =
9.2721e-11
1.5000e+01
3.0000e+00
object =
-7.8300e+02
时间已过 0.072996 秒。
>>
1.8.2 非线性规划求解
在MATLAB中使用fminbnd函数求单变量函数最小值。
>> help fminbnd
fminbnd - Find minimum of single-variable function on fixed interval
This MATLAB function returns a value x that is a local minimizer of the function
that is described in fun in the interval x1 < x < x2.
x = fminbnd(fun,x1,x2) %返回自变量x在区间x1<x<x2上函数fun取最小值时的x值
x = fminbnd(fun,x1,x2,options) % options为指定优化参数选项
[x,fval] = fminbnd(…) % fval为目标函数的最小值
[x,fval,exitflag] = fminbnd(…) % xitflag为终止迭代的条件
[x,fval,exitflag,output] = fminbnd(…) % output为优化信息
计算下面函数在区间(0,1)内的最小值：
编写MATLAB程序如下：
clc,clear,close all % 清理命令区、清理工作区、关闭显示图形
warning off % 消除警告
feature jit off % 加速代码运行
format short
tic % 运算计时
[x,fval,exitflag,output]=fminbnd('(4*x^3+2*cos(x)+3*x*log(x))/(2*exp(x))',0,1)
toc % 计时结束
x =
0.3719
fval =
0.3328
exitflag =
1
output =
iterations: 8
funcCount: 9
algorithm: 'golden section search, parabolic inte...'
message: '优化已终止:
当前的 x 满足使用 1.000000e-04 的 OPT...'
时间已过 0.198718 秒。
MATLAB还提供了求解非线性有约束的多元函数的最小值函数fmincon。
>> help fmincon
fmincon - Find minimum of constrained nonlinear multivariable function
This MATLAB function starts at x0 and attempts to find a minimizer x of the
function described in fun subject to the linear inequalities A*x ≤ b.
x = fmincon(fun,x0,A,b)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon)
x = fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,nonlcon,options)
x = fmincon(problem)
求下面函数在初始点(0,1)处的最优解：
其中：
先在MATLAB编辑器中建立非线性约束函数文件：
function [c, ceq] = non_constraint(x)
c=(x(1)-1)^2-x(2); % 不等式约束
ceq=[0]; % 无等式约束
end
编写MATLAB主程序如下：
% Designed by Yu Shengwei From SWJTU University
% 2014年12月29日
clc,clear,close all % 清理命令区、清理工作区、关闭显示图形
warning off % 消除警告
feature jit off % 加速代码运行
format short
tic % 运算计时
fun='x(1)^2+x(2)^2-x(1)*x(2)-2*x(1)-5*x(2)'; %目标函数
x0=[0 1]; % 初值
A=[-2 3]; % 线性不等式约束
b=6; % 线性不等式约束
Aeq=[ ]; % 无线性等式约束
beq=[ ]; % 无线性等式约束
lb=[ ]; % x没有下界
ub=[ ]; % x没有上界
[x,fval]=fmincon(fun,x0,A,b,Aeq,beq,lb,ub,@non_constraint)
toc % 计时结束
运行程序结果如下：
x =
2.9994 3.9992
fval =
-13.0000
时间已过 0.127847 秒。