1.4 基础知识：进位制及其相互转换
1.4.1 二进制、十进制与r进制
进位计数制是一种用数码和数位（权）表示数值型信息的方法。一个数由一定数目的数码排列在一起组成，每个数码的位置规定了该数码所具有的数值等级——“权”，该位置也称为“数位”，可区分数码的个数称为“基值”。该计数制又称为以基值为进位的计数制，数位的“权”值是基值的幂，计数中，某一数位累计到基值后，向高数位进一；高数位的一，相当于低数位的基值大小。日常生活中，常见进位计数制有十进制（自然数）、十二进制（月）、二十四进制（昼夜）、六十进制（小时/分钟/秒）等。在计算机中，还有二进制、八进制和十六进制等。一般地，以后缀 B 表示二进制数，后缀 O 表示八进制数，后缀H表示十六进制数，后缀D表示十进制数，或者以（数码串）r表示一个r进制数，如图1.5所示。
图1.5 r进制与十进制、二进制的概念比较示意
基值为r的r进制数值N的表示方法为：
该数表示的十进制大小为：
（式1.1）。
式中：m、n为正整数，n为整数的位数，m为小数的位数，di为r个数码0,1,…, r-1中的任意一个，r为基值，ri为数位的权值，小数点位于d0r0的后面。
1.十进制
当r =10时，表示十进制数。在十进制数中，10个数码为0,1,…,9。逢十进一，其数位权值为10i。
示例14 (245.25)十= 2×102+ 4×101+ 5×100+ 2×10-1+ 5×10-2。
2.二进制
当r=2时，表示二进制数。在二进制数中，2个数码为0或1。逢二进一，其数位权值为2i。
示例15 (11110101.01)二=1×27+1×26+1×25+1×24+0×23+1×22+0×21+1×20+0×2-1+1×2-2=(245.25)十。
3.八进制和十六进制
当r=8时，表示八进制数。在八进制数中，8个数码为0,1,…,7。逢八进一，其数位权值为8i。当r=16时，表示十六进制数。在十六进制数中，分别用A表示(10)十，用B表示(11)十，用C表示(12)十，用D表示(13)十，用E表示(14)十，用F表示(15)十。所以， 16个数码为0,1,2,…,8,9,A,B,C,D,E,F。逢十六进一，其数位权值为16i。
示例16 (365.2)八=3×82+6×81+5×80+2×8-1=(245.25)十；
(F5.4)十六= F×161+5×160+4×16-1= (245.25)十。
1.4.2 进位制之间的相互转换
1.其他进制转换到十进制
表1.1给出了4种进位制之间转换的对应关系。
表1.1 十进制数、二进制数、八进制数和十六进制数对照表
一个用任意进制表示的数，都可用上述式1转换成十进制数。为便于计算，可采用如下方法：整数部分和小数部分分别按下述方法转换。
整数部分采用基值重复相乘法：按括号及优先级次序，计算从最高位开始，乘基值加次高位，结果再乘基值加次次高位，一直加到个位d0为止。
示例17 11110101 B =______D。
解：
。
小数部分采用基值重复相除法：按括号及优先级次序，计算从最低位开始，除基值加高位，结果再除基值，一直加到小数点为止，最后再除基值。
示例18 0.F62B H =______D。
解：N=0.F62B H = (((B÷16+2)÷16+6)÷16 +F)÷16=0.96159 D。
2.十进制转换到其他进制
整数部分和小数部分分别转换：整数部分采用基值重复相除法，即除基值取余数方法，一直除到商等于0时为止，将所得的余数从下到上排列起来即为所要求的进位制数（参见示例19）。小数部分采用基值重复相乘法，即乘基值取整数方法（参见示例20）。十进制小数转换成二进制小数时，有时永远无法使乘积变成0，在满足一定精度的情况下，可以取若干位数作为其近似值。
示例19 215 D =______B。
解：如图1.6（a）所示，不断除以基值2，直到商等于0时为止。将所得余数从下到上排列起来为11010111，便是该十进制数转换成二进制整数的结果，即215 D =11010111 B。
示例20 0.6875 D =______B。
解：如图1.6（b）所示，小数部分不断乘以基值2，将得到的各位整数从上到下排列起来为0.1011，便是该十进制小数转换成二进制小数的结果，即0.6875 D = 0.1011 B。
图1.6 十进制转换成二进制的转换过程示意图
3.二进制、八进制、十六进制转换
由于二进制权值2i、八进制权值8i=23i、十六进制权值16i=24i具有整指数倍数关系，即1位八进制数相当于3位二进制数，1位十六进制数相当于4位二进制数，故可按如下方法转换。
（1）二进制整数转换成八进制/十六进制整数的方法是：先将二进制整数从右向左每隔3位/4位分一组，再将每组按二进制数向十进制数转换的方法进行转换。
（2）二进制小数转换成八进制/十六进制小数的方法是：先将二进制小数从左向右每隔3位/4位分一组，最后一组若不足3位/4位，在该组后面补相应数量的0，凑成3位/4位，再将每组按二进制数向十进制数转换的方法进行转换。
示例21 10110101 B= 265 O = B5 H。
解：第1步，将10110101按3位分组为10 110 101，按4位分组为1011 0101。
第2步，分别将每组转换成八进制数、十六进制数。
示例22 0.1011 B = 0.54 O = 0.B0 H。
解：第1步，将0.1011按3位分组为0.101 100，按4位分组为0.1011 0000。
第2步，分别将每组转换成八进制数。
分别将每一位八进制数转换成3位二进制数，每一位十六进制数转换成4位二进制数便可实现八进制数、十六进制数到二进制数之间的转换。