1.2　电液伺服控制技术理论基础

常见的电液伺服控制系统是一种反馈控制系统，其理论基础之一是反馈控制理论。

1.2.1　反馈控制

1.2.1.1　反馈控制原理

在控制系统中信号从一级向该级以前的一级的传输即为反馈，反馈（闭环）控制即是使控制作用持久地取决于被控变量测量结果的控制。

更为具体地讲，反馈（闭环）控制是对被控变量进行连续测量，并将其与参比变量相比较，以影响被控变量，使之调整到参比变量的过程。控制变量连续在闭环的作用通路上影响自身的闭环作用方式是闭环控制特征。

而在一些液压控制系统相关专著中却有其他的表述，例如：

a.“可以看出，这个系统是靠偏差工作的，即以偏差来消除偏差，这就是反馈控制的原理”。

b.“由指令元件发出指令，通过比较元件与反馈元件输出信号比较，产生偏差信号，通过校正装置、放大元件产生控制信号控制执行元件，带动被控对象运动，传感器的输出信号通过反馈元件反馈到输入端。当偏差信号趋于零时，系统的输出将被控制在希望的位置上”。

c.“在控制系统中，将被控对象的输出信号反馈到系统的输入端，并与给定值进行比较而形成偏差信号，从而产生对被控信号的控制作用。反馈信号与被控信号相反，即总是形成差值，这种反馈称之为负反馈。用负反馈产生的偏差信号进行调节是反馈控制的基本特征”。

d.“在液压控制系统中，液压执行元件的运动即系统的输出（包括位移、速度、加速度和力等），通过反馈元件传递给控制器，根据误差大小调节控制元件的输出信号，使系统的输出能够自动、快速和准确地跟踪系统的输入指令。……根据上述原理分析，液压控制系统一般具有以下特征：（1）以液压为能源，具有功率放大和能量转换的作用；（2）液压控制系统是一个负反馈控制系统，根据误差信号进行控制；（3）液压控制系统是一个自动跟踪系统，及随动系统或伺服系统”。

上述各专著的表述涉及反馈（闭环）控制原理的一些基本问题，如负反馈问题、偏差问题、误差问题、反馈控制特征问题等。

在反馈控制系统中，如果一般没有正反馈，则也没有负反馈，即只有反馈。反馈变量的反馈通路（或信道）是明确的，即相对于正向通道，其是反向的。

作者注：本书如无特别指出，其反馈皆为负反馈，因正反馈在某种意义上不适合反馈控制定义。

参比变量与反馈变量之差即为偏差变量或偏差，一般应该没有异议，因为现行标准都是如此定义的，但如表述为误差，即反馈控制是“根据误差信号进行控制”，就现在情况而言则可能产生一系列问题，因为误差与精度有重要关联。

如果用一句话来描述反馈控制（系统）的特征，其莫过于“反馈系统是靠偏差来控制的”。

顺便说一句，如果用“以偏差来消除偏差”或“检测偏差再纠正偏差”来描述反馈控制系统特征（原理），容易产生系统中必须具有两个比较元件的误解，因为只有比较元件才具有使两个输入变量比较后产生（输出）偏差（变量）的功能，而反馈元件或测量元件不具有如此功能。如果“以偏差来消除误差”来表述控制系统的基本特征，或许还比较适当。

作者注：关于偏差与误差问题，还可参见第1.3.2.12节。

由于反馈控制系统具有“以偏差来消除误差”的特征，因此，反馈系统的输出信号能够自动地跟踪指令信号，减小跟踪误差，提高控制精度，抑制扰动信号的影响。同时，反馈控制系统降低了对正向通道中的各元件参数变化的灵敏度，使正向通道中的各元件的精度对系统性能影响较小；反馈控制系统还降低了对正向通道中某些环节非线性的灵敏度，使正向通道中的这些非线性环节对系统性能影响较小。

1.2.1.2　反馈控制系统构成

图1-3所示为在GB/T 17212—1998中给出的反馈（闭环）控制（系统）。

该反馈（闭环）控制（系统）由如图1-3所示各元件构成，其中包括了变量（信号）制导或操纵以及主控系统和被控系统。

图1-4所示为在GB/T 2900.56—2008《电工术语控制技术》中给出的基本控制系统典型组成的功能图。

图1-4中各符号含义见表1-1。

1.2.1.3　反馈控制系统分类

控制系统的种类很多，在实际工程中可以从不同角度对控制系统进行分类，如按系统的输入量的特征分类，或按在系统中传递信号的性质分类等。

常见的反馈控制系统有以下几种。

（1）定值控制系统、程序控制系统和随动系统

定值控制系统是参比变量值固定的闭环控制系统。这种控制系统的输入量是个定值，一经给定，在系统运行过程中即不再改变（或可定期校准或更改输入量）。定值控制系统的任务是保证在任何扰动作用下系统输出量的定值，因此，定值控制系统也是使被控变量保持基本恒定的反馈控制系统。还有将其称为“自动调节系统”。

程序控制系统是由预先输入程序决定功能的控制系统。这种控制系统的输入量的变化规律是事先确定的，系统将自动地使输出量尽可能准确地按事先给定的规律变化。但作者认为程序控制系统不一定全都是闭环（反馈）控制系统。

不管将随动控制表述为参比变量因其他变量而随时间变化的闭环控制，但其时间进程并不预知，还是将其表述为使被控变量随参比变量的变化而变化的反馈控制，随动控制（系统）应是闭环（反馈）控制系统确定无疑。

关于随动控制系统与伺服控制系统关系请见前文。

（2）线性系统与非线性系统

其行为符合叠加原理的系统即为线性系统，叠加原理表明此种系统可以用一组线性方程描述。对规定范围内的任何输入值，线性系统传递函数的系数是恒定的。它对同时存在的几个输入的时间响应等于对每个单独输入的时间响应之和。不符合这些条件的系统称为“非线性系统”。

（3）定常系统和时变系统

“定常系统”可能是过去的概念，现在与时变系统相对的是时不变系统。其行为符合偏移原理的系统即为时不变系统，而偏移原理表明方程组及其系数是不随时间变化的。不具有这一性质的系统称为时变系统。

（4）连续系统和离散系统

参考文献［72］指出：“系统中各部分的信号均为连续的时间变量t的函数，称为连续系统，其运动特性可用微分方程来描述。若系统中的一处或某几处信号的型式是脉冲或数码的，这类系统称为离散系统，离散控制系统运动特性可用差分方程来描述。”

关于连续系统和离散系统还可参考前文。

但是在GB/T 2900.56—2008《电工术语控制技术》中连续［反馈］控制的定义为时间上连续地取得参比变量和被控变量，由连续作用产生操作变量的一种控制型式。

其他还有自调节被控系统和无自调节被控系统，单输入单输出系统和多输入多输出系统，以及确定系统和不确定系统等。

1.2.1.4　反馈控制系统性能

根据反馈控制系统应用场合的不同，对其也有不同的性能要求。但从控制工程的角度来看，对反馈控制系统性能却有一些基本要求，一般可表述为其对响应的稳定性、精确性和快速性要求。

（1）稳定性

由于实际应用的控制系统很多都是二阶系统，从物理学上讲，二阶系统包含两个独立的储能元件，若系统参数匹配不当，便可能引起振荡。稳定性就是指系统动态过程的振荡倾向及其恢复平衡状态的能力（或表述为受相对于静止位置足够小的初始偏移或扰动时，可使系统状态变量与输出变量保持在该位置足够小的领域内的系统特性）。对于稳定的系统，当输出量偏离平衡状态时，应随着时间收敛并且最后回到初始的平衡状态。稳定性乃是保证控制系统正常工作的先决条件。

（2）精确性

控制系统的精确性及控制精度，一般以稳态误差来衡量。所谓稳态误差，是指以一定变化规律的输入信号作用于系统后，当调整过程结束而趋于稳定时，输出量的实际值与期望值之间的误差值，它反映了动态过程后期的系统性能。

（3）快速性

快速性是指当系统输出量与输入量之间产生偏差时，消除这种偏差的快速程度。快速性好的系统，它消除偏差的过渡过程就短，就能复现快速变化的输入信号，因此具有较好的动态性能。

反馈控制系统的性能指标即按此分为稳定性指标、精确性指标和快速性指标三类，亦即称为反馈控制系统的一般性能指标。这些性能指标是评价系统动态品质的定量指标，也是对系统进行定量分析的基础。

反馈控制系统的性能指标往往可以采用几个特征量来表示，这些指标既可以在时域提出，也可以在频域提出。从使用的角度来看，因时域指标比较直观，所以反馈控制系统的性能指标常以时域指标的方式提出。

反馈控制系统时域指标是以系统对单位阶跃输入信号的时间响应型式给出的。反馈控制系统常用的时域、频域性能指标及其他指标见表1-2。

作者注：1.时域性能指标可以应用相关公式转换为频域指标，具体可参考表1-9。

2.“调节时间”在GB/T 15623.1—2003《液压传动　电调制液压控制阀　第1部分：四通方向流量控制阀试验方法》中为“瞬态恢复时间”。

3.表1-2中“相位裕量”的表述与在第1.2.4节控制系统的稳定性中的表述略有不同；在参考文献［34］中还有这样的表述：“相位裕量γ等于180°加相位角φ（φ是开环传递函数在增益交界频率上的相角）”。

反馈控制系统的性能指标通常是由用户首先提出的，但一般可能存在如不标准、不全面、不准确或不切实际等方面问题。性能指标的选择和确定需要反复权衡利弊，大多数情况下鱼和熊掌不可兼得，亦即反馈控制系统的稳定性、准确性和快速性是相互制约的。在系统设计和调试过程中，若过分强调系统的稳定性，则可能会造成系统响应迟缓和控制精度较低的后果；反之，若过分强调系统响应的快速性，则又会使系统的振荡加剧，甚至引起不稳定。因此，分析和解决这些矛盾正是控制工程这门学科所要研究的课题，协调、平衡稳定性、准确性和快速性也是反馈控制系统设计和调试的主要任务。

根据现实情况及实际需要选择和确定性能指标具有可行性，具体的反馈控制系统的性能还取决于该系统的设计水平和工艺水平。

1.2.2　数学模型

为了从理论上对电液伺服控制系统性能进行定量地分析与研究，首先需要建立系统的数学模型。“数学模型是定量描述动力学系统的动态特性的数学表达式，它揭示了系统的结构、参数与动态特性之间的关系”。

作者注：上述引述及“动力学系统”请见参考文献［60］，但数学模型是否都能准确反映系统本身结构（或物理结构）值得商榷。

数学模型的型式取决于变量和坐标系统的选择。在时间域，通常采用微分方程或一阶微分方程组（状态方程）的型式；在复数域则采用传递函数型式；而在频率域采用频率特性型式。

微分方程是描述电液伺服控制系统动态性能数学模型的基本型式；而对于可分解为单输入-单输出的大多数电液伺服控制系统，传递函数是工程实用性很强的数学模型。

需要指出的是，在经典控制理论中，频率特性分析法（简称频率法）相对时域特性分析法（简称时域法）而言占有更为重要的位置，它不仅是系统分析与研究的重要方法，也是系统设计的重要手段。

作者注：除上述两种系统分析与研究方法外，还有“状态空间分析法”等。

1.2.2.1　微分方程

工程中的控制系统，不管它是机械的、电气的、液压的、气动的，还是热力的、化学的，其运动规律都可以用微分方程来描述。因此，用解析法建立系统或元件的数学模型就是从列写它们的运动微分方程开始的，通过对这些微分方程的求解，就可以获得系统在输入作用下的输出响应。

微分方程是以物理学定律及实验规律为依据的。在工程实践中，可实现的线性定常系统均能用n阶常系数线性微分方程来描述其运动特性。设系统的输入量为xi（t），系统的输出量为xo（t），则单输入、单输出n阶系统常系数线性微分方程有如下的一般形式：

　　（1-1）

式中　a0，a1，…，an-1，an；b0，b1，…，bm-1，bm——由系统结构参数决定的实常数。

由于实际系统中总含有惯性元件以及受到能源能量的限制，所以总是满足：

注意：微分方程列写一般应写成标准化型式。

1.2.2.2　复数和复数变换

（1）复数的概念

复数s有一个实部σ和一个虚部ω，即为：

　　（1-2）

式中　σ，ω——实数；

——虚数单位。

两个复数相等是指，必须且只需它们的实部和虚部分别相等；一个复数为零是指，必须且只需它们的实部和虚部同时为零。

（2）复数的表示法

任一复数s=σ+jω与其实数σ和ω是一一对应的关系，在平面直角坐标系中，σ为横坐标（实轴），jω为纵坐标（虚轴）。实轴和虚轴所构成的平面称为复平面或［s］平面。复数s=σ+jω可在复平面或［s］平面中用点（s，ω）表示，如图1-5（a）所示。这样，一个复数就对应与复平面上一个点。

①复数的向量表示法。

复数可以用从圆点指向点（s，ω）的向量表示，如图1-5（b）所示。向量的长度称为复数s的模，即。

向量与σ轴的夹角θ称为复数s的幅角，即θ=arctan（ω/σ）。

②复数的三角函数表示法与指数表示法。

由图1-5（b）可见，σ=rcosθ，ω=rsinθ。因此，复数的三角函数表示法为：

　　（1-3）

利用欧拉公式：

　　（1-4）

故复数s可用指数形式表示为：

　　（1-5）

（3）复数函数、极点与零点的概念

以复数s=σ+jω为自变量构成的函数G（s）称为复变函数，记为：

　　（1-6）

式中　u——复变函数的实部；

v——复变函数的虚部。

通常，在线性控制系统中复变函数G（s）是复数s的单值函数，即对应s的一个给定值，G（s）就有一个唯一确定的值与之对应。

当复变函数表示成：

　　（1-7）

分别考虑其分子和分母为零的情况。

当取s=-zi时，使G（s）=0，则s=-zi称为G（s）的零点；当取s=-pj时，G（s）趋于无穷大，则s=-pj称为G（s）的极点。

1.2.2.3　拉普拉斯变换与传递函数

控制工程所涉及的数学问题很多，经常需要解算一些线性方程。按照一般方法解算比较麻烦，如果用拉普拉斯变换（拉氏）求解线性微分方程，可将经典数学中的微积分运算转换成代数运算，又能够单独地表明初始条件的影响，并有变换表可查找，因而是一种较为简便的工程数学方法。更重要的是，由于采用了拉氏变换，能够把描述系统运动状态的微分方程很方便地转换为系统的传递函数，并由此发展出用传递函数的零点、极点分布、频率特性等间接地分析和设计控制系统的工程方法。

（1）拉普拉斯变换

①拉氏变换的定义。

在GB/T 17212—1998《工业过程测量和控制术语和定义》中定义了拉普拉斯变换（Laplace transform）这一术语，即函数f（t）对复变量s的函数F（s）的变换，变换式为：

　　（1-8）

式中　F（s）——函数f（t）的拉氏变换，它是一个复变函数，通常称F（s）为f（t）的象函数；

s——复变数，s=σ+jω（σ、ω均为实数）；

f（t）——以时间为自变量的时变函数f（t）称为F（s）的原函数；

L［f（t）］——其中L是表示进行拉氏变换的符号；

——称为拉普拉斯积分。

式（1-8）表明拉氏变换是这样一种变换，即在一定条件下，它能把一实数域中的时变函数f（t）变成为一个在复数域内与之等价的复变函数F（s）。

在拉氏变换中，s的量纲是时间的倒数，即T-1，F（s）的量纲则是f（t）的量纲与时间s的乘积。

②几种典型函数的拉氏变换。

在实际应用中并不需要对原函数逐一作积分运算，查拉氏变换表即可。几种典型函数的拉氏变换见表1-3。

作者注：表1-3参考了参考文献［51］中表2.1，其他常用函数的拉氏变换请查阅参考文献［35］附录A或各版设计手册。

③拉氏变换的主要定理。

根据拉氏变换定义或查表能对一些典型的函数进行拉氏变换和反变换。对一般的函数，利用以下的定理，可使运算简化。

a.叠加原理。

拉氏变换也服从线性函数的齐次性和叠加性。

• 齐次性。

设L［f（t）］=F（s），则：

　　（1-9）

式中　a——常数。

• 叠加性。

设L［f1（t）］=F1（s），L［f2（t）］=F2（s），则：

　　（1-10）

将式（1-9）和式（1-10）结合起来，就有：

　　（1-11）

式中　b——常数。

这说明拉氏变换是线性变换。

b.微分定理。

设L［f（t）］=F（s），则：

　　（1-12）

式中　f（0）——函数f（t）在t=0时刻的值，即初始值。

同样，可得f（t）的各阶导数的拉氏变换为：

　　（1-13）

式中　f'（0），f″（0），…，fn-1（0）——原函数各阶导数在t=0时刻的值。

如果函数f（t）及其各阶导数的初始值均为零（称为零初始条件），则f（t）各阶导数的拉氏变换为：

　　（1-14）

c.复微分定理。

若f（t）可以进行拉氏变换，且L［f（t）］=F（s），则除了在F（s）的极点以外，有：

　　（1-15）

一般来说有：

　　（1-16）

d.积分定理。

设L［f（t）］=F（s），则：

　　（1-17）

式中　f-1（0）——积分在t=0时刻的值。

当初始条件为零时：

　　（1-18）

e.延迟定理。

设L［f（t）］=F（s），且t＜0时，f（t）=0，则：

　　（1-19）

式中　f（t-τ）——原函数f（t）沿时间轴延迟了τ。

f.位移定理。

在控制理论中，经常会遇到eatf（t）一类的函数，它的象函数只需把s用s+a代替即可，这相当于在复数s坐标中，有一位移a。

设L［f（t）］=F（s），则：

　　（1-20）

g.初值定理。

它表明原函数在t=0+时的数值。

　　（1-21）

即原函数的初值等于s乘以象函数的终值。

h.终值定理。

设L［f（t）］=F（s），且存在，则：

　　（1-22）

即原函数的终值等于s乘以象函数的初值。

i.卷积定理。

设L［f（t）］=F（s），L［g（t）］=G（s），则有：

　　（1-23）

即两个原函数的卷积分的拉氏变换等于它们的象函数的乘积。

④拉氏反变换。

拉普拉斯反变换的公式为：

　　（1-24）

式中　L-1［F（s）］——其中L-1是表示进行反拉氏变换的符号。

根据定义计算拉氏反变换，要进行复变函数的积分，一般很难直接计算。通常用部分分式展开法将复变函数展开成有理分式之和，然后由拉氏变换表一一查对的反变换函数，即得所求的原函数。

可用MATLAB等软件进行部分分式展开。

线性微分方程表征了系统的动态特性，它在经过拉氏变换后转换成了代数方程，仍然表征了系统的动态特性。

在建立系统或元件的数学模型后，即可对其直接求解，系统方程的解就是系统的输出响应，通过系统方程的表达式，可以分析系统的动态特性，绘出输出响应曲线，直观地反映系统的动态过程。在控制工程中，直接求解系统微分方程是分析研究系统的基本方法。但是，微分方程尤其是高阶微分方程的求解非常复杂，具体求解时可参考这方面专著。

（2）传递函数

参考文献［35］指出：“传递函数是经典控制理论的基础，是一个极其重要的基本概念”。

①传递函数的定义。

在GB/T 2900.56—2008中定义了传递函数这一术语：“在线性时不变系统中，当所有初始条件等于零时，输出变量的拉布拉斯变换与相应输入变量的拉布拉斯变换之比”。而在GB/T 17212—1998《工业过程测量和控制术语和定义》中定义的传递函数为：“在线性系统中，当所有初始条件为零时，输出信号的拉普拉斯变换对相应输入信号的拉普拉斯变换之比”。

设初始条件为零，对如式（1-1）所示一般型式的单输入、单输出n阶系统常系数线性微分方程进行拉氏变换，可得线性定常系统传递函数的一般型式：

　　（1-25）

②特征方程、零点和极点。

若在式（1-25）中，令：

则式（1-25）可表示为：

　　（1-26）

D（s）=0称为系统的特征方程，其根称为系统的特征根。特征方程决定着系统的稳定性。

根据多项式定理，线性定常系统传递函数的一般型式即式（1-25）也可写成：

　　（1-27）

式中，M（s）=0的根s=-zi（i=1，2，…，m），称为传递函数的零点；D（s）=0的根s=-pj（j=1，2，…，n），称为传递函数的极点。显然，系统传递函数的极点就是系统的特征根。零点和极点的数值完全取决于系统各参数b0，b1，…，bm和a0，a1，…，an，即取决于系统的结构参数。一般来说，零点和极点可以为实数（包括零）或复数。若为复数，必共轭成对出现，这是因为系统结构参数均为正实数的缘故。把传递函数的零点、极点表示在复平面上的图形，称为传递函数的零点、极点的分布图，如图1-6所示，其为传递函数的零点、极点的分布图。

③关于传递函数的几点说明。

a.传递函数是经拉氏变换导出的，而拉氏变换是一种线性积分运算，因此传递函数的概念只适用于线性定常系统。

b.传递函数是系统在复数域中的动态数学模型，传递函数本身是s的复变函数。传递函数中各项系数和相应的微分方程中的各项系数对应相等，其完全取决于系统的结构参数。

c.传递函数是在零初始条件下定义的，即在零时刻之前，系统对所给定的平衡工作点是处于相对静止状态的。因此，传递函数原则上不能反映系统的非零初始条件下的全部运动规律。

d.一个传递函数只能表示一个输入对一个输出的关系，所以只适合于单输入单输出系统的描述，而且系统内部的中间变量的变化情况，传递函数也无法反映。

e.当两个元件串联时，若两者之间存在负载效应，必须将它们归并在一起求传递函数；如果能够做到它们彼此之间没有负载效应，则可以分别求传递函数，然后相乘。

最后特别说明是，在复数域内，输入信号乘以传递函数即为输出信号［Xo（s）=G（s）Xi（s）］。当系统输入单位脉冲信号时，传递函数就表示系统的输出函数。

利用系统的单位脉冲响应函数或单位阶跃响应函数可以求取在任何其他型式输入条件下的系统响应。同时系统的单位脉冲响应函数和单位阶跃响应函数还反映了系统本身的固有特性。

作者注：关于“定常系统”请见第1.2.1.3节反馈控制系统分类。

1.2.2.4　方块图及其等效变换

方块图或方框图是用表示信号流向的定向连线（但无须表明全部连线）所连接的功能块来表示系统或系统一部分及其内部功能关系的图。而功能块是指明输入输出变量之间函数关系的矩形符号，表示含有一个或多个输入变量和一个或多个输出变量的系统或元件。功能块应至少具有一种功能，其特征是具有最低数量的明确的输入和输出信号。

还有一种说法，就自动控制而言，功能图有时称为方块图。而功能图是以作用连线连接的各个功能块来表示系统各种作用的符号表述。

但作者认为不宜将方块图或方框图称为框图。因为框图是“一种系统、计算机或装置的表示图，图中主要部件均用经适当注释的几何图形表示，以表明该部件的基本功能及其相互关系”。

（1）系统方块图的建立

建立系统的方块图的步骤如下。

①建立系统中各元部件的微分方程。列写方程时，应特别注意明确信号的因果关系，即应分清元件方程中的自变量（输入量）和因变量（输出量）。

②对各元部件的微分方程进行拉氏变换，并绘出相应的功能块。

③按照信号在系统的传递、变换的过程，依次将各部件的功能块连接起来，系统输入量置于左端、输出量置于右端。

（2）方块图的运算法则

参考文献［35］指出：“框图的基本连接型式可分为三种：串联、并联和反馈连接。”但在GB/T 2900—2008中分别将其定义为链状结构、并行结构和环形结构。

①链状结构（串联连接）。所谓链状结构即为系统内的一种结构，其中一个功能块的输出变量是下一个功能块的输入变量，如图1-7（a）所示；其运算法则为串联后总的传递函数等于各功能块传递函数的乘积，如图1-7（b）所示。

②并行结构（并联连接）。所谓并行结构即为系统内的一种结构，其中有共同输入变量的部分系统的输出变量用并排的作用连线进行连接，如图1-8（a）所示；其运算法则为并联后总的传递函数等于各功能块传递函数之和，如图1-8（b）所示。

③环形结构（反馈连接）。所谓环形结构即为系统内的一种结构，其中从一个子系统的输出变量生成的变量用作前一子系统的附加输入变量，如图1-9（a）所示；其运算法则为反馈连接后闭环传递函数等于前（正）向通道的传递函数除以1加（或减）前向通道与反馈通道传递函数的乘积，如图1-9（b）所示。

任何复杂系统的方块图都不外乎是由以上这三种基本连接方式的方块图交织组成的，但要实现上述三种运算，则必须将复杂的交织状况变换成可运算的状态，这就需要进行方块图的等效变换。

（3）方块图的等效变换法则

方块图的等效变换就是将一些相加点和/或分支点的位置，在符合等效原则前提下作适当的调整（移动），消除各功能块之间的交叉连接，然后按方块图运算法则，求出系统总的传递函数。方块图等效变换法则见表1-4。

1.2.2.5　系统辨识

参考文献［35］指出：“近二十年来，在计算机技术和现代应用数学高速发展的推动下，现代控制理论在最优滤波、系统辨识、自适应控制、智能控制等方面又有了重大进展。”

辨识或系统辨识是确定系统或过程的（数学）模型的依据之一，而控制理论与自动化（控制）技术的基础就是数学模型。

（1）系统辨识的定义

在GB/T 2900.56—2008中给出了辨识或系统辨识、参数辨识的定义，即“辨识或系统的辨识是指建立系统静态和瞬态行为的数学模型的过程”。系统辨识或包含结构辨识和参数辨识，其中参数辨识是“通过测量系统的时变变量确定系统的参数”。

现在的问题是，上述定义与国内外权威专家、学者所给出的定义有一定的差别，这涉及系统辨识的理论与方法，下面举例说明这一问题。

美国学者L.A.Zadeh在其1962年发表的论文中曾对系统辨识给出了一个定义，即“系统辨识是在输入和输出数据的基础上，在指定的一类模型中，确定一个与被识别系统等价的模型”。这个定义明确了系统辨识的三个要素，即输入输出数据、模型类和等价原则。

瑞典学者L.Ljungz在1978年也给系统辨识下了一个定义，即“系统辨识有三个要素：数据、模型和准则。系统辨识是按照一个准则，在模型类中选择一个数据拟合得最好的模型”。

我国专家、学者在其专著或论文中对系统辨识也给出过定义，如“系统辨识是通过设计适当的输入信号，利用实验的输入输出数据，选择一类模型，构造一误差准则函数，用优化方法确定一个与数据拟合得最好的一个模型。”“系统辨识是研究如何利用系统试验或运行的、含有噪声的输入输出数据来建立被研究对象数学模型的一种理论和方法。［51］”“系统辨识是以数据为基础，以信息为手段，以模型为媒体，以减少系统、信号、环境不确定性为目标的学科”等。

比较上述各定义并根据作者对系统辨识的理解，对电液伺服阀控制液压缸系统而言，其系统辨识定义至少应具有以下内涵。

①其是系统建模的方法之一，即试验法建模。

②系统的输入和输出是可知的，或表述为系统的输入是选择（设计）好的，系统的输出（和输入）是可以测量准的，且可以在系统正常运行时进行。

③通常在已知数学模型中按既定准则选择一种模型（如传递函数），其输入、输出和传递函数的理论关系（数学模型）与实际系统吻合得较好。

④工程实际中没有完全相同的系统，系统辨识的较好结果只能是比较接近实际系统，这需要一定的评价办法来确定所建数学模型精度。

数学模型同实际系统的吻合程度与这门科学技术的发展水平以及工程设计人员的理论水平、实际能力密切相关，即使使用一些辨识软件进行系统辨识也是如此。

（2）系统辨识的基本方法

系统辨识的基本方法为统计辨识方法或统计建模方法。统计建模方法是基于实验的系统辨识方法，其也称为实验建模方法或黑箱建模方法。

然而，黑箱建模一般是无法实现的，通常采用的系统辨识方法是灰箱建模方法。

①黑箱建模方法。

所谓黑箱建模方法，是指系统内部行为对建模者来说是未知的，只能根据外部的系统输入和输出数据序列，确定系统行为的数学模型。

如果黑箱建模得以实现，即意味着发现了该系统的科学规律。

②灰箱建模方法。

所谓灰箱建模方法，就是白箱建模方法（也称机理建模方法）与黑箱建模方法相结合的建模方法。实际中，如知道系统的运行规律，就用机理方法推导描述系统运行的数学表达式，然后用试验的方法估计模型的参数。

值得注意的是，虽然有的系统可以根据机理推导出系统的模型，但这种模型可能是分布函数的偏微分方程、高度非线性，不利于系统的综合和分析，不利于用线性控制理论方法设计控制器，对这样的系统我们也采用统计试验的方法建立其数学模型。

在灰箱建模中，如果选择阶跃信号作为输入信号，则可称为阶跃响应辨识方法。

有文献指出：“在理论建模的基础上，采用系统辨识来获得精确模型是目前的主要型式。”

（3）系统辨识的基本步骤

系统辨识首先应明确辨识的目的，辨识目的不同对模型的要求也不同，其关系到对结构辨识和参数辨识的侧重点。图1-10给出了系统辨识的基本步骤。

在进行系统辨识时，需要充分了解系统并明确辨识目的，包括系统的输入、输出、信号范围和系统操作条件，以及所得到的模型的最终应用目的等；还需要选择适当的模型类，比如时变系统、定常系统、随机系统、确定性系统、线性系统、非线性系统，还包括模型的阶次、滞后时间的选择等；在试验设计和数据采集时，一般要求输入能持续激励，也就是要求输入能包含足够丰富的频率成分，并且采样频率应符合香农采样定理；对于估计参数或函数，包括离线算法（或称非递推算法）和在线算法（也称递推算法），后者能实时处理数据并得到更新的辨识结果；最后关于模型验证，一般将系统输出与模型输出作比较，评估辨识结果的可靠性和有效性，或在模型应用中检验模型质量，若不满足要求，则需重复执行上述步骤，直至辨识结果通过模型验证。

在具体进行系统辨识时，对于特定的系统应选择适合的辨识步骤或辨识内容，如将结构辨识和参数辨识不作分开等，因此图1-10所示系统辨识的基本步骤仅是给出一个参考。

（4）系统辨识的应用与发展

从美国学者Zadeh的标志性论文引入“辨识”这一术语开始，系统辨识这一作为对动态系统控制设计而引入的建模方法已经过了半个多世纪的发展。从内容上看，系统辨识不仅包括系统数学模型的建立，还包括数据的采集、模型的验证；从目标上看，系统辨识本质上以控制为导向，系统辨识与反馈控制相结合就产生了自适应控制；从方法上看，传统的系统辨识在随机框架下，逐步形成了利用带噪声的观测数据对系统未知参数进行建模优化的典型型式，发展完善了一批算法，如递推最小二乘算法、预报误差算法、随机逼近算法、常微分方程法、Akaike信息准则、Rissanen的最短数据描述建模等，以及在输出信号预处理思想基础上建立的基于偏差补偿系统建模、开环及闭环动态系统辨识、降阶建模、集元辨识、频率特性辨识等，系统建模与反馈控制的结合形成的自适应控制，得到了一大批成功的应用。同时，系统辨识与反馈密切联系，要求算法能够实时、在线更新估计这些特点，使得系统辨识既得益又区别于统计及后来的时间序列分析，赋予其独特的内涵及生命力。

系统辨识一直在不断自我发展与完善，一个例子是20世纪90年代以来十分活跃的Worst-case系统辨识，将噪声看作是“非随机”、“未知且有界”，利用模型的集元特征，得到一批重要概念和成果。“控制导向的系统辨识”这一术语常被用来强调系统辨识的目的是为了控制设计，这一思想推动了20世纪90年代的系统辨识研究，其显著特点是引入了以逼近论及复杂性理论为基础并以相应控制为目标的一批新颖的方法，其中包括在H∞和L1测度下的模型逼近、用时域数据的Worst-case系统辨识和以频域为主的H∞辨识，以及借助于算子理论中的函数逼近与插值理论的一系列算法并与模型验证形成有机结合。这些方法的优点是辨识所得到模型和误差界可直接与20世纪80年代发展的H∞和L1鲁棒控制挂钩。同时其复杂性研究对系统辨识的本质性局限有了更深刻的认识。对这些方法存在的技术复杂性，结果的保守性，与自适应控制的关联等问题以及与传统系统辨识相比优劣和互补关系的探讨促进了系统辨识向新领域的推进。

随着信息化技术革命的到来，自动化技术所直接面对的工业过程、航空航天等领域发生了巨大变化。传统工业工程大多关注个体装置的建模与控制，而现在人们常要面对时间、空间上相互联系的群体，如传感器网络、多智能体系统、新能源并网后的智能电网等；工程技术人员现今要面对诸多高速、极端环境（如高速轨道交通、高超音速飞行器）的建模与控制问题。与此同时，新学科不断涌现、新技术层出不穷，就电液伺服系统建模而言，采用神经网络、Hammerstein和P-H-W等灰箱模型对系统进行非线性辨识比机理模型辨识精度高。但目前常见的几种灰箱模型辨识都是采用离线辨识方法，应用范围有限，研究实时在线的电液伺服系统非线性模型辨识算法，并将其应用到控制设计中，将是未来一个重要的研究方向。另外，一些非线性控制方法，如鲁棒控制、自适应控制、滑膜控制、反演控制以及智能控制等被证明更适合电液伺服系统，其中鲁棒控制与自适应控制方法因能较好地克服系统非线性和不确定干扰，而得到了学者的青睐。但是，在设计自适应控制律时，Lyapunov函数的选择难，参数估计的收敛性难以保证；在设计鲁棒控制时，鲁棒性、稳定性及可控性在实践上相互矛盾等，使得鲁棒自适应控制设计变得复杂，难以在实际系统中推广应用，如何应用先进的控制方法，在提高系统适应性和鲁棒性的同时，提高系统控制的可操作性，是未来研究的热点和方向。

作者注：1.参考了王乐一，赵文虓撰写的《系统辨识：新的模式、挑战及机遇》一文，其中指出引入“辨识”之名的美国学者Zadeh的标志性论文发表于20世纪50（1956）年代；包括引用了其中的系统辨识的定义。

2.参考了丁峰撰写的或参加撰写的《系统辨识（1）：辨识引导》《传递函数辨识（1）：阶跃响应两点法和三点法》等多篇论文，包括引用了其中的系统辨识的定义。

3.参考了黎波，陈军，张伟明，张镇，陈雁撰写的《电液伺服系统建模、辨识与控制的研究现状》一文，以及其他多篇论文。

1.2.3　典型环节

电液伺服控制系统一般是由若干个元件以一定型式连接而成的，尽管这些元件的结构和/或工作原理可能不尽相同，但其数学模型却可能（完全）相同。在控制工程中，常常将具有某种确定信号传递关系的元件、组件或元件的一部分称为环节，经常遇到的环节则称为典型环节。因此，一个环节不一定代表一个元件，也许是几个元件才组成了一个环节。

通常情况下，任何复杂的系统都可归结为由一些典型环节组成，从而给建立数学模型、研究系统特性带来方便，使问题简化。

为了分析与设计电液伺服控制系统，熟悉和掌握一些典型环节的数学模型是十分必要的。下面对各个环节分别进行研究。

请注意，以下各环节中K含义不尽相同。

（1）比例环节

如图1-11所示，如果忽略其泄漏和液压油液的可压缩性，当以输入液压缸的流量为输入量，液压缸活塞的运动速度为输出量时，其关系式为：

　　（1-28）

式中　q——输入液压缸的流量；

v——液压缸活塞的运动速度；

Ap——缸有效面积。

经拉氏变换，得传递函数为：

　　（1-29）

式中　K——比例环节的放大系数，等于输出量与输入量之比。

作者注：在GB/T 2900.56—2008中将“K”定义为比例作用系数，用“Kp”表示。

式（1-29）表明，输入量经放大K倍后输出，K称为该环节的放大系数或增益。由此可见，传递函数为一常数的环节称为比例（放大）环节。

作者注：在参考文献［35］中定义的比例环节为：“输出量不失真、无惯性地跟随输入量，且两者成比例关系的环节称为比例环节。比例环节又称无惯性环节。”

（2）积分环节

如图1-12所示，如果忽略其泄漏和液压油液的可压缩性，当以输入液压缸流量为输入量，液压缸活塞位移为输出量时，其关系式为：

　　（1-30）

式中　x——液压缸活塞的位移。

经拉氏变换得：

　　（1-31）

传递函数则为：

　　（1-32）

式中　K——积分环节的放大系数，K=1/Ap。

作者注：在GB/T 2900.56—2008中将“K”定义为积分作用系数，用“KI”表示。

传递函数为G（s）=K/s的环节称为积分环节，其输出量与输入量之间存在积分关系（或表述为积分环节的输出量与输入量对时间的积分成正比）。

积分环节具有的一个明显特点是输出量取决于输入量对时间的积累过程，其另一个特点是具有明显的滞后作用。因此，积分环节常被用来改善控制系统的稳态性能。

同时，由公式（1-29）和公式（1-32）可以看出，同一元件，因将不同的物理量作为其输出量（和/或输出量），则可以有不同的传递函数。

（3）惯性环节

如图1-13所示，液压缸驱动刚度为Ks的弹性负载（弹簧）和阻尼系数为Bc的阻尼负载（液压阻尼器）。设输入液压缸的液压油液压力p为输入量，液压缸活塞的位移x为输出量，则其力平衡方程为：

　　（1-33）

式中　p——液压缸输入压力；

Ap——缸有效面积；

x——液压缸活塞位移；

Bc——阻尼负载的阻尼系数；

Ks——弹性负载的弹簧刚度。

经拉氏变换后，得其传递函数为：

　　（1-34）

式中　K——惯性环节的放大系数，K=Ap/Ks；

T——惯性环节的时间常数，T=Bc/Ks。

传递函数为G（s）=K/（Ts+1）的环节称为惯性环节［或凡运动方程为一阶微分方程型式的称为惯性环节］。

（4）微分环节

凡输出量正比于输入量的微分的环节称为微分环节，其运动方程为：

　　（1-35）

经拉氏变换后，得其传递函数为：

　　（1-36）

式中　T——微分环节的时间常数。

如图1-14所示，其为机械弹簧-液压阻尼器（阻尼缸）原理图。

当活塞作位移xi（以此作为输入量）时，阻尼缸（体）瞬时位移xo（以此作为输出量）力图与xi相等，但由于弹簧被（进一步）压缩，弹簧恢复力加大，阻尼缸右腔内油液压力p2增大，迫使该腔油液以流量q通过节流阀流到阻尼缸左腔，从而使阻尼缸（体）左移，直到阻尼缸受力平衡时为止。

阻尼缸的力平衡方程为：

　　（1-37）

通过节流阀的流量为：

　　（1-38）

式中　p1——阻尼缸右腔油液压力；

p2——阻尼缸左腔油液压力。

由上两式得：

　　（1-39）

经拉氏变换后，得其传递函数为：

　　（1-40）

式中　Ap——阻尼缸有效面积；

Ks——弹簧刚度；

R——节流阀液阻；

xi——阻尼缸活塞位移；

xo——阻尼缸（体）位移；

T——时间常数，。

由此可知，此机械弹簧-液压阻尼器（阻尼缸）为包括惯性环节和微分环节的系统，此系统也被称为惯性微分环节。仅当T很小时，Ts+1≈1，G（s）=Ts，才近似称为微分环节。

（5）振荡环节

振荡环节含有两个独立的（或表述为具有两种型式的）储能元件，并且所储存的能量能够相互转换，从而导致输出带有振荡的性质。这种环节的微分方程式为：

　　（1-41）

经拉氏变换后，得其传递函数为：

　　（1-42）

式中　T——振荡环节的时间常数；

ζ——阻尼比；

K——比例系数。

如图1-15所示，如果考虑液压缸容腔内液压油液的可压缩性、负载质量、液压阻尼器阻尼等因素，液压缸输入流量q与输出速度v之间的传递函数为振荡环节。下面试推导其传递函数。

液压缸力平衡方程为：

　　（1-43）

式中　p——输入液压缸油液压力；

Ap——缸有效面积；

m——负载质量；

v——液压缸输出速度；

Bc——液压阻尼器阻尼系数。

液压缸流量连续性方程为：

　　（1-44）

式中　q——液压缸输入流量；

Vt——液压缸密闭容积；

βe——工作介质的体积弹性模量。

合并上述式（1-43）和式（1-44）并消去p得：

　　（1-45）

经拉氏变换，得其传递函数为：

　　（1-46）

式中　K——比例系数；

ωn——无阻尼固有（自然）频率；

ζ——阻尼比。

1.2.4　控制系统的稳定性

稳定性是控制系统的重要性能指标之一，是系统正常工作的首要条件。

控制系统的稳定性是指受相对于静止位置足够小的初始偏移或扰动时，可使系统状态变量与输出变量保持在该位置足够小的领域内的系统特性。

线性系统的稳定性只取决于系统本身的结构和参数，与系统的初始状态无关；而非线性系统除与系统的结构、参数有关外，还与系统的初始状态有关，初始状态不同，非线性系统的稳定性可能不同。因此，在讨论某个非线性系统的稳定性时，还应指出它是在什么初始条件、什么范围的稳定性。

（1）稳定性定义和系统稳定性的充分必要条件

①定义。

当扰动作用消失后，控制系统能自动地由初始偏差状态恢复到原来的平衡状态，则此系统是稳定的，否则此系统是不稳定的。

如果初始偏差在一定的限度内，系统才能保持稳定，初始偏差超出某一限制时，系统就不稳定，则称系统是小范围内稳定的。如果无论初始偏差多大，系统总是稳定的，则称系统是大范围稳定的。线性系统若在小范围内是稳定的，则一定也是大范围内稳定。非线性系统则可能存在小范围稳定而大范围不稳定的情况。

作者注：据参考文献［60］介绍，系统运动稳定性的一般定义首先是李雅普诺夫1892年在其博士论文中提出的。

②稳定性的充分必要条件。

线性反馈控制系统稳定的充分必要条件是它的特征方程的根均具有负实部，或者说系统传递函数的全部极点均位于复平面的左半部。

（2）稳定性准则

稳定性准则是分析控制系统是否稳定的依据，又称为稳定判据。工程中常用的判别系统稳定性的准则有劳斯（Routh）稳定判据和奈魁斯特（Nyquist）稳定判据。

①劳斯稳定判据。

劳斯稳定判据是一种代数准则，它利用系统的特征方程的系数来判据（别）系统是否稳定。

劳斯判据：如（劳斯）表中第一列元素（an，an-1，b1，c1，…）不为零且均为正，则系统稳定；否则，系统不稳定。第一列元素符号改变的次数表示系统的特征方程根中不稳定根的数目。

劳斯表中元素计算时，可能出现第一列为零元素或全零行的情况，此时的劳斯表的计算需参考专门文献。

②奈魁斯特稳定判据。

奈魁斯特稳定判据是一种频率准则，它利用系统的开环频率特性来判别闭环系统是否稳定。奈魁斯特稳定判据如下。

a.若系统的开环传递函数没有正实部的极点（P=0），当频率ω由-∞变化到∞时，开环频率特性Gk（jω）不包围复平面上的（-1，j0）点，则系统稳定，否则系统不稳定。

b.若系统的开环传递函数有P个极点具有正实部，当频率ω由-∞变化到∞时，开环可以含有延迟环节的控制系统的奈魁斯特稳定性判据为：若除延迟环节外，开环传递函数中不包含正实部的极点，闭环状态下系统的稳定性的充分必要条件是其开环频率特性Gk（jω）不包围（-1，j0）点，则系统是稳定的，否则系统是不稳定。

（3）稳定裕量

稳定裕量是衡量一个闭环控制系统相对稳定性的指标。在频率准则中稳定裕量通常用相位裕量γ和增益裕量Kg来表示。他们可以根据系统的开环对数频率来求取，其物理含义是相位滞后多少度，或开环增益大多少倍，则系统将从稳定状态变为临界稳定状态。

换一种说法，在设计控制系统时，我们要求系统是稳定的。此外，系统还必须具备适当的相对稳定性，即还需了解稳定系统的稳定程度。

①相位裕量γ。

γ指在开环对数频率特性图上，幅频特性的增益L=0处的相位φ（ωc）和180°之和，即：

　　（1-47）

式中　ωc——增益交界频率或穿越频率。

由式（1-47）可知，γ＞0°为正相位裕量，γ＜0°为负相位裕量。

②增益裕量Kg。

Kg指在开环对数频率特性图上，相频特性φ（ωg）=-180°时，对应的幅频特性的增益L（ωg）的相反数，即：

　　（1-48）

式中　ωg——相位交界频率。

由式（1-48）可知，Kg＞0为正增益裕量，Kg＜0为负增益裕量。

对于最小相位系统，当γ＞0°，Kg＞0时系统是稳定的。一般来讲，只有单一的相位裕量或增益裕量是不足以充分说明系统的相对稳定程度的，必须同时考虑两个量。工程实际中通常要求相位裕量γ为30°～60°，对数幅频特性在增益交界频率（穿越频率）ωc处的斜率为-20dB/dec。

关于稳定裕量的定义和求取方法见图1-16。

1.2.5　控制系统的精确性

控制系统的精确度是用系统的误差来衡量的，因此，系统的稳态误差是系统的重要性能指标之一。

参考文献［61］指出：“常见的控制系统误差概念有稳定误差、动态误差、跟踪误差等。”但本节只讨论稳态误差。

（1）误差、稳态误差及其传递函数

①偏差信号与误差信号的关系。

图1-17所示为一般反馈控制系统的一般模型。

由于偏差信号ε（s）为：

　　（1-49）

则误差信号E（s）为：

即：

　　（1-50）

式（1-50）就是偏差信号ε（s）与误差信号E（s）之间的关系式。由此式可知，对于一般的控制系统，误差不等于偏差。对于单位反馈系统，因为H（s）=1，所以才有E（s）=ε（s）。

②偏差传递函数。

图1-18（a）所示为xi（t）作用下的闭环系统。

为了分析系统偏差信号ε（s）的变化规律，求解偏差信号之间的关系，现将系统方块图等效变换为图1-18（b），并列写其传递函数：

　　（1-51）

式（1-51）用ϕ（s）表示的传递函数称为输入作用下的偏差传递函数，其中令G0（s）=G1（s）G2（s）H（s），G0（s）称为该闭环系统的开环传递函数。

由式（1-51）可见，偏差与输入和该闭环系统的开环传递函数相关。

③稳态误差。

控制系统的稳态误差ess被定义为控制系统误差信号e（t）的稳态分量，即：

根据拉氏变换的终值定理，得：

　　（1-52）

（2）稳态误差的计算

引入误差传递函数ϕe（s），即为：

　　（1-53）

对于图1-17所示的反馈控制系统一般模型，其误差传递函数ϕe（s）可根据式（1-50）计算如下：

即：

　　（1-54）

亦即：

　　（1-55）

将式（1-55）代入式（1-52）得该反馈控制系统的稳态误差ess为：

　　（1-56）

由式（1-56）可见，闭环控制系统的稳态误差ess取决于系统的结构参数G（s）和H（s）以及输入信号Xi（s）的性质。

对于单位反馈系统，因为H（s）=1。所以其稳态误差ess为：

　　（1-57）

对于如干扰信号的稳态误差的计算等，限于本书篇幅予以省略。

（3）稳态误差系数

对于图1-17所示的反馈控制系统一般模型，当不同类型的典型信号输入时，其稳态误差不同。因此可以根据不同的输入信号来定义不同的稳态误差系数，进而用稳态误差系数来表示稳态误差。

①单位阶跃输入。

根据式（1-56），反馈控制系统在单位阶跃输入信号Xi（s）=1/s作用下的稳态误差ess为：

定义为稳态位置误差系数，则：

　　（1-58）

对于单位反馈系统，则Kp=G（0），ess=1/（1+Kp）。

作者注：在表1-2中，阶跃指令输入时的误差系数用“essr”表示。

②单位速度输入。

根据式（1-56），反馈控制系统在单位速度输入信号Xi（s）=1/s2作用下的稳态误差ess为：

定义为稳态速度误差系数，则：

　　（1-59）

对于单位反馈系统，则。

③单位加速度输入。

根据式（1-56），反馈控制系统在单位加速度输入信号Xi（s）=1/s3作用下的稳态误差ess为：

定义为稳态加速度误差系数，则：

　　（1-60）

对于单位反馈系统，则。

以上用反馈控制系统的稳态误差系数表示了反馈系统的稳态误差，其表明稳态误差系数只与反馈控制系统的开环传递函数G（s）H（s）有关，而与输入信号无关，即只取决于系统的结构和参数。

（4）系统的类型

对于图1-17所示的反馈控制系统一般模型，其开环传递函数一般可以写成：

　　（1-61）

式中　K——系统的开环增益；

τ1，τ2，…，τm；T1，T2，…，Tn-ν——时间系数。

式（1-61）的分母中包含了sν项，其指数ν对应系统中积分环节的个数。当s趋于零时，积分环节sν项在确定控制系统稳态误差方面起主导作用，因此，控制系统可以按其开环传递函数中的积分环节的个数来分类。

当ν=0时，即没有积分环节，则称该系统为0型系统，其开环传递函数可表示为：

　　（1-62）

式中　K0——0型系统的开环增益。

当ν=1时，即有一个积分环节，则称该系统为Ⅰ型系统，其开环传递函数可表示为：

　　（1-63）

式中　K1——Ⅰ型系统的开环增益。

当ν=2时，即有两个积分环节，则称该系统为Ⅱ型系统，其开环传递函数可表示为：

　　（1-64）

式中　K2——Ⅱ型系统的开环增益。

其他以此类推，但从系统稳定性方面考虑，实际系统中一般不会含有两个以上的积分环节，亦即ν≤2。

对于不同类型反馈控制系统，其稳态误差系数也不同；在三种典型输入信号作用下，其以稳态误差系数表示的稳态误差当然也不同，具体见表1-5。

由表1-5可以得出如下结论。

①同一个系统，如果输入的控制信号不同，其稳态误差也不同。

②同一个控制信号作用下的不同控制系统，其稳态误差也不同。

③系统的稳态误差与其开环增益有关，开环增益越大，其稳态误差越小；反之，开环增益越小，其稳态误差越大。

④关于系统的稳态误差与系统类型和控制信号的关系，可通过系统类型的ν值和控制信号拉氏变换后拉氏算子s的阶次L值来分析。如当L≤ν时，无稳态误差；当L＞ν时，有稳态误差，且当L-ν=1时，ess=常数，L-ν=2时，ess=∞。

需要说明的是，用稳态误差系数Kp、Kv和Ka表示的稳态误差分别称为位置误差、速度误差和加速度误差，都表示系统的过渡过程结束后，虽然输出能够跟踪输入，但是却存在着位置误差。速度误差和加速度误差并不是指速度上和加速度上的误差，而是指在速度信号输入和加速度信号输入时所产生的在位置上的误差。位置误差、速度误差和加速度误差的量纲是一样的。

如果系统输入的是阶跃函数、速度函数和加速度函数的三种输入的组合，即：

　　（1-65）

式中　A，B，C——常数。

根据线性叠加原理可以证明，系统的稳态误差为：

　　（1-66）

1.2.6　控制系统的快速性

快速性是控制系统的三个重要性能指标之一，其反映了系统输出对系统输入的动态响应速度，因此在一些参考文献中又以动态特性表述。

快速性可以通过动态过渡过程时间长短表征。过渡过程时间越短，表明系统快速性好；反之表明系统快速性差。

确定系统动态性能指标可以采取时域分析法和频域分析法，亦即在时域或频域上均可对系统的快速性进行分析与评估。

（1）时域分析法

控制系统的动态性能可以通过系统对输入信号的响应过程来评价，而系统的响应过程不仅取决于系统本身的特性，而且还与输入信号的型式有关。所谓时域分析，是指在时间域内研究系统在单位阶跃信号作用下，其输出信号随时间的变化情况。

①一阶惯性环节的单位阶跃响应。

凡是能够用一阶微分方程描述的系统称为一阶系统，它的典型型式是一阶惯性环节。系统在单位阶跃信号作用下的输出称为阶跃响应。单位阶跃信号xi（t）=1（t）的拉氏变换为Xi（s）=1/s，则一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为：

　　（1-67）

将式（1-67）进行拉氏反变换，得出一阶惯性环节的单位阶跃响应为：

　　（1-68）

式中　T——时间常数。

根据式（1-68），当t取T的不同倍数时，可得出表1-6的数据。

一阶惯性环节在单位阶跃信号作用下的时间响应曲线如图1-19所示，它是一条单调上升的指数曲线，其值随自变量的增大而趋近于稳态值1。

由式（1-68）和图1-19可以得出：

a.一阶惯性环节是稳定的，无振荡。

b.当t=T时，xo（t）=0.623，即经过时间T，曲线上升到0.623的高度。反过来，如果有实验的方法测出响应曲线达到0.632高度点时所用的时间，则该时间就是一阶惯性环节的时间常数T。

c.经过时间3T～4T，响应曲线已达到稳态值的95%～98%，在工程上可以认为其瞬态响应过程基本结束，系统进入了稳态过程，即ts=4T。因此，时间常数T反映了一阶惯性环节的固有特性，其值越小，系统惯性越小，响应越快。

d.在t=0处，响应曲线的切线斜率为1/T。

将式（1-68）改写为：

　　（1-69）

两边取对数，得：

　　（1-70）

式中　——常数。

由式（1-70）可知，lg［1-xo（t）］与时间t为线性比例关系。如以时间t为横坐标，lg［1-xo（t）］为纵坐标，则可得到如图1-20所示的一条经过原点的直线。因此，此特点可用于一阶惯性环节的识别。

②二阶系统的单位阶跃响应。

凡是能够用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。从物理上讲，二阶系统包含两个独立的储能元件，能量在两个元件之间交换，使系统具有往复振荡的趋势。当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性，所以，二阶系统也称二阶振荡环节。

二阶系统对控制工程来说是非常重要的，因为很多实际控制系统都是二阶系统，而且许多高阶系统在一定条件下也可将其简化为二阶系统来近似求解。因此，分析二阶系统的时间响应以及特性具有重要的实际意义。

单位阶跃信号xi（t）=1（t）的拉氏变换为Xi（s）=1/s，则二阶系统在单位阶跃信号作用下的输出拉氏变换为：

　　（1-71）

将式（1-71）进行拉氏反变换，得出二阶系统的单位阶跃响应为：

　　（1-72）

式中　ωn——二阶系统的无阻尼固有角频率（或称自然频率）；

T——时间常数；

ζ——系统阻尼比。

根据阻尼比ζ的不同取值情况，二阶系统的时间响应函数也不同，具体请见表1-7。

在欠阻尼（0＜ζ＜1）情况下二阶系统的性能指标计算公式见表1-8。

（2）频域分析法

频域分析法是以输入信号的频率为变量，对系统的性能在频率域内进行研究。工程设计中主要是运用开环和闭环对数频率特性来评价系统的瞬态响应特征。当利用开环对数频率特性时，主要利用开环频率指标，如穿越频率ωc、相位裕量γ和增益裕量Kg等来评价系统；当利用闭环对数频率特性时，主要利用闭环频率特性指标，如谐振频率ωr、截止频率ωb和谐振峰值Mr等来评价系统。这些指标与闭环系统瞬态响应的关系，对二阶系统来讲是可以准确计算的，但对高阶系统来讲，由于二者的关系比较复杂，通常是近似估算或按经验公式估算。

设二阶系统的闭环传递函数为：

　　（1-73）

则二阶系统频域性能指标与时域性能指标之间的关系式见表1-9。

利用频域性能指标与时域性能指标的关系式或关系曲线来确定闭环系统的过渡过程的品质时可按以下步骤进行。

①根据开环伯德图或闭环伯德图确定频域指标，如穿越频率ωc、相位裕量γ或谐振峰值Mr、谐振频率ωr和截止频率ωb。

②根据相位裕量γ或谐振峰值Mr，求取系统的阻尼比ζ。

③根据ωc/ωn相位裕量γ或谐振峰值Mr，求取系统瞬态响应的超调量σp。

④由阻尼比ζ和/或ωc/ωn、ωr/ωn、ωd/ωn，求取系统的无阻尼自然角频率ωn。

⑤根据公式或关系曲线，求取系统的调整时间ts。

限于本书篇幅，三阶及以上高阶系统在此就不作分析与评估了。

1.2.7　控制系统的校正

当控制系统不能通过调整自身的结构参数来满足系统性能指标要求时，就需要在原系统中引入附加装置来改善系统的性能，这种改善系统性能的方法称为系统的校正（或补偿），所引入的附加装置称为校正装置（或补偿器、补偿元件）。有多部参考文献指出：“高性能的电液伺服系统一般都需要加校正装置。”

作者注：作者现在还没有在相关标准中查找到“校正”及“校正装置”这些术语。

系统的校正是一种再设计，对控制系统进行校正亦即设计校正装置，弥补原系统的性能不足或缺陷，其也是控制系统设计的内容之一。

校正装置的物理属性可以是电气的、机械的、液压的、气动的或者是它们的组合。如果不存在发生火灾的危险，则一般都采用电气校正装置（即电网络），因为其实现起来最为方便。

（1）校正的分类

根据校正装置在系统中的接法不同，可将控制系统校正分为串联校正和并联校正两大类。

如图1-21所示，将校正装置Gc（s）串联在系统的前（正）向通道中称为串联校正。

根据校正环节Gc（s）的性质，可将串联校正分为：增益调整、相位超前校正、相位滞后校正和相位滞后-超前校正。

根据信号流动的方向不同，并联校正可分为反馈校正和顺馈校正。

反馈校正又可分为负反馈校正和正反馈校正。常用的是负反馈校正，即对系统的部分环节建立局部负反馈。

图1-22所示为一种将校正装置Gc（s）与系统并联的反馈校正。

当然，所谓“全局反馈”，亦即反馈包围的是全部环节，也可广义地理解为一种反馈校正。

图1-23所示为一种将校正装置Gc（s）与系统并联的顺馈校正。

据参考资料［60］介绍：“按补偿信号的不同，顺馈校正一般可以分为按输入顺馈校正和按干扰顺馈校正两种方式。”但参考文献［35］将后者称为“前馈补偿”。

（2）常用的校正装置

参考文献［51］指出：“最常见、最主要的串联校正就是在主（正向）通道上的比较环节后面的串联校正环节，此校正环节称为控制器”。

①串联校正装置。

a.相位超前校正装置。

相位超前校正环节（装置或网络）的传递函数可以写作成式（1-74），其（无源）网络与伯德图见图1-24。

　　（1-74）

式中　T——时间常数，T=R1C；

α——衰减系数，

相位超前校正环节（装置）能产生（或提供）的最大相位超前（量）相角φcm及所对应的频率ωc为：

　　（1-75）

　　（1-76）

相位超前装置是一种高通滤波器，如果把它作为校正环节串联在主通道上，其能产生的校正效果如下。

Ⅰ.由于α＜1，串联在主通道上的超前校正环节（装置）产生一个α倍的增益衰减。

Ⅱ. 在开环频率特性低频与中频段能产生明显的相位超前相角，可弥补系统中其他环节造成的相位滞后。

Ⅲ. 不改变高频段幅频特性，而压低低频段幅频特性。

参考文献［61］指出：“超前校正经常用来提高控制系统的快速性，增大相角裕量［能使系统的相位角稳定裕度增大（稳定性要求）］［51］，降低系统超调量。”

b.相位滞后校正装置。

相位滞后校正环节（装置或网络）的传递函数可以写作成式（1-77），其（无源）网络与伯德图见图1-25。

　　（1-77）

式中　T——时间常数，T=R2C；

β——滞后超前比，。

相位滞后校正环节（装置）能产生的最大相位滞后（量）相角φcm及所对应的频率ωc为：

　　（1-78）

　　（1-79）

相位滞后装置是一种低通滤波器，如果把它作为校正环节串联在主通道上，其能产生的校正效果如下。

Ⅰ.由于β＞1，串联在主通道上的滞后校正环节（装置）可将系统的开环（低频）增益提高β倍。

Ⅱ.在开环频率特性中频段能产生明显的相位滞后相角。

Ⅲ.不改变低频段幅频特性，而压低高频段幅频特性。

参考文献［46］指出：“利用它（滞后校正装置）的高频衰减特性，可以在保持系统稳定的条件下，提高系统的低频增益，改善系统的稳态性能，或者在保证系统稳态精度的条件下，降低系统的高频增益，以保证系统的稳定性。滞后校正利用的是高频衰减特性，而不是相位滞后。在阻尼比较小的液压伺服系统中，提高放大系数的限制因素是增益裕量，而不是相位裕量，因此采用滞后校正是合适的。”

尽管滞后校正的优点在于能够增大系统的开环（低频）增益，从而减小了稳态误差，提高了控制精度和闭环刚度。但是滞后校正降低了系统频带宽，影响了系统的动态响应速度，并且使系统对阶跃响应产生较大的超调和振荡。

c.相位滞后-超前校正装置。

相位滞后-超前校正环节（装置或网络）的传递函数可以写作成式（1-80），其（无源）网络与伯德图见图1-26。

　　（1-80）

设定β＞1，则其中（T1s+1）/（βT1s+1）即为相位滞后环节的传递函数，（T2s+1）/（T2s/β+1）即为相位超前环节的传递函数。

由图1-26可见，曲线的低频部分为负斜率、负相移，起滞后校正作用；高频部分为正斜率、正相移，起超前校正作用。

②控制器类型及控制器。

在实际模拟控制系统中的控制器常为有源控制装置，它们是由电阻、电容与运算放大器构成的网络。由于运算放大器是有源的，所以由它构成的校正装置常称为有源校正装置。在工业中常采用的控制器有比例控制器（P）、比例积分控制器（PI）、比例微分控制器（PD）和比例积分微分控制器（PID），它们都属于有源校正装置。

PID控制可以方便灵活改变控制策略，实施P、PI、PD或PID控制。

当采用计算机控制时，PID控制策略可在计算机中由相应的算法来实现。

a.比例控制器。

比例控制器（P）的有源网络如图1-27所示，其传递函数为：

　　（1-81）

比例控制的作用是调节系统的开环增益。在保证系统稳定性的情况下，提高开环增益可以提高系统的稳态精度和快速性。

b.比例积分控制器。

比例积分控制器（PI）的有源网络如图1-28所示，其传递函数为：

　　（1-82）

比例积分控制器中的积分控制可提高系统的稳态精度，而其中的比例控制可对因积分控制减低的快速性有所补偿，因此可以较好地解决系统静、动态特性要求相互矛盾的问题。此比例积分控制器相当于滞后校正。

c.比例微分控制器。

比例微分控制器（PD）的有源网络如图1-29所示，其传递函数为：

　　（1-83）

比例微分控制器中的微分控制与误差的变化率成正比，它利用误差的变化趋势对误差起修正作用，这样可提高系统的稳定性和快速性。此比例微分控制器相当于超前校正。

d.比例积分微分控制器。

比例积分微分控制器（PID）的有源网络如图1-30所示，其传递函数为：

　　（1-84）

比例积分微分控制器综合了三种单独控制器的各自优点，其积分控制可提高系统的稳定性，其微分控制可改善系统的快速性。若配以高频噪声滤波环节，此比例积分微分控制器相当于滞后-超前校正。

③串联校正中几种校正装置的比较。

在串联校正方式中常采用超前、滞后或滞后-超前校正装置，各类校正装置适用场合和校正效果比较如下。

a.超前校正是通过相位超前的效果来改善系统的品质。校正后系统的相位裕量和频带宽都会增大，因此能有效地改善系统的动态品质，但对系统的稳态精确度影响不大。超前校正适用于稳态精度已满足但动态品质不满足要求的系统。

但是，如果存在噪声信号，则频带宽不能过大，因为随着高频增益的增大，系统对噪声信号更加敏感。

b.超前校正需要有一个附加的增益增量，以补偿超前校正网络本身的衰减，即由于超前校正环节产生了一个α（α＜1）倍的增益衰减，为了不影响系统的稳态精度，就必须将系统中放大器的放大倍数提高α倍。这表明超前校正比滞后校正需要更大的增量。一般而言，增益越大，系统的体积和质量越大，成本也越高。

c.滞后校正是通过高频衰减的特性来改善系统的品质。校正后系统的稳态精确度可以提高，但滞后校正将使系统的频带宽减小，响应速度变慢。滞后校正主要适用于动态品质已满足要求，而希望改善稳态精度的系统。此外，系统中包含的任何高频噪声都可以得到衰减。

d.当系统需要同时改善动态品质和稳态精度时，宜采用滞后-超前校正。应用滞后-超前校正，可使低频增益增大（改善了系统的稳态性能），也增大了系统的频带宽和稳定裕量。

e.虽然应用相位超前、相位滞后和相位滞后-超前校正可以完成大多数系统的校正任务，但是对于复杂的系统，采用由这些校正装置组成的简单校正，可能仍得不到满意的结果。因此，在这种情况下必须采用其他型式的校正装置。

④反馈校正。

并联校正（负反馈校正）与串联校正相比具有突出的优点，其能有效地改变被包围部分结构和参数，并在一定条件下甚至可以取代被包围的部分，从而可以去除或削弱被包围部分给系统造成的不利影响。

a.去除被包围环节的影响。

如图1-31所示，若环节G2（s）的性能是不希望的，如存在非线性因素、结构参数易变、易受干扰等，现引入局部负反馈校正环节Gc（s），可用此局部负反馈回路去除环节G2（s）对系统的不利影响。此局部回路的传递函数为：

　　（1-85）

在能够影响系统动态性能的频率范围内，如果能使|G2（jω）Gc（jω）|≫1，则此局部回路的传递函数可近似地表示为：

　　（1-86）

由此可见，此局部负反馈回路的特性几乎与被并联校正装置包围的环节G2（s）无关，而为并联校正装置频率特性的倒数。

因此，可以在局部反馈回路的|G2（jω）Gc（jω）|≫1范围内，改善被包围部分的性能。

b.减小被包围环节的时间常数。

时间常数太大，常常对系统性能产生不良影响，采用反馈校正可以减小时间常数。如图1-32所示，对惯性环节接入比例反馈，其局部反馈回路的传递函数为：

　　（1-87）

由此可见，其仍然是惯性环节，但并联校正（局部反馈）使回路的放大系数和时间常数都下降了（1+KKc）倍，时间常数的减小将使系统的快速性得到改善。

c.削弱被包围元件参数变化的敏感性。

如图1-33（a）所示，在G（s）没有被并联校正装置包围时，其输出为Xo（s）=G（s）Xi（s）。若G（s）的元件参数发生ΔG（s）变化，由此引起输出变化为ΔXo（s）=ΔG（s）Xi（s）。　

如图1-33（b）所示，采用并联校正后，当G（s）的元件参数同样发生ΔG（s）变化时，则此局部反馈回路的输出为：

通常G（s）≫ΔG（s），则近似地有：

所以

一般1+G（s）Gc（s）≫1，因此，采用并联校正能大大地削弱被包围元件参数变化给系统带来的影响。

d.替代串联校正。

可以用并联校正来等效地替代串联校正。

如图1-34（a）所示，被比例负反馈包围的惯性环节其传递函数为G2（s）=K2/（T2s+1）。包围后的传递函数为：

　　（1-88）

由此可见，在式（1-88）中包含了超前校正传递函数，当惯性环节被比例负反馈包围（并联校正）后，系统相当于串联一个超前校正网络。

作者注：有参考文献将局部反馈为比例负反馈的称为硬反馈。

如图1-34（b）所示，惯性环节被微分负反馈包围后的传递函数为：

　　（1-89）

由此可见，在式（1-89）中包含了滞后-超前传递函数，当惯性环节被微分负反馈包围（并联校正）后，系统相当于串联一个滞后-超前校正网络。

作者注：有参考文献将局部反馈为微分负反馈的称为软反馈。

⑤顺馈校正。

对于稳态精度要求很高的系统，为了减小误差，通常采用提高系统的开环增益或型次来解决。但这样做往往会导致系统的稳定性变差，甚至会使系统不稳定。

为了解决这个矛盾，常常把开环控制和闭环控制结合起来，组成复合控制，如图1-35所示。此复合控制有两个通道，一个是由Gc（s）G2（s）组成的顺馈校正通道，其是按开环控制；另一个是由G1（s）G2（s）组成的主控制通道，其是按闭环控制的。复合控制是复合校正的另一种型式。

下面以图1-35所示系统为例，说明顺馈校正的作用。

系统按偏差E（s）控制时的闭环传递函数为：

　　（1-90）

在接入顺馈校正后复合控制系统的传递函数为：

　　（1-91）

由式（1-90）和式（1-91）可以看出，顺馈校正接入系统前后的系统特征多项式是完全一致的，因此，系统虽然接入了顺馈校正，但其稳定性未受影响。

由于此系统是单位反馈系统，系统的误差与偏差相等，所以系统的误差可（等于）写为：

经进一步整理得：

　　（1-92）

若选择：

　　（1-93）

则：

因此，系统的输出xo（t）就能完全复现系统的输入xi（t），使得系统既没有稳态误差，也没有动态误差，并可把系统看成是一个无惯性系统，其快速性能可达到最佳状态。

以上就是采用复合控制既能消除系统稳态误差，又能保证系统动态误差性能的基本原理。

应当指出，在工程实际中要完全满足式（1-93）的条件往往是困难的，一般只能采用部分顺馈即Gc（s）≈1/G2（s）校正。