第二章　刚体力学

一、主要内容

1.刚体的运动形式

平动：在运动过程中，刚体内任意两点的连线总是平行于初始位置间的连线。

转动：可分为定轴转动和非定轴转动。

一般情况下，刚体的运动可看成平动和转动的合成运动。

2.描述刚体定轴转动的物理量

角坐标：θ；角位移：dθ；

角速度：，为矢量，其方向由右手法则确定；

角加速度：。

当刚体绕定轴作匀变速转动时，其运动学公式为

3.角量和线量的关系

v=rω；　at=rα；　an=rω2

式中，r、v、at和an分别为刚体上任一点P离开转轴的距离、线速度、切向加速度和法向加速度。

4.刚体转动定律

（1）力矩：力矩是矢量，可用转轴到外力作用点的位矢r和外力F的矢积来表示，即M=r×F，其大小M=Frsinθ（θ为r和F之间的夹角），其方向垂直于r和F决定的平面，沿着r×F的方向，通过右手螺旋法则来确定。

（2）转动惯量：转动惯量是表征刚体转动惯性大小的物理量，其定义式为，在刚体质量连续分布的情况下，积分遍及整个刚体。影响转动惯量因素：刚体的质量（密度）分布、刚体的几何形状和转轴的位置等。

平行轴定理：J=JC+md2，其中JC是刚体相对于通过刚体质心的轴线的转动惯量，J是刚体对与上述轴线平行的另一轴线的转动惯量，m是刚体的质量，d是两平行轴之间的距离。

（3）转动定律：刚体绕定轴转动时，刚体的角加速度与其所受的合外力矩成正比，与刚体的转动惯量成反比，即M=Jα，其中M是刚体受到的对某转轴的合外力矩，J是该刚体对同一转轴的转动惯量，α是刚体在力矩作用下产生的瞬时角加速度。

5.角动量定理和角动量守恒定律

（1）角动量

质点角动量：质量为m、动量为p的质点，对空间参考点O的角动量定为L=r×p。式中，r是该质点相对点O的位矢，参考点不同，角动量也不同。

刚体绕定轴转动的角动量：L=Jω，其中J与ω分别是刚体绕同一固定轴的转动惯量和角速度，L和ω虽然都是矢量，但在定轴转动的情况下，可以作为代数量处理，仅有正、负之分。

（2）角动量定理：质点角动量定理和刚体角动量定理可以写成同样的形式

式中，是作用在物体上的冲量矩，对质点而言，力矩M和角动量L必须是对同一个参考系的，对刚体而言，有，力矩和角动量必须是对同一转轴的。

（3）角动量守恒定律：若作用于物体的合外力矩M=0，则角动量守恒，有L=恒量。

对质点而言，当质点所受到的对参考点O的合力矩为零时，质点对该参考点的角动量为恒矢量，质点所受的合外力矩M=0的情况有两种：F=0或r×F=0，即F的延长线通过参考点O。对刚体而言，当刚体所受合外力矩等于零，或者不受外力矩的作用，刚体的角动量保持不变，在有心力作用下，刚体对力心的角动量是守恒的。

6.力矩做功与刚体绕定轴转动的动能定理

（1）力矩做功：在定轴转动的情况下，若刚体受到的力矩为M，角位移为dθ，则M做的元功dW=Mdθ，若刚体在力矩作用下，转过θ角度，M做的功为。

（2）转动动能：

（3）刚体绕定轴转动的动能定理：合外力矩对绕定轴转动刚体所做的功等于刚体转动动能的增量，即