实验三 用复摆测重力加速度
测定重力加速度的方法很多，如单摆法、复摆法、开特摆法、落球法等。本实验采用复摆法。相信通过本实验的学习，不仅能够了解复摆的物理特性，从设计思想和实验方法上得到很多教益，而且在提高自己的实验技能和培养创
图3-16 复摆测重力加速度原理图
新意识上会大有收获。
【实验原理】
1.复摆的振动周期公式
在重力作用下，一个绕固定水平转轴在竖直平面内摆动的刚体称为复摆，也称物理摆。如图3-16所示。
设复摆的质量为m，其重心G到转轴O的距离为h，g为重力加速度。在任一时刻t，OG与竖直线之间的夹角为θ，通常规定偏离平衡位置沿逆时针方向转过的角位移为正。此时，复摆受到相对于O轴的恢复力矩则为M=-mghsinθ，式中的负号表明力矩M的转向与位移θ的转向相反。当摆幅甚小时（摆角不超过5°），有sinθ≈θ则
（3-11）
设复摆绕O轴的转动惯量为J，根据转动定律有
（3-12）
式中，复摆绕O轴转动的角加速度
。这样式（3-12）变为
即
（3-13）
令
，解微分方程得
（3-14）
由式（3-14）可知，摆幅很小时，复摆在其平衡位置的附近做简谐振动。式（3-14）中A，φ0由初始条件决定，ω是复摆振动的角频率，
，复摆的振动周期为
（3-15）
2.复摆的回转半径RG，等值单摆长L
设复摆对通过重心G并与摆轴O平行的转轴（G轴）之转动惯量为JG，则由平行轴定理知
（3-16）
式（3-16）代入式（3-15）得
（3-17）
若设
，即复摆绕重心轴的回转半径为RG，则由式（3-16）得
（3-18）
将式（3-18）代入式（3-15）则得
（3-19）
显然，复摆振动周期T随悬挂支点O与重心G之间的距离h而改变。若以h为横轴、T为纵轴，则T与h的关系如图3-17所示。
图3-17 T与h关系图
从图3-17可以看出T有极小值。同一曲线上任意两点相应的方程为
式中，h1、h2分别是复摆的重心到两侧、悬挂支点的距离。将两式中的RG消去，则有
（3-20）
而图3-17中A、B（或C、D）为同一曲线上周期相等的点，即T1=T2=T，由此可得RG2=h1h2，
（3-21）
此式与单摆的周期公式形式相同，其中L=h1+h2。事实上，总可以找到一个单摆，它的摆动周期恰等于给定的复摆之周期，因此称L为复摆的等值单摆长，即图3-17中的AC之距离或BD之距离。
3.利用复摆测重力加速度g
（1）由式（3-17）可直接得到复摆的振动周期T与转轴到重心距离h的关系
（3-22）
改变h，T随之变。T2h与h2成线性关系，由其相应直线的斜率可求出g。
（2）利用复摆周期与转轴位置的关系图求出g
由式（3-21）知
（3-23）
① 图3-17所表示的复摆周期T与转轴位置的h关系中，坐标轴上原点为复摆重心位置，h1、h2分别是复摆的重心到两侧悬挂支点的距离，T-h图是两条对称曲线。由式（3-19）对h求微商，有
（3-24）
对应极值位置，有RG=h'。h'是极值点到O点的距离。图3-17中的E、F两点为复摆周期的极小点，两者之间的距离恰为复摆的等值单摆长：L=h'1+h'2=2RG，代入式（3-23），可求出g。
② 可从T-h图中任取一个周期T，找到对应的h1和h2（h1≠h2），用等值单摆长L=h1+h2代入式（3-23），可求出g。
（3）将式（3-20）改为
（3-25）
取异侧支点的两组数据（h1，T1）和（h2，T2）代入上式，可求出g。
【仪器介绍】
复摆，计时-计数-计频仪（SSM-5B型），米尺，物理支架。
【实验任务与方法】
（1）测定复摆重心G的位置SG。
将复摆水平放在直立的刀刃上（图3-18），利用杠杆原理寻找G点的位置SG，要求SG的误差在1mm以内。
图3-18 确定SG
（2）测量不同支点的周期T。如图3-19，S表示从悬挂支点O到复摆一端a的距离。依次改变支点位置，由靠近a端开始，逐渐移向b端，测定每个支点对应的周期T3～5次，摆角小于5°，支点的位置改变10～20次，将数据记录于表3-9、表3-10中。
（3）求出S各值对应的h值、计算g值如图3-19，h=SG-S，h均取正值。
① 作T-h图，从图上求出等值单摆长，计算g1；
② 作T2h-h2图，考察其线性关系，并用线性回归方法，由直线的斜率计算g2；
图3-19 S，SG示意图
③ 选两组数据（h1，T1）和（h2，T2）代入式（3-25），计算得g3。
（4）对以上三种方法得到的结果进行比较。
【注意事项】
（1）在T-h图、T2h-h2图上如有明显偏离曲线的点，应重新测量。
（2）计时-计数-计频仪的光电门位置要合适。
（3）挂摆于悬挂装置上时，将刀口调整好；倒挂摆时，仍需调整好另一刀口。
（4）每次实验完毕，将摆取下、平放在桌上，以防刀口长期受力变钝。
【数据处理示例】
表3-9 左侧支点h，T数据记录表
（1）以h为横坐标、T为纵坐标，作T-h图（见图3-20）。对应Tmin=1.5280s，有
图3-20 T-h图线
代入式（3-23）计算，得
（2）将式（3-19）改写为
。以h2为横坐标、T2h为纵坐标，作T2h-h2图（见图3-21）。
图3-21 T2h-h2图线
表3-10 右侧支点h，T数据记录表
令y=T2h，x=h2，则
。选用坐标纸，描点、连线；其中，中值点M（792.8，65.8），直线过M点。
坐标图中的直线，十分准确地表明了T2h与h2之间的线性关系。计算直线的斜率
则由
可求得
（3）选择表3-9中的第2组数据、表3-10中的第7组数据，代入式（3-25），即
计算得
【创新设计】
可逆摆又称开特摆，它是一种特殊形式的复摆；其主要特征是有两个刀口，可正、逆悬挂。如图3-22所示，在长约1.5m的金属杆上，在相距约1m的两处安置两个刀刃O1O2，并安置两个可移动的锤A和B，此复摆可以O1或O2为支点摆动，这样的复摆就是可逆摆。
图3-22 可逆摆
在适当调节摆锤A、B的位置之后，可使T1=T2，令此时的周期值为T，则有式（3-22）的结果。
实验中，就是测量O1O2间距离L、确定正挂与倒挂时相等的周期值T，再把它们代入式（3-22），计算出当地的重力加速度之值。
因为式中的L为二刀刃间的距离，能测得很精确，所以可逆摆能使测量g值的准确性提高。